Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons voir comment utiliser la formule du discriminant pour
résoudre une équation du second degré, ou de trouver ses racines. Nous allons travailler à travers quelques exemples et expliquer comment éviter
certaines des erreurs courantes que les gens font. Nous allons examiner une série de questions plus simples pour voir comment utiliser
la formule, puis une ou deux questions un peu plus délicates, nous devons
réorganiser l’équation et une qui rompt même la formule.
Donc, notre premier exemple est : Résoudre deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins
trente est égal à zéro.
Nous allons donc utiliser la formule du discriminant pour résoudre cette équation du
second degré. Et la formule du discriminant est, si 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à
zéro, à condition que 𝑎 ne soit pas égal à zéro, parce que si 𝑎 était égal à zéro,
alors ce ne serait pas une parabole car le coefficient de 𝑥 au carré sera zéro,
alors 𝑥 est égal à moins 𝑏 plus ou moins la racine carrée de 𝑏 au carré moins
quatre 𝑎𝑐 sur deux 𝑎. Donc, ce que nous devons faire, c’est regarder notre équation et faire correspondre
les 𝑎, 𝑏 et 𝑐, puis les placer simplement dans cette formule. Et le multiple de 𝑥 au carré est deux, donc 𝑎 est deux. Le multiple de 𝑥, ou le coefficient de 𝑥, est moins quatre. Donc 𝑏 est moins quatre. Et le terme constant en lui-même est moins trente, donc 𝑐 est égal à moins
trente. Heureusement pour nous, notre équation était déjà au format quelque chose fois 𝑥 au
carré plus quelque chose fois 𝑥 plus un nombre est égal à zéro, nous n’avons donc
pas eu à faire de réarrangement. Nous avons maintenant déterminé ce que sont 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Nous pouvons simplement les placer dans cette formule.
Maintenant, ma première astuce est de vous assurer de tout écrire en entier. Placez donc tous les nombres et écrivez la formule complète. Et la deuxième astuce est de mettre tous vos nombres négatifs entre parenthèses. Donc 𝑏 était moins quatre, donc ici nous avons mis cela entre parenthèses, donc
l’opposé de moins quatre. Dans ce terme ici, là-haut, nous avons moins quatre le tout au carré. Cela signifie qu’il est moins quatre fois moins quatre. Et ici, nous avons 𝑐 est moins trente. Encore une fois, je viens de mettre cela entre parenthèses pour que nous sachions que
nous multiplions par moins trente et non pas seulement en soustrayant trente de la
fin de ce calcul. Maintenant, si 𝑏 est négatif, cela est particulièrement important car si vous tapez
simplement quatre au carré dans votre calculatrice, vous obtiendrez la réponse moins
seize, et ce n’est pas tout à fait ce que nous recherchons.
Donc, la logique de votre calculatrice fait probablement cela au carré, avant de
prendre l’opposé. Et cela signifie qu’il se retrouve avec quatre au carré soit seize, puis il prend
l’opposé là-bas, pour vous donner moins seize. Votre calculatrice interprète donc le calcul comme ceci : le moins quatre fois
quatre, alors que ce que nous voulions vraiment était moins quatre fois moins
quatre. Donc, pour forcer votre calculatrice à effectuer le calcul correct, assurez-vous de
mettre vos nombres négatifs entre parenthèses.
Alors évaluons une partie de cela maintenant. Eh bien, l’opposé de moins quatre est plus quatre. Et puis nous devons ajouter ou soustraire, nous en parlerons encore plus dans un
instant. Et puis entre parenthèses moins quatre fois moins quatre, comme nous venons de le
dire, est plus seize. Et puis nous avons quatre fois deux fois moins trente. Eh bien, c’est moins deux cent quarante. Nous supprimons donc moins deux cent quarante, ce qui signifie que nous en ajoutons
deux cent quarante. Maintenant, c’est deux fois deux, ce qui fait quatre. Et puis seize plus deux cent quarante, c’est deux cent cinquante-six. Et la racine carrée de deux cent cinquante-six est exactement seize. Nous avons donc quatre plus ou moins seize sur quatre. Maintenant, c’est là que le plus ou le moins entre en jeu, cela signifie que nous
avons deux calculs à faire. Nous avons soit 𝑥 est égal à quatre plus seize sur quatre ou 𝑥 est égal à quatre
moins seize sur quatre. Et quatre plus seize font vingt, donc 𝑥 pourrait être vingt sur quatre ou 𝑥
pourrait être quatre moins seize est moins douze, donc c’est moins douze sur
quatre.
