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Vidéo de question : Déterminer la température initiale d’un gaz en utilisant la loi de Charles Physique

Un gaz chaud qui a initialement un volume de 20 m³ se refroidit à pression constante. Lorsque le gaz atteint une température de 320 K, il a un volume de 16 m³. Quelle est la température initiale du gaz ?

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Transcription de vidéo

Un gaz chaud qui a initialement un volume de 20 mètres cubes se refroidit à pression constante. Lorsque le gaz atteint une température de 320 Kelvin, il a un volume de 16 mètres cubes. Quelle est la température initiale du gaz ?

Bien, voici notre situation. Disons que l’on a un récipient rempli de gaz. Et ici, ce gaz est représenté par ces points roses. Ici, notre récipient a trois côtés. Et le côté supérieur est une section qui se déplace librement sur laquelle repose un poids. La raison pour laquelle on a ainsi placé ce poids est parce que l’énoncé du problème nous dit que ce gaz se refroidit à pression constante. En d’autres termes, la pression qui pousse le gaz est la même tout au long de ce processus. Et donc pour indiquer cela, on a ce poids qui applique constamment la même force sur le le gaz.

On nous dit qu’initialement, le gaz a un volume de 20 mètres cubes. On appelle ce volume 𝑉 indice 𝑖 pour le volume initial. Donc 𝑉 indice 𝑖 est égal à 20 mètres cubes. Et le gaz se refroidit ensuite jusqu’à atteindre une température de 320 Kelvin. On appelle cette température, 320 Kelvin, 𝑇 indice 𝑓, 𝑓 car il s’agit de la température finale du gaz. Et on nous dit par ailleurs que lorsque la température du gaz a diminué à 320 Kelvin, le gaz a un volume de 16 mètres cubes. Et on appellera ce volume 𝑉 indice 𝑓.

Sachant tout cela, on souhaite calculer la température initiale du gaz. On peut appeler cette température 𝑇 indice 𝑖. On voit alors que, dans cet exercice, on travaille avec la température et le volume de gaz à condition que la pression du gaz soit maintenue constante. Il existe une loi particulière sur les gaz qui décrit la relation entre le volume et la température sous pression constante. Cela s’appelle la loi de Charles. Elle indique simplement qu’à pression constante, le volume d’un gaz est proportionnel à sa température.

Une façon mathématiquement équivalente d’écrire ceci est de dire que le volume de gaz est égal à une constante – on peut l’appeler 𝑘 – fois la température. Dans notre cas, cette affirmation de la loi de Charles est utile, car si on divise les deux côtés de l’équation par la température du gaz 𝑇. Alors, ce terme s’annule du côté droit. Et on obtient que le volume de gaz divisé par la température du gaz est égal à une constante. Et cela est très utile car cela indique que l’on peut choisir n’importe quel volume atteint par ce gaz particulier à pression constante. Et tant que l’on utilise la température correspondante à ce volume, ce volume divisé par cette température est égal à la même valeur. Comme on l’a écrit, ceci est égal à la constante 𝑘.

Voici comment on peut relier cela à notre cas particulier. On peut prendre le volume initial de notre gaz. On l’appelle 𝑉 indice 𝑖. Et si on divise ce volume par la température initiale du gaz, 𝑇 indice 𝑖, alors la loi de Charles dit que cela est égal à une constante. On peut l’appeler 𝑘.

Toutefois, on ne sait pas ce que vaut cette constante. Mais cela n’est pas utile puisque 𝑘 est également égal au rapport du volume final de notre gaz, 𝑉 indice 𝑓, divisé par sa température finale. On rappelle que, selon la loi de Charles, on peut choisir n’importe quel volume de gaz, que ce soit 𝑉 indice 𝑖 ou 𝑉 indice 𝑓 ou quelque part entre les deux. Et tant que l’on utilise la température de gaz correspondante, 𝑉 divisé par 𝑇 aura la même valeur. Cela signifie donc que l’on peut entièrement laisser la constante 𝑘 telle quelle.

Et on a à présent cette relation. De plus, on rappelle que l’on connait ici trois de ces quatre variables. On connait 𝑉 indice 𝑖, 𝑉 indice 𝑓 et 𝑇 indice 𝑓. Et on cherche la quatrième, 𝑇 indice 𝑖. Pour ce faire, réorganisons cette expression de sorte à isoler 𝑇 indice 𝑖 d’un côté. Si on multiplie les deux côtés de l’équation par 𝑇 indice 𝑖, ceci s’annule du côté gauche. Puis, si on multiplie les deux côtés par 𝑇 indice 𝑓 divisé par 𝑉 indice 𝑓, puis à droite, notre volume final ainsi que notre température finale s’annulent. Et on obtient que la température initiale de gaz est égale à la température finale de gaz multipliée par 𝑉 indice 𝑖 divisé par 𝑉 indice 𝑓.

Et puisque l’on connait ces trois valeurs, on peut maintenant les remplacer. 𝑇 indice 𝑓 vaut 320 Kelvin, 𝑉 indice 𝑖 vaut 20 mètres cubes, et 𝑉 indice 𝑓 vaut 16 mètres cubes. Notons que les unités de mètres cubes s’annulent. Et il nous reste simplement des unités de Kelvin dans notre réponse finale. Lorsque l’on calcule cette réponse, on trouve un résultat de 400 Kelvin. C’est donc la température initiale de ce gaz.

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