Vidéo: Utilisation de la formule du discriminant pour résoudre une équation du second degré

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment utiliser la formule du discriminant pour résoudre une équation du second degré, ou de trouver ses racines. Nous allons travailler à travers quelques exemples et expliquer comment éviter certaines des erreurs courantes que les gens font. Nous allons examiner une série de questions plus simples pour voir comment utiliser la formule, puis une ou deux questions un peu plus délicates, nous devons réorganiser l’équation et une qui rompt même la formule.

Donc, notre premier exemple est : Résoudre deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins trente est égal à zéro.

Nous allons donc utiliser la formule du discriminant pour résoudre cette équation du second degré. Et la formule du discriminant est, si 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro, à condition que 𝑎 ne soit pas égal à zéro, parce que si 𝑎 était égal à zéro, alors ce ne serait pas une parabole car le coefficient de 𝑥 au carré sera zéro, alors 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Donc, ce que nous devons faire, c’est regarder notre équation et faire correspondre les 𝑎, 𝑏 et 𝑐, puis les placer simplement dans cette formule. Et le multiple de 𝑥 au carré est deux, donc 𝑎 est deux. Le multiple de 𝑥, ou le coefficient de 𝑥, est moins quatre. Donc 𝑏 est moins quatre. Et le terme constant en lui-même est moins trente, donc 𝑐 est égal à moins trente. Heureusement pour nous, notre équation était déjà au format quelque chose fois 𝑥 au carré plus quelque chose fois 𝑥 plus un nombre est égal à zéro, nous n’avons donc pas eu à faire de réarrangement. Nous avons maintenant déterminé ce que sont 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Nous pouvons simplement les placer dans cette formule.

Maintenant, ma première astuce est de vous assurer de tout écrire en entier. Placez donc tous les nombres et écrivez la formule complète. Et la deuxième astuce est de mettre tous vos nombres négatifs entre parenthèses. Donc 𝑏 était moins quatre, donc ici nous avons mis cela entre parenthèses, donc l’opposé de moins quatre. Dans ce terme ici, là-haut, nous avons moins quatre le tout au carré. Cela signifie qu’il est moins quatre fois moins quatre. Et ici, nous avons 𝑐 est moins trente. Encore une fois, je viens de mettre cela entre parenthèses pour que nous sachions que nous multiplions par moins trente et non pas seulement en soustrayant trente de la fin de ce calcul. Maintenant, si 𝑏 est négatif, cela est particulièrement important car si vous tapez simplement quatre au carré dans votre calculatrice, vous obtiendrez la réponse moins seize, et ce n’est pas tout à fait ce que nous recherchons.

Donc, la logique de votre calculatrice fait probablement cela au carré, avant de prendre l’opposé. Et cela signifie qu’il se retrouve avec quatre au carré soit seize, puis il prend l’opposé là-bas, pour vous donner moins seize. Votre calculatrice interprète donc le calcul comme ceci : le moins quatre fois quatre, alors que ce que nous voulions vraiment était moins quatre fois moins quatre. Donc, pour forcer votre calculatrice à effectuer le calcul correct, assurez-vous de mettre vos nombres négatifs entre parenthèses.

Alors évaluons une partie de cela maintenant. Eh bien, l’opposé de moins quatre est plus quatre. Et puis nous devons ajouter ou soustraire, nous en parlerons encore plus dans un instant. Et puis entre parenthèses moins quatre fois moins quatre, comme nous venons de le dire, est plus seize. Et puis nous avons quatre fois deux fois moins trente. Eh bien, c’est moins deux cent quarante. Nous supprimons donc moins deux cent quarante, ce qui signifie que nous en ajoutons deux cent quarante. Maintenant, c’est deux fois deux, ce qui fait quatre. Et puis seize plus deux cent quarante, c’est deux cent cinquante-six. Et la racine carrée de deux cent cinquante-six est exactement seize. Nous avons donc quatre plus ou moins seize sur quatre. Maintenant, c’est là que le plus ou le moins entre en jeu, cela signifie que nous avons deux calculs à faire. Nous avons soit 𝑥 est égal à quatre plus seize sur quatre ou 𝑥 est égal à quatre moins seize sur quatre. Et quatre plus seize font vingt, donc 𝑥 pourrait être vingt sur quatre ou 𝑥 pourrait être quatre moins seize est moins douze, donc c’est moins douze sur quatre.