Nous avons donc deux réponses : 𝑥 est égal à cinq ou 𝑥 est égal à moins trois. Cela signifie qu’il y a deux valeurs de 𝑥, que si je les pose ici et ici dans mon
équation d’origine, je rendrai cette équation vraie. Alors vérifions cela rapidement. Donc, si je pose 𝑥 est égal à cinq, cela signifie que j’ai deux fois cinq au carré
moins quatre fois cinq moins trente. Eh bien cinq au carré, c’est vingt-cinq, donc c’est deux fois vingt-cinq. Et quatre fois cinq font vingt. J’en retire donc vingt, puis j’en retire trente autres. Eh bien, deux fois vingt-cinq, c’est cinquante. Et si je fais cinquante moins vingt moins trente, j’obtiens zéro, et c’est ce que je
cherchais. Essayons donc à nouveau avec 𝑥 est égal à moins trois.
Donc, en plaçant moins trois là-dedans, j’ai deux fois moins trois au carré moins
quatre fois moins trois, puis j’en retire trente autres. Eh bien moins trois au carré, moins trois fois moins trois est plus neuf. Ce premier terme devient donc deux fois neuf. Ensuite, je retire quatre fois moins trois, eh bien quatre fois moins trois, c’est
moins douze. Donc, si je retire moins douze, cela signifie que j’en ajoute douze. Et puis on enlève trente-deux fois neuf fois dix-huit. J’ai donc dix-huit plus douze moins trente, et c’est bien sûr zéro, ce qui est encore
ce que nous recherchions. C’est super ! On dirait que nous avons les bonnes réponses.
Maintenant, c’est la fin de cette question, mais il convient de mentionner le fait
que parce que nous avions des réponses entières, cinq et moins trois, nous avons des
réponses entières, cela signifie que l’expression originale ici aurait pris en
compte. Donc, en fait, si je factorise deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins trente, je peux
le faire comme deux 𝑥 plus six fois 𝑥 moins cinq. Parce que deux 𝑥 fois 𝑥 est deux 𝑥 au carré, deux 𝑥 fois moins cinq est moins dix
𝑥, six fois 𝑥 est plus six 𝑥 et six fois moins cinq est moins trente. Moins dix 𝑥 plus six 𝑥 est moins quatre 𝑥. Alors oui, quand je multiplie deux 𝑥 plus six fois 𝑥 moins cinq, j’obtiens
l’expression que je cherchais deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins trente. Et cela signifie que j’ai quelque chose fois quelque chose est égal à zéro. Et de toute façon, quelque chose fois quelque chose pourrait être égal à zéro si l’un
d’eux est nul. Donc, soit cela est égal à zéro, soit cela est égal à zéro. Et en résolvant les deux, j’obtiens les mêmes réponses, 𝑥 est moins trois ou 𝑥 est
égal à cinq.
Maintenant, nous allons bien au-delà de l’appel du devoir ici et nous dessinons
également la courbe, ce que nous n’avons pas besoin de faire. Mais si je dessine la courbe de 𝑦 est égal à deux 𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins
trente, je peux voir que la coordonnée 𝑦 est nulle ici et ici, et c’est à moins
trois, quand 𝑥 est égal à moins trois, ou quand 𝑥 est égal à cinq. Et ce sont les réponses que nous avons aussi. Nous essayons donc simplement de visualiser à quoi ressemble cette réponse sur la
courbe.
D’accord. Passons maintenant à notre deuxième exemple.
Résolvez sept 𝑥 au carré plus douze 𝑥 plus deux est égal à zéro. Donc cette fois, 𝑎 est sept, 𝑏 est douze et 𝑐 est deux. Ils sont tous positifs. Je peux donc les mettre dans la formule. Et puis j’obtiens un résultat de moins douze plus ou moins la racine carrée de douze
moins quatre fois sept fois deux sur deux fois sept, simplement en plaçant 𝑎, 𝑏 et
𝑐 dans cette formule. Eh bien, douze au carré, c’est cent quarante-quatre, et quatre fois sept font
vingt-huit, et vingt-huit fois deux font cinquante-six, alors nous en soustrayons
cinquante-six.
Et encore une fois, nous avons deux valeurs. Soit 𝑥 est égal à moins douze plus racine quatre-vingt-huit sur quatorze, soit 𝑥
est égal à moins douze moins racine quatre-vingt-huit sur quatorze. Maintenant, la racine quatre-vingt-huit se révèle être un nombre irrationnel. Nous ne pouvons pas simplement trouver une belle racine carrée entière facile pour
cela. Donc, généralement, dans ces questions, vous donneriez votre réponse sous sa forme la
plus simple ou vous arrondiriez à un nombre spécifique de décimales. Donc, soit 𝑥 est égal à moins six plus racine vingt-deux sur sept, ce qui est moins
zéro virgule un neuf à deux décimales, ou 𝑥 est égal à moins un moins six moins
racine vingt-deux sur tout sept qui est égale à un moins zéro virgule cinq trois à
deux décimales. Donc, c’était probablement un exemple plus typique du genre de question à laquelle on
vous demanderait de répondre, où l’expression originale ici ne prenait pas bien en
compte, nous n’avons donc pas pu trouver de belles réponses simples.
