Transcription de la vidéo
Soient les points 𝐴 zéro, zéro, 𝐵 un, zéro, 𝐶 un, un et 𝐷 zéro, un dans un repère
du plan. Il y a ensuite trois questions. Premièrement, si le repère est quelconque, quelle est la nature du quadrilatère
𝐴𝐵𝐶𝐷 ? Est-ce (A) un carré, (B) un cerf-volant, (C) un trapèze, (D) un rectangle ou (E) un
parallélogramme ?
Pour cette question, nous devons identifier la nature du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷
sachant que le repère est quelconque. Commençons par rappeler que lorsqu’un repère est quelconque, les axes des abscisses
et des ordonnées ne sont pas perpendiculaires. En représentant les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷, le quadrilatère ressemblerait à
ceci. On voit que le segment 𝐴𝐷 est parallèle au segment 𝐵𝐶, qui est parallèle à l’axe
des ordonnées. De même, le segment 𝐴𝐵 est parallèle au segment 𝐷𝐶, qui est parallèle à l’axe des
abscisses.
Le quadrilatère a deux paires de côtés parallèles qui ne forment pas un angle
droit. Cela signifie que si le repère est quelconque, le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un
parallélogramme. La bonne réponse est donc la réponse (E).
Nous allons maintenant faire un peu de place et étudier la deuxième question.
Nous avons toujours les quatre mêmes points 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. Mais la question est maintenant : si le repère est orthogonal, quelle est la nature
du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 ? Est-ce (A) un carré, (B) un cerf-volant, (C) un trapèze ou (D) un rectangle ?
La différence pour cette question est que le repère est orthogonal et non
quelconque. On rappelle que cela signifie que les axes des abscisses et des ordonnées sont
perpendiculaires. On peut à nouveau représenter les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 sur le repère. Les segments 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶 sont parallèles à l’axe des ordonnées et les segments 𝐴𝐵
et 𝐷𝐶 sont parallèles à l’axe des abscisses. Cela signifie que la figure est à nouveau un parallélogramme. Il s’agit cependant d’un type spécial de parallélogramme, car les segments 𝐴𝐵 et
𝐴𝐷 sont perpendiculaires.
Et un parallélogramme avec des angles droits est en fait un rectangle. Nous pouvons donc conclure que si le repère est orthogonal, le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷
est un rectangle. La bonne réponse est la réponse (D).
Considérons maintenant la troisième et dernière partie de cette question.
Nous avons toujours les quatre mêmes points. Mais la question est cette fois : si le repère est orthonormé, quelle est la nature
du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 ? Et nous n’avons que trois options : (A) un carré, (B) un cerf-volant ou (C) un
trapèze.
Dans un repère orthonormé, les axes des abscisses et des ordonnées sont
perpendiculaires et les unités de longueur sont égales. Cela signifie le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 a les mêmes propriétés que dans la deuxième
question. Les segments 𝐴𝐷 et 𝐵𝐶 sont parallèles à l’axe des ordonnées, les segments 𝐴𝐵 et
𝐷𝐶 sont parallèles à l’axe des abscisses et les segments 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 sont
perpendiculaires. Mais on sait de plus que la longueur de 𝐴𝐵 est égale à la longueur de 𝐴𝐷. Nous pouvons donc conclure que si le repère est orthonormé, le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷
est un carré. La bonne réponse est la réponse (A).
En résumé, nous avons trouvé que pour les points 𝐴 zéro, zéro, 𝐵 un, zéro, 𝐶 un,
un et 𝐷 zéro, un, si le repère est quelconque, le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un
parallélogramme. Si le repère est orthogonal, le quadrilatère est un rectangle. Et si le repère est orthonormé, le quadrilatère est un carré.