Nous avons donc deux réponses : 𝑥 est égal à cinq ou 𝑥 est égal à moins trois. Cela signifie qu’il y a deux valeurs de 𝑥, que si je les pose ici et ici dans mon équation d’origine, je rendrai cette équation vraie. Alors vérifions cela rapidement. Donc, si je pose 𝑥 est égal à cinq, cela signifie que j’ai deux fois cinq au carré moins quatre fois cinq moins trente. Eh bien cinq au carré, c’est vingt-cinq, donc c’est deux fois vingt-cinq. Et quatre fois cinq font vingt. J’en retire donc vingt, puis j’en retire trente autres. Eh bien, deux fois vingt-cinq, c’est cinquante. Et si je fais cinquante moins vingt moins trente, j’obtiens zéro, et c’est ce que je cherchais. Essayons donc à nouveau avec 𝑥 est égal à moins trois.

Donc, en plaçant moins trois là-dedans, j’ai deux fois moins trois au carré moins quatre fois moins trois, puis j’en retire trente autres. Eh bien moins trois au carré, moins trois fois moins trois est plus neuf. Ce premier terme devient donc deux fois neuf. Ensuite, je retire quatre fois moins trois, eh bien quatre fois moins trois, c’est moins douze. Donc, si je retire moins douze, cela signifie que j’en ajoute douze. Et puis on enlève trente-deux fois neuf fois dix-huit. J’ai donc dix-huit plus douze moins trente, et c’est bien sûr zéro, ce qui est encore ce que nous recherchions. C’est super ! On dirait que nous avons les bonnes réponses.

Maintenant, c’est la fin de cette question, mais il convient de mentionner le fait que parce que nous avions des réponses entières, cinq et moins trois, nous avons des réponses entières, cela signifie que l’expression originale ici aurait pris en compte. Donc, en fait, si je factorise deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins trente, je peux le faire comme deux 𝑥 plus six fois 𝑥 moins cinq. Parce que deux 𝑥 fois 𝑥 est deux 𝑥 au carré, deux 𝑥 fois moins cinq est moins dix 𝑥, six fois 𝑥 est plus six 𝑥 et six fois moins cinq est moins trente. Moins dix 𝑥 plus six 𝑥 est moins quatre 𝑥. Alors oui, quand je multiplie deux 𝑥 plus six fois 𝑥 moins cinq, j’obtiens l’expression que je cherchais deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins trente. Et cela signifie que j’ai quelque chose fois quelque chose est égal à zéro. Et de toute façon, quelque chose fois quelque chose pourrait être égal à zéro si l’un d’eux est nul. Donc, soit cela est égal à zéro, soit cela est égal à zéro. Et en résolvant les deux, j’obtiens les mêmes réponses, 𝑥 est moins trois ou 𝑥 est égal à cinq.

Maintenant, nous allons bien au-delà de l’appel du devoir ici et nous dessinons également la courbe, ce que nous n’avons pas besoin de faire. Mais si je dessine la courbe de 𝑦 est égal à deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins trente, je peux voir que la coordonnée 𝑦 est nulle ici et ici, et c’est à moins trois, quand 𝑥 est égal à moins trois, ou quand 𝑥 est égal à cinq. Et ce sont les réponses que nous avons aussi. Nous essayons donc simplement de visualiser à quoi ressemble cette réponse sur la courbe.

D’accord. Passons maintenant à notre deuxième exemple.

Résolvez sept 𝑥 au carré plus douze 𝑥 plus deux est égal à zéro. Donc cette fois, 𝑎 est sept, 𝑏 est douze et 𝑐 est deux. Ils sont tous positifs. Je peux donc les mettre dans la formule. Et puis j’obtiens un résultat de moins douze plus ou moins la racine carrée de douze moins quatre fois sept fois deux sur deux fois sept, simplement en plaçant 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans cette formule. Eh bien, douze au carré, c’est cent quarante-quatre, et quatre fois sept font vingt-huit, et vingt-huit fois deux font cinquante-six, alors nous en soustrayons cinquante-six.

Et encore une fois, nous avons deux valeurs. Soit 𝑥 est égal à moins douze plus racine quatre-vingt-huit sur quatorze, soit 𝑥 est égal à moins douze moins racine quatre-vingt-huit sur quatorze. Maintenant, la racine quatre-vingt-huit se révèle être un nombre irrationnel. Nous ne pouvons pas simplement trouver une belle racine carrée entière facile pour cela. Donc, généralement, dans ces questions, vous donneriez votre réponse sous sa forme la plus simple ou vous arrondiriez à un nombre spécifique de décimales. Donc, soit 𝑥 est égal à moins six plus racine vingt-deux sur sept, ce qui est moins zéro virgule un neuf à deux décimales, ou 𝑥 est égal à moins un moins six moins racine vingt-deux sur tout sept qui est égale à un moins zéro virgule cinq trois à deux décimales. Donc, c’était probablement un exemple plus typique du genre de question à laquelle on vous demanderait de répondre, où l’expression originale ici ne prenait pas bien en compte, nous n’avons donc pas pu trouver de belles réponses simples.