Le nombre nous demande alors de résoudre deux 𝑥 au carré moins cinq est égal à moins
six 𝑥. Mais rappelez-vous, notre formule du discriminant nécessite que l’équation soit dans
ce format, 𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. Donc, ce que je dois faire, c’est ajouter six 𝑥 des deux côtés, puis j’ai quelque
chose fois 𝑥 au carré plus quelque chose fois 𝑥 plus un nombre est égal à
zéro. Et cela me donne deux 𝑥 au carré plus six 𝑥 moins cinq est égal à zéro. Alors maintenant, 𝑎 est égal à deux, 𝑏 est égal à six et 𝑐 est égal à moins
cinq. Je peux donc simplement les insérer dans ma formule, ce qui me donne un résultat
moins six plus ou moins la racine carrée de six au carré moins quatre fois deux fois
moins cinq deux sur deux fois deux. Donc, pour simplifier ces nombres, six au carré est égal à trente-six, et quatre fois
deux à huit, fois cinq à quarante. C’était donc moins quarante. Nous supprimons moins quarante, ce qui signifie que nous ajoutons quarante. Cela signifie donc que 𝑥 est égal à six, plus ou moins racine, soixante-seize sur
quatre. Donc, cela nous donne deux calculs, l’un d’entre eux est moins six plus racine
soixante-seize sur quatre, et l’autre est 𝑥 est égal à moins six moins racine
soixante-seize sur quatre.
Donc, encore une fois, j’ai deux réponses différentes, 𝑥 est égal à moins trois plus
la racine dix-neuf sur deux, ce qui est zéro virgule six huit à deux décimales, ou
𝑥 est égal à moins trois moins la racine dix-neuf sur deux, et cela à deux la
décimale est moins trois virgule six huit.
Le numéro quatre a donc été demandé dans un format légèrement différent. Plutôt que de vous demander de résoudre deux 𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus deux est
égal à zéro, on vous demande de trouver les racines de 𝑦 égale à deux 𝑥 au carré
plus quatre 𝑥 plus deux. C’est la même question, pour trouver les racines de quelque chose, il suffit de
trouver ce que la coordonnée 𝑥 qui génère une coordonnée 𝑦 égale à zéro. Et quand nous mettons cela égal à zéro, nous avons tous les nombres positifs pour 𝑎,
𝑏 et 𝑐. 𝑎 est deux, 𝑏 est quatre et 𝑐 est deux. Donc, en plaçant ceux-ci dans la formule du discriminant, nous obtenons 𝑥 est égal à
moins quatre plus ou moins la racine carrée de quatre au carré moins quatre fois
deux fois deux tout au long de deux fois deux. Donc on évalue ceux-ci, et bien quatre au carré est seize et quatre fois deux est
huit fois deux est seize. Nous en enlevons donc seize et cela fait quatre. Eh bien évidemment, seize moins seize vaut zéro. Nous avons donc moins quatre plus ou moins la racine carrée de zéro sur quatre. Bien sûr, moins quatre n’ajoutent rien et moins quatre n’enlèvent rien, vous donne
juste moins quatre. Donc, dans les deux cas, nous avons moins quatre sur quatre, ce qui est moins un.
Donc, dans ce cas particulier, la façon dont les nombres, les 𝑎, les 𝑏, les 𝑐 ont
fonctionné dans cette formule, nous avons deux réponses, mais elles sont toutes deux
exactement les mêmes. Et cela s’appelle des racines répétées. Donc, en fait, nous pouvons simplement exprimer que 𝑥 est égal à moins un est la
seule valeur de 𝑥, qui est génère une coordonnée 𝑦 de zéro dans cette équation
originale ici.
Et en fait, juste pour l’intérêt, si nous revenons en arrière et regardons à quoi
ressemblerait la courbe, c’est à quoi elle ressemble. Et nous pouvons voir ici qu’il n’y a qu’un seul endroit qui touche l’axe 𝑥 qui a
effectivement une coordonnée 𝑦 de zéro, et qui est moins un.
D’accord. Regardons le numéro cinq alors.
