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Lequel des graphiques suivants représente l’équation 𝑦 égale moins 𝑥 moins un le tout au carré ?
Dans cette question, on nous donne cinq graphiques, et nous devons déterminer lequel de ces cinq graphiques représente l’équation 𝑦 égale moins un fois 𝑥 moins un le tout au carré. Et il y a plusieurs façons de procéder. Par exemple, nous pourrions essayer d’éliminer les options en déterminant des points sur la courbe. Cependant, cette méthode ne fonctionnera que si nous connaissons les points. Donc, à la place, nous allons simplement esquisser la courbe 𝑦 est égal à moins une fois 𝑥 moins un le tout au carré.
Et pour nous aider à esquisser cette courbe, nous devons remarquer quelque chose d’intéressant. L’équation qui nous est donnée est sous forme de sommet. C’est la forme 𝑦 égale 𝑎 fois 𝑥 moins ℎ le tout au carré plus 𝑘, où 𝑎, ℎ et 𝑘 sont des nombres réels et 𝑎 est différent de zéro. Et nous pouvons rappeler que les valeurs de 𝑎, ℎ et 𝑘 nous donnent des informations utiles sur notre courbe. Tout d’abord, les coordonnées du sommet de notre parabole seront ℎ, 𝑘. Le sommet est aussi appelé point de retournement.
Déterminons les valeurs de 𝑎, ℎ et 𝑘 pour l’équation qui nous est donnée dans la question. Premièrement, le coefficient de la parenthèse est moins un. Donc, 𝑎 vaut moins un. Ensuite, nous soustrayons un de 𝑥. Donc, ℎ vaut un. Enfin, nous n’avons aucune constante à la fin de notre expression. Ainsi, 𝑘 vaut zéro. Par conséquent, si nous substituons ℎ égale un et 𝑘 égale zéro, le sommet aura donc les coordonnées un, zéro. Et si nous le voulons, nous pouvons ajouter les coordonnées des sommets de nos quatre options pour en éliminer.
Nous voyons dans l’option (A) que le sommet n’est pas aux coordonnées un, zéro. Dans l’option (B), le sommet n’est pas aux coordonnées un, zéro. Et dans l’option (D), le sommet n’est pas non plus aux coordonnées un, zéro. Ces trois options ne peuvent donc pas être des graphiques de l’équation qui nous est donnée dans la question. Cependant, il n’est pas nécessaire d’utiliser l’élimination pour répondre à cette question. Continuons à dessiner notre graphique. Nous rappelons que la valeur de 𝑎 nous donne des informations sur la forme de la parabole. En particulier, si 𝑎 est positif, notre parabole s’ouvre vers le haut, et si 𝑎 est négatif, notre parabole s’ouvre vers le bas. Dans notre cas, la valeur de 𝑎 est négative. Et nous pouvons voir que l’option (C) s’ouvre vers le haut. Donc, l’option (C) ne peut pas être correcte. Et cela suffit pour répondre à notre question par élimination ; seule l’option (E) peut représenter le graphique de cette équation.
Terminons cependant le croquis de notre courbe. Nous avons montré que les coordonnées du sommet de cette parabole sont un, zéro. Et c’est une parabole qui s’ouvre vers le bas. Cependant, il y a un nombre infini de paraboles qui s’ouvrent vers le bas ayant pour sommet le point un, zéro. Donc, nous devrions également trouver les coordonnées d’un point supplémentaire sur notre courbe. Nous trouverons les coordonnées du point d’intersection avec l’axe des ordonnées, que nous pouvons trouver en substituant 𝑥 égale zéro dans l’équation de notre courbe. Nous obtenons 𝑦 égale moins un fois zéro moins un le tout au carré, c’est-à-dire moins un. Ainsi, l’ordonnée de l’intersection avec l’axe 𝑦 pour cette courbe est moins un, ce qui est également en accord avec l’option (E).
Par conséquent, nous avons pu montrer que parmi les cinq options données, seule l’option (E) représente l’équation 𝑦 égale moins une fois 𝑥 moins une au carré.