Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les mesures des angles inscrits interceptant le même arc ou des arcs superposables. Pour commencer, rappelons la signification de certains termes clés avant d’examiner un théorème qui nous aidera à résoudre des problèmes de calculs d’angles. Un angle inscrit est l’angle formé par l’intersection de deux cordes sur un cercle. Sur la figure, l’angle 𝐴𝐵𝐶 est un angle inscrit. On dit également que cet angle intercepte l’arc 𝐴𝐶.
Un certain nombre de propriétés s’appliquent à de tels angles. Et dans cette vidéo, nous allons principalement étudier l’une de ces propriétés. Celle qui dit que les angles qui interceptent le même arc sont égaux. Dans cette figure, cela signifie que les deux angles 𝐴𝐷𝐶 et 𝐴𝐵𝐶 ont la même mesure, car ces angles interceptent tous les deux l’arc 𝐴𝐶. De même, les deux angles 𝐷𝐴𝐵 et 𝐷𝐶𝐵 ont la même mesure. Ces angles interceptent tous les deux l’arc 𝐵𝐷. Cela équivaut à dire que deux angles interceptant le même arc de cercle ont la même mesure. Mais cette propriété pourrait aussi s’appeler la propriété du nœud papillon, car les deux angles inscrits forment un nœud papillon.
Il est important de noter que cette définition est informelle et ne doit pas être mentionnée dans une preuve mathématique ou autre. Et l’un des aspects incroyablement puissants de cette propriété, c’est que l’on peut construire autant d’angles que l’on veut qui interceptent l’arc 𝐴𝐶, ils seront tous égaux. De même, on peut tracer autant d’angles que l’on veut qui interceptent l’arc 𝐵𝐷 ou même 𝐵𝐸. Encore une fois, tous seront égaux. Avant de montrer comment appliquer cette propriété, commençons par une très brève preuve géométrique.
Dans le cadre de cette preuve, ajoutons le centre du cercle. Appelons-le 𝑂. Traçons deux rayons, en l’occurrence les rayons 𝐴𝑂 et 𝑂𝐶. Appliquons maintenant une propriété connue : L’angle inscrit mesure la moitié de l’angle au centre qui intercepte le même arc. Ou plus simplement, l’angle au centre est le double de l’angle inscrit dans le cercle. Notons deux 𝑥 la mesure de cet angle au centre, l’angle 𝐴𝑂𝐶.
On aurait tout aussi bien pu l’appeler 𝑥, 𝑏 ou 𝑦. Mais il est logique de choisir un multiple de deux, cela simplifiera légèrement les calculs ultérieurs. Alors l’angle 𝐴𝐷𝐶 mesure la moitié de celui-ci. Il mesure donc la moitié de deux 𝑥, c’est-à-dire 𝑥 degrés. On peut ensuite appliquer la même règle pour calculer la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶. Encore une fois, il mesure la moitié de l’angle au centre, c’est-à-dire la moitié de deux 𝑥, soit 𝑥 degrés. Nous pouvons donc en conclure que ces angles ont la même mesure. La mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égale à la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐶, ce qu’il fallait démontrer. Nous avons maintenant la propriété et une preuve ; passons à une application simple.
Sachant que l’angle 𝐵𝐴𝐷 mesure 36 degrés et que l’angle 𝐶𝐵𝐴 mesure 37 degrés, déterminez les mesures des angles 𝐵𝐶𝐷 et 𝐶𝐷𝐴.
Commençons par indiquer sur la figure les angles donnés. L’angle 𝐵𝐴𝐷 mesure 36 degrés, et l’angle 𝐶𝐵𝐴 mesure 37 degrés. Nous cherchons à calculer l’angle 𝐵𝐶𝐷, celui-ci, et l’angle 𝐶𝐷𝐴, celui-là. Nous voyons que le premier angle inconnu, 𝐵𝐶𝐷, intercepte le même arc 𝐵𝐷 que l’angle 𝐵𝐴𝐷. Nous savons aussi que les angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux. Ainsi, l’angle 𝐵𝐴𝐷 est de même mesure que l’angle 𝐵𝐶𝐷. Mais nous avons déjà vu qu’il mesurait 36 degrés.