Résoudre trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus quatre est égal à zéro. Donc, si nous écrivons simplement notre formule du discriminant, nous pouvons voir
que 𝑎 est trois, 𝑏 est deux et 𝑐 est quatre. Donc, le fait de placer ces valeurs pour 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans la formule du discriminant
nous donne 𝑥 est égal à moins deux plus ou moins la racine carrée de deux au carré
moins quatre fois trois fois quatre en tout deux fois trois. Eh bien, deux au carré, c’est quatre, quatre fois trois fois quatre, c’est
quarante-huit, donc nous en avons quatre moins quarante-huit dans cette racine
carrée. Et puis deux fois trois sur le dénominateur est six. Donc, deux solutions possibles, moins deux plus la racine carrée de quarante moins
quatre sur six, ou 𝑥 est égal à moins deux moins la racine carrée de quarante moins
quatre sur six. Mais si vous essayez de taper cela dans votre calculatrice, vous obtiendrez une
erreur mathématique. Le problème est ce morceau ici, racine carrée de quarante moins quatre. Il n’y a pas de nombres réels que vous pouvez multiplier par eux-mêmes pour donner
une réponse négative. Si vous prenez un nombre négatif et le multipliez par lui-même, vous obtenez une
réponse positive. Et si vous prenez un nombre positif et que vous le multipliez par lui-même, vous
obtenez une réponse positive. Il n’y a donc pas de nombre réel que vous pouvez multiplier par lui-même qui donnera
une réponse négative.
Maintenant, si nous regardons la courbe de 𝑦 est égal à trois 𝑥 au carré plus deux
𝑥 plus quatre, puis nous mettons 𝑦 égal à zéro. Nous pouvons voir qu’en fait, il n’y a pas de valeurs 𝑥 qui vont générer une
coordonnée 𝑦 de zéro. Cette courbe ne coupe pas l’axe des 𝑥 ici. Il n’y a pas de valeurs 𝑥 qui génèrent une coordonnée 𝑦 de zéro.
C’était donc un peu une question piège qui a brisé la formule. On nous a demandé de résoudre quelque chose qui n’a pas de vraies solutions. Il semble donc que ce soit une question piège, mais en réalité, il s’agit simplement
de dire, vous savez, où cette courbe quadratique coupe-t-elle l’axe des 𝑥 sur une
courbe qui ne coupe pas l’axe des 𝑥. Voilà donc ce que nous avons découvert. Donc, lorsque vous avez ici une valeur négative pour 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐,
vous savez que vous avez une courbe qui ne coupe pas l’axe 𝑥.
Droite. Juste pour voir à quel point vous avez bien fait attention, maintenant je vais vous
poser une question, numéro six, et je veux que vous essayiez de faire ça.
Voici quelques exemples où un étudiant a correctement substitué des valeurs dans la
formule du discriminant, qui nous a été donnée ici. Quelle est l’équation du second degré qu’ils essayaient de résoudre ? C’est donc quelque chose qui était égal à zéro. Maintenant, leur entraînement dit que 𝑥 est égal à cinq plus ou moins la racine
carrée de vingt-cinq moins quatre-vingts sur huit. Donc, ce que j’aime que vous fassiez, c’est de mettre la vidéo en pause, puis essayez
cette question et voyez si vous pouvez trouver ce que vous pensez de l’équation.
En regardant bien ce qu’ils ont écrit, nous pouvons voir que sur le dénominateur, il
devrait être deux 𝑎, donc huit est égal à deux 𝑎. Et donc, si je divise les deux côtés de cette équation par deux, il semble que la
valeur de 𝑎 aurait été de quatre. Maintenant, la valeur de moins 𝑏 s’avère également être cinq. Donc, si je multiplie les deux côtés de cette équation par moins un, j’ai 𝑏 est égal
à moins cinq. Et enfin, nous pouvons voir que quatre fois 𝑎 fois 𝑐 est égal à quatre-vingts. Mais nous savons que 𝑎 était égal à quatre, nous pouvons donc mettre cette valeur
ici. Cela signifie donc que quatre fois quatre fois 𝑐 est égal à quatre-vingt, ou seize
fois 𝑐 est égal à quatre-vingt. Donc, si je divise les deux côtés de cette équation par seize, seize 𝑐 divisé par
seize est juste 𝑐 et quatre-vingt divisé par seize est cinq. Donc 𝑎 était quatre, 𝑏 était moins cinq et 𝑐 était cinq. Maintenant, ils ont dit quelle est l’équation du second degré qu’ils essayaient de
résoudre. Nous pouvons donc les mettre dans cette équation ici, et nous savons que l’équation
qu’ils essayaient de résoudre était de quatre 𝑥 au carré moins cinq 𝑥 plus cinq
est égal à zéro.
Eh bien, vous avez vu une gamme de différentes questions de type formule du
discriminant. J’espère donc que vous êtes maintenant prêt à vous attaquer à toute question de type
formule du discriminant que vous pourriez rencontrer.