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Vidéo question :: Calculer la moyenne géométrique de deux nombres élevés au carré Mathématiques • Deuxième année secondaire

Calculez la moyenne géométrique de 3² et 6².

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Transcription de la vidéo

Calculez la moyenne géométrique de trois au carré et six au carré.

Commençons par rappeler la définition de la moyenne géométrique. Pour deux nombres 𝑎 et 𝑏 de même signe, la moyenne géométrique de 𝑎 et 𝑏 est la racine carrée de 𝑎𝑏. On ne peut calculer la moyenne géométrique de deux nombres que s’ils sont de même signe, car si les deux nombres sont de signes opposés, alors leur produit est négatif. Et la racine carrée d’un nombre négatif donne un résultat non réel.

On cherche à calculer la moyenne géométrique des deux nombres trois au carré et six au carré. Or, trois au carré égal neuf et six au carré égal 36. Donc, ces deux nombres sont positifs. Ils sont donc de même signe et on peut calculer leur moyenne géométrique. Il y a deux manières d’aborder ce problème. Une méthode consiste à calculer trois au carré et six au carré. La moyenne géométrique de trois au carré et six au carré est la racine carrée de leur produit, c’est donc la racine carrée de neuf multiplié par 36. Neuf multiplié par 36 égal 324. On pourrait utiliser une calculatrice. Ou alors on pourrait savoir que la racine carrée de 324 vaut 18.

L’autre méthode, peut-être ici la plus judicieuse des deux, consiste à appliquer une des règles de calculs des racines carrées. La racine carrée d’un produit 𝑎𝑏 est égale à la racine carrée de 𝑎 multipliée par la racine carrée de 𝑏. Ainsi, la racine carrée de trois au carré multiplié par six au carré est égal à la racine carrée de trois au carré multipliée par la racine carrée de six au carré. Trois et six sont tous les deux positifs. Et comme le carré et la racine carrée sont des opérations réciproques pour les nombres positifs, la racine carrée de trois au carré vaut trois et la racine carrée de six au carré vaut six. On a donc trois multiplié par six, ce qui est égal à 18, comme tout à l’heure. La moyenne géométrique de trois au carré et six au carré est 18.

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