De même, nous voyons que l’angle 𝐴𝐷𝐶 intercepte le même arc que l’angle 𝐴𝐵𝐶. Et donc, ces deux angles sont de même mesure. La mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égale à celle de l’angle 𝐴𝐷𝐶. C’est-à-dire 37 degrés. Ainsi, en utilisant la propriété des angles inscrits qui interceptent le même arc, nous trouvons que l’angle 𝐵𝐶𝐷 mesure 36 degrés et l’angle 𝐶𝐷𝐴 37 degrés.
Dans cet exemple, nous avons vu comment résoudre des problèmes impliquant des valeurs numériques pour les angles. Dans l’exemple suivant, voyons comment appliquer la même propriété, mais cette fois pour résoudre des problèmes impliquant des expressions algébriques.
Sachant que l’angle 𝐵𝐴𝐷 mesure deux 𝑥 plus deux degrés et que l’angle 𝐵𝐶𝐷 mesure 𝑥 plus 18 degrés, déterminez la valeur de 𝑥.
Commençons par indiquer sur la figure les mesures des angles 𝐵𝐴𝐷 et 𝐵𝐶𝐷. On voit alors que ces angles inscrits interceptent tous les deux l’arc 𝐵𝐷. Énonçons donc un des théorèmes que nous utilisons avec les angles inscrits : Les angles interceptant le même arc sont égaux, ou encore les angles sur le même segment sont égaux. Cela signifie que l’angle 𝐵𝐴𝐷 est égal à l’angle 𝐵𝐶𝐷. Cela nous permet d’écrire et de résoudre une équation d’inconnue 𝑥. L’angle 𝐵𝐴𝐷 mesure deux 𝑥 plus deux degrés, et l’angle 𝐵𝐶𝐷 mesure 𝑥 plus 18 degrés. Donc, deux 𝑥 plus deux est égal à 𝑥 plus 18.
Pour résoudre cette équation, commençons par soustraire 𝑥 de chaque côté, ce qui donne 𝑥 plus deux égale 18. Enfin, isolons le 𝑥 en soustrayant deux de chaque côté. 18 moins deux égale 16. Nous avons donc déterminé la valeur de 𝑥 ; à savoir 16.
Maintenant, vous ne serez probablement pas surpris de savoir que les propriétés des angles inscrits peuvent s’étendre à des cercles distincts ou même à des arcs superposables. En particulier, si deux cercles sont superposables, alors les angles inscrits qui interceptent des arcs superposables sont égaux. Sur notre figure, cela signifie que si les arcs 𝐴𝐶 et 𝐷𝐹 sont superposables, alors les angles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐷𝐸𝐹 sont égaux.
Bien qu’on soit tenté de chercher une forme de nœud papillon pour résoudre les problèmes avec des angles inscrits, on voit bien que ce n’est pas toujours la méthode la plus judicieuse. L’exemple suivant va servir à illustrer cela.
Sachant que l’angle 𝐹𝐸𝐷 mesure 14 degrés et que l’angle 𝐶𝐵𝐴 mesure deux 𝑥 moins 96 degrés, calculez la valeur de 𝑥.
Observons la figure. On voit rapidement que l’arc 𝐴𝐶 est superposable à l’arc 𝐷𝐹. Et on sait que les angles inscrits qui interceptent des arcs de cercle superposables ont la même mesure. Cela signifie donc que l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égal à l’angle 𝐷𝐸𝐹. On nous dit en fait que l’angle 𝐴𝐵𝐶 ou 𝐶𝐵𝐴 mesure deux 𝑥 moins 96. Et l’angle 𝐹𝐸𝐷, qui est égal à 𝐷𝐸𝐹, mesure 14 degrés. Puisque ces angles sont égaux, nous pouvons écrire et résoudre une équation d’inconnue 𝑥 : Deux 𝑥 moins 96 est égal à 14. Pour trouver 𝑥, ajoutons 96 de chaque côté, ce qui donne deux 𝑥 égale 110. Et enfin, divisons par deux, ce qui donne 𝑥 égale 55. Et donc, d’après les informations données sur les angles 𝐹𝐸𝐷 et 𝐶𝐵𝐴, on peut en déduire que 𝑥 vaut 55 degrés.