Le nombre nous demande alors de résoudre deux 𝑥 au carré moins cinq est égal à moins six 𝑥. Mais rappelez-vous, notre formule du discriminant nécessite que l’équation soit dans ce format, 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. Donc, ce que je dois faire, c’est ajouter six 𝑥 des deux côtés, puis j’ai quelque chose fois 𝑥 au carré plus quelque chose fois 𝑥 plus un nombre est égal à zéro. Et cela me donne deux 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins cinq est égal à zéro. Alors maintenant, 𝑎 est égal à deux, 𝑏 est égal à six et 𝑐 est égal à moins cinq. Je peux donc simplement les insérer dans ma formule, ce qui me donne un résultat moins six plus ou moins la racine carrée de six au carré moins quatre fois deux fois moins cinq deux sur deux fois deux. Donc, pour simplifier ces nombres, six au carré est égal à trente-six, et quatre fois deux à huit, fois cinq à quarante. C’était donc moins quarante. Nous supprimons moins quarante, ce qui signifie que nous ajoutons quarante. Cela signifie donc que 𝑥 est égal à six, plus ou moins racine, soixante-seize sur quatre. Donc, cela nous donne deux calculs, l’un d’entre eux est moins six plus racine soixante-seize sur quatre, et l’autre est 𝑥 est égal à moins six moins racine soixante-seize sur quatre.

Donc, encore une fois, j’ai deux réponses différentes, 𝑥 est égal à moins trois plus la racine dix-neuf sur deux, ce qui est zéro virgule six huit à deux décimales, ou 𝑥 est égal à moins trois moins la racine dix-neuf sur deux, et cela à deux la décimale est moins trois virgule six huit.

Le numéro quatre a donc été demandé dans un format légèrement différent. Plutôt que de vous demander de résoudre deux 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus deux est égal à zéro, on vous demande de trouver les racines de 𝑦 égale à deux 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus deux. C’est la même question, pour trouver les racines de quelque chose, il suffit de trouver ce que la coordonnée 𝑥 qui génère une coordonnée 𝑦 égale à zéro. Et quand nous mettons cela égal à zéro, nous avons tous les nombres positifs pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐. 𝑎 est deux, 𝑏 est quatre et 𝑐 est deux. Donc, en plaçant ceux-ci dans la formule du discriminant, nous obtenons 𝑥 est égal à moins quatre plus ou moins la racine carrée de quatre au carré moins quatre fois deux fois deux tout au long de deux fois deux. Donc on évalue ceux-ci, et bien quatre au carré est seize et quatre fois deux est huit fois deux est seize. Nous en enlevons donc seize et cela fait quatre. Eh bien évidemment, seize moins seize vaut zéro. Nous avons donc moins quatre plus ou moins la racine carrée de zéro sur quatre. Bien sûr, moins quatre n’ajoutent rien et moins quatre n’enlèvent rien, vous donne juste moins quatre. Donc, dans les deux cas, nous avons moins quatre sur quatre, ce qui est moins un.

Donc, dans ce cas particulier, la façon dont les nombres, les 𝑎, les 𝑏, les 𝑐 ont fonctionné dans cette formule, nous avons deux réponses, mais elles sont toutes deux exactement les mêmes. Et cela s’appelle des racines répétées. Donc, en fait, nous pouvons simplement exprimer que 𝑥 est égal à moins un est la seule valeur de 𝑥, qui est génère une coordonnée 𝑦 de zéro dans cette équation originale ici.

Et en fait, juste pour l’intérêt, si nous revenons en arrière et regardons à quoi ressemblerait la courbe, c’est à quoi elle ressemble. Et nous pouvons voir ici qu’il n’y a qu’un seul endroit qui touche l’axe 𝑥 qui a effectivement une coordonnée 𝑦 de zéro, et qui est moins un.

D’accord. Regardons le numéro cinq alors.

