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Le courbe parabolique suivante représente une fonction d’expression 𝑔 de 𝑥 obtenue après une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses 𝑥. Déterminez la fonction initiale d’expression 𝑓 de 𝑥.
Pour répondre à cette question, commençons par déterminer une égalité qui décrit la fonction d’expression 𝑔 de 𝑥. Bien, c’est une courbe parabolique. Alors, que cela nous dit-il sur cette égalité ? Eh bien, que ça sera une équation du second degré et qu’elle sera de la forme 𝑦 égal 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐. Pour avoir ce genre de parabole retournée, cette forme en n, nous savons que la valeur de 𝑎 doit être négative. Elle est inférieure à zéro. Nous savons également que la valeur de 𝑐 nous donne l’ordonnée à l’origine de la courbe. Ici, la valeur de 𝑐 doit donc être égale à moins six. Donc, notre équation va être de la forme 𝑦 égal 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 moins six.
Maintenant, il y a plusieurs manières de trouver les valeurs de 𝑎 et de 𝑏. L’une consiste à choisir deux autres coordonnées supplémentaires qui se trouvent sur notre courbe et à écrire puis à résoudre un système d’équations linéaires. L’autre consiste à considérer le sommet. Nous allons utiliser la première méthode, puis nous utiliserons le sommet pour vérifier notre réponse. Puisque quatre petits carreaux représentent deux unités, nous déduisons que deux petits carreaux représentent une unité. Ainsi, notre courbe passe par les points un, moins cinq et deux, moins six. En d’autres termes, lorsque 𝑥 vaut un, 𝑦 vaut moins cinq. Et quand 𝑥 vaut deux, 𝑦 vaut moins six.
Donc, notre première équation en utilisant les coordonnées un, moins cinq est moins cinq égal 𝑎 fois un au carré plus 𝑏 fois un moins six. Cela se simplifie par moins cinq égal 𝑎 plus 𝑏 moins six. Ensuite, en ajoutant six à chaque membre, nous obtenons un égal 𝑎 plus 𝑏. Et ceci est notre première équation. Répétons cette méthode avec la paire de coordonnées suivante. Nous obtenons moins six égal 𝑎 fois deux au carré plus 𝑏 fois deux moins six, ce qui se simplifie par moins six égal quatre 𝑎 plus deux 𝑏 moins six. Nous pouvons ajouter six aux deux membres de cette équation, puis simplifier en divisant l’ensemble par deux. Donc, nous avons notre deuxième équation. C’est zéro égal deux 𝑎 plus 𝑏.
Faisons un peu de place afin de résoudre le système d’équations linéaires. Puisque le coefficient de 𝑏 dans chaque équation est le même, nous allons soustraire l’équation un à l’équation deux. Lorsque nous faisons cela, deux 𝑎 moins 𝑎 donne 𝑎, 𝑏 moins 𝑏 donne zéro et zéro moins un donne moins un. Donc, nous constatons que 𝑎 est égal à moins un. Remplaçons maintenant cette valeur de 𝑎 dans notre première équation. Ainsi, moins un plus 𝑏 égal un. Et en ajoutant un à chaque membre, nous constatons que 𝑏 est égal à deux. Nous sommes maintenant prêts à remplacer cela dans notre équation, ce qui nous donne 𝑦 égal moins 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins six. Et rappelez-vous, nous nous attendions à une valeur négative pour 𝑎 puisque notre courbe est retournée.
Maintenant, nous avons dit que nous pouvions vérifier cela en considérant le sommet de la courbe : le point un, moins cinq. Si nous écrivons notre réponse sous la forme canonique, cela nous donnerait une indication sur les coordonnées du sommet. Alors, faisons cela juste pour vérifier. Nous commençons par factoriser par moins un les deux premiers termes. Ensuite, lorsque nous complétons le carré de l’expression 𝑥 au carré moins deux 𝑥, nous obtenons 𝑥 moins un le tout carré, puis nous soustrayons un au carré, soit un. En redistribuant moins un, nous obtenons moins 𝑥 moins un au carré plus un moins six. Et donc, l’équation, alternativement, peut être écrite 𝑦 égal moins 𝑥 moins un le tout au carré moins cinq.
Ces deux valeurs ci, ces constantes, nous donnent une indication sur les coordonnées du sommet de notre courbe. Nous changeons le signe du terme entre parenthèses afin d’obtenir l’abscisse 𝑥. Et nous voyons que ce point particulier a pour abscisses un, moins cinq comme nous l’avions prévu. Donc, nous connaissons maintenant l’équation de la courbe donnée. Alors, que se passe-t-il lorsque nous construisons le symétrique de cette courbe par rapport à l’axe des abscisses 𝑥 ? Eh bien, supposons que nous ayons une fonction dont la courbe représentative a pour équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥. 𝑦 égal moins 𝑓 de 𝑥 est l’équation de la courbe symétrique à la courbe initiale par rapport à l’axe des abscisses 𝑥. Bien sûr, nous avons pour l’instant une fonction d’expression 𝑔 de 𝑥 dont la courbe symétrique a déjà été construite par rapport à l’axe des abscisses 𝑥. Il s’ensuit que nous pouvons revenir en arrière en construisant à nouveau son symétrique, donc la méthode sera la même.
En redéfinissant 𝑔 de 𝑥 par moins 𝑥 moins un le tout au carré moins cinq, on peut dire que 𝑓 de 𝑥 va être égal à moins 𝑔 de 𝑥. En gros, nous devons prendre notre fonction d’expression 𝑔 de 𝑥 et la multiplier par moins un. Donc, c’est moins un fois moins 𝑥 moins un le tout au carré moins cinq. Et si nous redistribuons ces parenthèses, en multipliant par moins un, nous obtenons 𝑥 moins un au carré plus cinq. Nous allons laisser cela sous forme canonique et nous constatons que 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 moins un le tout au carré plus cinq.