Dans tous les exemples précédents, nous avons utilisé des cercles superposables, c’est-à-dire identiques. Que faire si on a deux cercles concentriques ? Rappelez-vous : les cercles concentriques sont des cercles qui partagent le même centre. Nous savons également que deux cercles quelconques sont toujours semblables. Et donc, nous pouvons dire que des angles inscrits qui interceptent deux arcs de même mesure dans ces cercles de même centre sont égaux. L’exemple suivant va servir à illustrer cela.
Sur la figure, les segments 𝐴𝐸 et 𝐵𝐶 passent par le centre des cercles. Sachant que l’angle 𝐹𝐸𝐷 mesure 50 degrés et que l’angle 𝐶𝐵𝐴 mesure deux 𝑥 moins 10 degrés, trouvez 𝑥.
Commençons par reporter ces mesures sur la figure. 𝐹𝐸𝐷 mesure 50 degrés et 𝐶𝐵𝐴 mesure deux 𝑥 moins 10 degrés. Nous savons que les angles qui interceptent un même arc sont égaux. Mais nous savons aussi que les angles qui interceptent des arcs de même mesure sont égaux. C’est vraiment utile en présence de deux cercles concentriques, car on peut dire que l’arc 𝐹𝐷 est de même mesure que l’arc 𝐶𝐴. Ils sont tous deux égaux à cet angle ici. Puisque ces deux arcs sont de même mesure, tous les angles qui interceptent ces arcs sont également de même mesure. Autrement dit, la mesure de l’angle 𝐹𝐸𝐷 est égale à celle de l’angle 𝐶𝐵𝐴.
On en déduit que 50 égale deux 𝑥 moins 10. On obtient alors une simple équation d’inconnue 𝑥. Commençons par ajouter 10 de chaque côté, ce qui donne 60 égale deux 𝑥. Divisons ensuite par deux, on obtient 30 égale 𝑥, soit 𝑥 égale 30.
Dans les exemples précédents, nous avons utilisé les propriétés des angles inscrits dans un cercle pour trouver les valeurs manquantes. Nous pouvons également appliquer la propriété réciproque pour prouver des énoncés à propos de cercles. Si deux angles de mesures égales interceptent le même segment et se situent du même côté de ce segment, alors leurs sommets et les extrémités du segment passent par un même cercle. Sur la figure, par exemple, comme la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐶 est égal à la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐶 et que ces deux angles interceptent le segment 𝐴𝐶 et sont du même côté, alors les points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 appartiennent tous à un même cercle. Dans le dernier exemple, nous allons utiliser ces informations pour savoir s’il existe un cercle passant par quatre points donnés.
Sachant que l’angle 𝐵𝐶𝐴 mesure 61 degrés et que l’angle 𝐷𝐴𝐵 mesure 98 degrés, existe-t-il un cercle qui passe par les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 ?
Rappelez-vous que si deux angles égaux interceptent le même segment et se situent du même côté, alors leurs sommets et les extrémités du segment appartiennent à un cercle dont ce segment est une corde. Or, on a justement le segment AB qui est intercepté par les angles 𝐵𝐶𝐴 et 𝐵𝐷𝐴. Ces angles se trouvent du même côté du segment. Donc, si les angles 𝐵𝐶𝐴 et 𝐵𝐷𝐴 sont égaux, alors nos quatre points se trouvent tous sur le cercle. Or, on sait que l’angle 𝐵𝐶𝐴 mesure 61 degrés et l’angle 𝐵𝐴𝐷 98 degrés.
Comme le triangle 𝐵𝐷𝐴 est isocèle, on peut calculer l’angle 𝐵𝐷𝐴 en soustrayant 98 de 180 puis en divisant par deux. On obtient alors la mesure de l’angle 𝐵𝐷𝐴 : 41 degrés. On voit donc que les angles 𝐵𝐶𝐴 et 𝐵𝐷𝐴 ne sont pas égaux. Comme ces angles sont différents, on en conclut qu’aucun cercle ne passe par ces points, donc la réponse est non.
Récapitulons les concepts clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons appris que les angles inscrits interceptés par le même arc sont égaux. Nous avons également vu que les angles inscrits interceptés par des arcs superposables ou de même mesure sont également égaux. Enfin, nous avons appris que les réciproques de ces propriétés sont également vraies. Si deux angles égaux sont interceptés par le même segment, et se situent du même côté de ce segment, alors leurs sommets et les extrémités de ce segment appartiennent à un même cercle. Dans ce cercle, ce segment représente une corde.