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Vidéo question :: Identifier le centre d’un cercle passant par les sommets d’un triangle Mathématiques • Troisième préparatoire

Peut-on utiliser le point 𝑁 sur la figure ci-dessous pour tracer un cercle qui passe par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐶 ?

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Transcription de la vidéo

Peut-on utiliser le point 𝑁 sur la figure ci-dessous pour tracer un cercle qui passe par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐶 ?

Commençons par rappeler qu’un cercle est un ensemble de points dans un plan qui sont équidistants d’un point au centre. Et cela signifie que si le point 𝑁 est le centre du cercle, alors 𝐴, 𝐵 et 𝐶 seront tous équidistants du centre 𝑁. Par conséquent, nous devons considérer que si les trois segments 𝐴𝑁, 𝐵𝑁 et 𝐶𝑁 ont la même longueur. Si c’était le cas, alors ils seraient tous des rayons du cercle de centre 𝑁. Mais nous pouvons voir sur la figure que ce n’est pas le cas. Et s’il s’agissait d’une question sur papier, nous aurions pu mesurer la longueur avec une règle et établir que les segments ne sont pas égaux. Et donc la réponse courte à cette question est non, nous ne pouvons pas utiliser le point 𝑁 pour dessiner un cercle passant par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐶.

Mais regardons ce qui a été fait dans la figure et comment trouver le centre d’un cercle qui passe par 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Nous pouvons remarquer que les droites à travers chaque sommet du triangle ont divisé l’angle au sommet en deux. Ce genre de choses est souvent utilisé en examen car nous avons besoin d’une sorte d’une droite remarquable pour trouver le centre d’un cercle de ces trois sommets, mais il ne s’agit pas d’une bissectrice. Si nous voulions trouver le centre d’un cercle passant par ces trois points, nous utiliserions une médiatrice. Voyons comment cela fonctionnerait dans ce triangle 𝐴𝐵𝐶.

Prenons une copie du triangle 𝐴𝐵𝐶 et supprimons les bissectrices. La méthode ici serait de prendre les médiatrices de deux des segments de droite. Commençons donc avec le segment de droite 𝐴𝐵. Si nous voulons construire avec précision une médiatrice, nous utilisons un compas. En plaçant notre compas aux points 𝐴 ensuite 𝐵 et en traçant des arcs de chaque côté du segment de droite, nous pouvons ensuite joindre une droite par les deux points d’intersection des arcs. Cette droite représente tous les points qui sont équidistants des points 𝐴 et 𝐵.

Nous pouvons suivre le même processus pour trouver la médiatrice du segment de droite 𝐵𝐶. Cette médiatrice nous donnera tous les points qui sont équidistants des points 𝐵 et 𝐶. Et nous remarquons qu’il existe un point d’intersection entre ces deux médiatrices. Ce point est équidistant de 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Les trois segments de droite du point d’intersection à chaque sommet du triangle pourraient être les rayons d’un cercle, un cercle qui pourrait ressembler à ceci.

Et donc nous avons démontré que pour trouver le centre d’un cercle qui passe par trois points, nous devons trouver les médiatrices de deux segments de droite. Nous n’utilisons pas les bissectrices. L’utilisation des bissectrices comme cela a été fait ici pour trouver le point 𝑁 signifie que le point 𝑁 ne peut pas être utilisé pour dessiner un cercle qui passe par les sommets du triangle 𝐴𝐵𝐶.

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