Transcription de la vidéo
À partir de la figure donnée, calculez le rapport entre la masse volumique du liquide B et la masse volumique du liquide A.
Dans cette question, on nous montre la figure d’un manomètre à colonne de liquide, qui est utilisé pour mesurer la différence de pression entre les deux bras du tube en forme de U. Notez que le liquide B est sur le côté gauche du manomètre tandis que le liquide A commence sous le liquide B et continue jusqu’à l’autre extrémité. Le liquide B est à une hauteur de deux ℎ au-dessus de la ligne pointillée. Et le liquide A atteint un ℎ au-dessus de la même ligne. On nous demande d’étudier cette image et de calculer le rapport entre la masse volumique du liquide B et la masse volumique du liquide A.
Pour répondre à cette question, rappelons d’abord que pour un manomètre à colonne de liquide contenant un seul liquide, si la hauteur du liquide est différente dans les tubes gauche et droit, cela implique qu’une pression différente est exercée de chaque côté. Plus précisément, si nous appelons la pression exercée à gauche 𝑃 L et la pression exercée à droite 𝑃 R, alors nous pouvons rappeler que la différence entre ces quantités 𝑃 L moins 𝑃 R est donnée par 𝜌𝑔Δℎ. Ici, 𝜌 est la masse volumique du liquide. 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel de la Terre. Et Δℎ est la différence de hauteur de liquide entre les deux côtés.
En revenant au tube qui nous a été donné dans la question, nous pouvons voir que la hauteur du liquide A est différente des deux côtés. Nous pouvons voir que la hauteur à droite est d’une distance ℎ supérieure à celle à gauche. On peut donc dire que la différence de pression entre les surfaces du liquide A, 𝑃 L moins 𝑃 R, est donnée par 𝜌 A 𝑔ℎ. 𝜌 A est la masse volumique du liquide A. 𝑃 L est la pression exercée sur la surface gauche du liquide A, qui est ici. Et 𝑃 R est la pression exercée sur la surface droite du liquide A, qui est ici. Gardons cette équation en tête pour plus tard. Et faisons un peu plus d’espace à l’écran.
Maintenant, dans ce scénario particulier, la différence de hauteur pour le liquide A n’est pas causée par une différence de pression de gaz de chaque côté. Au lieu de cela, elle est causée par la pression exercée par le liquide B à gauche, qui n’est pas présent à droite. Nous pouvons décomposer cela de la manière suivante. Les deux côtés du tube sont ouverts, nous pouvons donc supposer que ce gaz est de l’air et exerce une pression atmosphérique de chaque côté. Donc, du côté droit du tube, la pression sur la surface du liquide A est juste la pression atmosphérique. Nous allons l’appeler cela 𝑃 indice atm. Sur le côté gauche du tube, la surface du liquide A subit une pression atmosphérique car ce côté du tube est également ouvert à l’atmosphère. Mais il subit également une certaine pression exercée par le liquide B. Nous appelons cette pression 𝑃 indice B.
On peut donc dire que la pression à la surface gauche du liquide A est égale à la pression atmosphérique plus la pression due au liquide B. Mais quelle est la pression exercée par le liquide B sur la surface du liquide A ? Eh bien, nous pouvons nous rappeler que dans une colonne de liquide, ce qui est ce que nous avons ici avec le liquide B, nous pouvons calculer la pression à n’importe quelle hauteur en utilisant une formule similaire à celle que nous avons vue plus tôt. La pression exercée en un point dans un liquide, si ce point est à une distance 𝑥 sous la surface, est donnée par 𝜌𝑔𝑥, avec 𝜌 la masse volumique du liquide. Et la pression est exercée en ce point en raison du poids de tout le liquide au-dessus. C’est pourquoi, plus nous allons au fond d’un liquide, plus nous exerçons de pression.
Maintenant, si nous utilisons cette équation pour calculer la pression exercée en un point à la base de la colonne de liquide B, cela nous indiquera également la pression exercée par le liquide B sur la surface du liquide A. En effet, la base du liquide B est en contact avec la surface supérieure du liquide A. On peut donc dire que la pression exercée par le liquide B sur la surface du liquide A est donnée par 𝑃 B est égale à 𝜌 B 𝑔 fois deux ℎ. 𝜌 B est bien sûr la masse volumique du liquide B. Et nous utilisons deux ℎ puisque c’est la hauteur du liquide B. Ensuite, nous pouvons utiliser cela dans notre équation. Nous avons donc maintenant 𝑃 L est égal à 𝑃 atm plus deux 𝜌 B 𝑔ℎ. La pression exercée sur la surface gauche du liquide A est égale à la pression atmosphérique plus la pression exercée par le poids du liquide B.
Enfin, revenons à l’équation que nous avons dérivée plus tôt: 𝑃 L est égal à 𝑃 R plus 𝜌 A 𝑔ℎ. Nous pouvons le réorganiser en soustrayant 𝑃 R des deux côtés. Cela nous donne une expression pour 𝑃 L. Nous avons maintenant deux expressions pour 𝑃 L. Et en les rendant égales, nous trouvons que 𝜌 A 𝑔ℎ plus 𝑃 R est égal à 𝑃 atm plus deux 𝜌 B 𝑔ℎ. Rappelons que la pression sur la surface droite, 𝑃 R, est la même que la pression atmosphérique, 𝑃 atm, nous pouvons annuler ces termes et nous retrouver avec 𝜌 A 𝑔ℎ égale à deux 𝜌 B 𝑔ℎ. Ceci est utile car nous essayons de trouver le rapport entre les masses volumiques de liquide B et de liquide A. En d’autres termes, nous essayons de trouver 𝜌 B divisé par 𝜌 A. Et nous avons ici les deux quantités dans notre équation. Alors réorganisons-la.
Premièrement, nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par 𝑔ℎ, ce qui signifie qu’ils s’annulent des deux côtés. Ensuite, divisons les deux côtés par deux 𝜌 A. À gauche, le facteur 𝜌 A s’annule. Et à droite, le facteur deux s’annule. Il nous reste donc notre réponse finale : un demi est égal à 𝜌 B sur 𝜌 A. Le rapport entre la masse volumique du liquide B et la masse volumique du liquide A est un demi.