Résoudre trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus quatre est égal à zéro. Donc, si nous écrivons simplement notre formule du discriminant, nous pouvons voir que 𝑎 est trois, 𝑏 est deux et 𝑐 est quatre. Donc, le fait de placer ces valeurs pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans la formule du discriminant nous donne 𝑥 est égal à moins deux plus ou moins la racine carrée de deux au carré moins quatre fois trois fois quatre en tout deux fois trois. Eh bien, deux au carré, c’est quatre, quatre fois trois fois quatre, c’est quarante-huit, donc nous en avons quatre moins quarante-huit dans cette racine carrée. Et puis deux fois trois sur le dénominateur est six. Donc, deux solutions possibles, moins deux plus la racine carrée de quarante moins quatre sur six, ou 𝑥 est égal à moins deux moins la racine carrée de quarante moins quatre sur six. Mais si vous essayez de taper cela dans votre calculatrice, vous obtiendrez une erreur mathématique. Le problème est ce morceau ici, racine carrée de quarante moins quatre. Il n’y a pas de nombres réels que vous pouvez multiplier par eux-mêmes pour donner une réponse négative. Si vous prenez un nombre négatif et le multipliez par lui-même, vous obtenez une réponse positive. Et si vous prenez un nombre positif et que vous le multipliez par lui-même, vous obtenez une réponse positive. Il n’y a donc pas de nombre réel que vous pouvez multiplier par lui-même qui donnera une réponse négative.

Maintenant, si nous regardons la courbe de 𝑦 est égal à trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus quatre, puis nous mettons 𝑦 égal à zéro. Nous pouvons voir qu’en fait, il n’y a pas de valeurs 𝑥 qui vont générer une coordonnée 𝑦 de zéro. Cette courbe ne coupe pas l’axe des 𝑥 ici. Il n’y a pas de valeurs 𝑥 qui génèrent une coordonnée 𝑦 de zéro.

C’était donc un peu une question piège qui a brisé la formule. On nous a demandé de résoudre quelque chose qui n’a pas de vraies solutions. Il semble donc que ce soit une question piège, mais en réalité, il s’agit simplement de dire, vous savez, où cette courbe quadratique coupe-t-elle l’axe des 𝑥 sur une courbe qui ne coupe pas l’axe des 𝑥. Voilà donc ce que nous avons découvert. Donc, lorsque vous avez ici une valeur négative pour 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, vous savez que vous avez une courbe qui ne coupe pas l’axe 𝑥.

Droite. Juste pour voir à quel point vous avez bien fait attention, maintenant je vais vous poser une question, numéro six, et je veux que vous essayiez de faire ça.

Voici quelques exemples où un étudiant a correctement substitué des valeurs dans la formule du discriminant, qui nous a été donnée ici. Quelle est l’équation du second degré qu’ils essayaient de résoudre ? C’est donc quelque chose qui était égal à zéro. Maintenant, leur entraînement dit que 𝑥 est égal à cinq plus ou moins la racine carrée de vingt-cinq moins quatre-vingts sur huit. Donc, ce que j’aime que vous fassiez, c’est de mettre la vidéo en pause, puis essayez cette question et voyez si vous pouvez trouver ce que vous pensez de l’équation.

En regardant bien ce qu’ils ont écrit, nous pouvons voir que sur le dénominateur, il devrait être deux 𝑎, donc huit est égal à deux 𝑎. Et donc, si je divise les deux côtés de cette équation par deux, il semble que la valeur de 𝑎 aurait été de quatre. Maintenant, la valeur de moins 𝑏 s’avère également être cinq. Donc, si je multiplie les deux côtés de cette équation par moins un, j’ai 𝑏 est égal à moins cinq. Et enfin, nous pouvons voir que quatre fois 𝑎 fois 𝑐 est égal à quatre-vingts. Mais nous savons que 𝑎 était égal à quatre, nous pouvons donc mettre cette valeur ici. Cela signifie donc que quatre fois quatre fois 𝑐 est égal à quatre-vingt, ou seize fois 𝑐 est égal à quatre-vingt. Donc, si je divise les deux côtés de cette équation par seize, seize 𝑐 divisé par seize est juste 𝑐 et quatre-vingt divisé par seize est cinq. Donc 𝑎 était quatre, 𝑏 était moins cinq et 𝑐 était cinq. Maintenant, ils ont dit quelle est l’équation du second degré qu’ils essayaient de résoudre. Nous pouvons donc les mettre dans cette équation ici, et nous savons que l’équation qu’ils essayaient de résoudre était de quatre 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus cinq est égal à zéro.

Eh bien, vous avez vu une gamme de différentes questions de type formule du discriminant. J’espère donc que vous êtes maintenant prêt à vous attaquer à toute question de type formule du discriminant que vous pourriez rencontrer.