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Si 𝐴 et 𝐵 sont deux matrices inversibles, alors que vaut l’inverse de 𝐴 fois 𝐵 ?
Dans cette question, on nous donne deux matrices non singulières 𝐴 et 𝐵. Et nous devons déterminer la valeur de l’inverse de leur produit. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler ce que signifie qu’une matrice est non singulière. Cela signifie que la matrice est inversible. En d’autres termes, nous savons que l’inverse de 𝐴 et l’inverse de 𝐵 sont bien définies. Et il y a une autre propriété utile sur les matrices 𝐴 et 𝐵 que cela nous indique. Elle nous dit qu’elles doivent être des matrices carrées, car seules les matrices carrées sont inversibles. Et cela est presque suffisant pour nous aider à trouver une expression pour l’inverse de la matrice 𝐴 multipliée par 𝐵.
Cependant, il y a une chose qui est supposée ici, qui est que nous pouvons multiplier les matrices 𝐴 et 𝐵 ensemble. Et bien sûr, puisque les matrices 𝐴 et 𝐵 sont toutes deux des matrices carrées, cela signifie simplement qu’elles ont la même dimension.
Nous sommes maintenant prêts à rappeler le fait suivant sur les propriétés des matrices inversibles. Si nous avons deux matrices inversibles 𝐴 et 𝐵 de même dimension, l’inverse de 𝐴 fois 𝐵 est égal à l’inverse de 𝐵 multiplié par l’inverse de 𝐴. Et cela suffit bien sûr pour répondre à notre question.
Cependant, nous pouvons également poser une nouvelle question. Pourquoi cette propriété est-elle vraie ? Et nous pouvons le faire en trouvant simplement un inverse de la matrice 𝐴 multiplié par 𝐵. Et il y a plusieurs façons de le faire. Appelons la matrice 𝐴 multipliée par 𝐵 matrice 𝐶. Donc 𝐶 est égal à 𝐴 fois 𝐵. Et rappelons que 𝐴 et 𝐵 sont toutes deux des matrices inversibles. Donc, ce sont deux matrices carrées de même dimension. Cela signifie que 𝐶 est aussi une matrice carrée de même dimension. Et trouver l’inverse de 𝐴 multiplié par 𝐵 signifie que nous essayons de trouver l’inverse de 𝐶. C’est la matrice qui satisfait l’équation 𝐶 fois inverse de 𝐶 égale matrice identité. Et 𝐶 est la matrice 𝐴𝐵. Nous pouvons donc réécrire cette équation lorsque 𝐴𝐵 fois l’inverse de 𝐴𝐵 est égal à la matrice identité.
Nous pouvons alors résoudre ce problème pour l’inverse de 𝐴𝐵. On sait que 𝐴 est une matrice inversible. Nous pouvons donc multiplier à gauche de cette équation par l’inverse de 𝐴. Cela nous donne inverse de 𝐴 fois 𝐴 fois 𝐵 multiplié par l’inverse de 𝐴𝐵 égale inverse de 𝐴 fois la matrice identité. Et bien sûr, nous pouvons simplifier cela. L’inverse de 𝐴 fois 𝐴 est la matrice identité. Et multiplier par la matrice identité ne change pas la valeur. Donc, cette équation se simplifie pour nous donner 𝐵 fois l’inverse de 𝐴𝐵 égale l’inverse de 𝐴.
Nous pouvons le faire une fois de plus. On sait que 𝐵 est aussi une matrice inversible. On peut donc multiplier à gauche par l’inverse de 𝐵. Cela nous donne alors l’inverse de 𝐵 fois 𝐵 multiplié par l’inverse de 𝐴𝐵 égale l’inverse de 𝐵 fois l’inverse de 𝐴. Et encore une fois, nous simplifions. L’inverse de 𝐵 multipliée par 𝐵 est la matrice identité. Et cela nous laisse alors avec notre résultat, que nous pouvons utiliser pour répondre à notre question.
Pour les matrices inversibles 𝐴 et 𝐵 de même dimension, l’inverse de 𝐴 fois 𝐵 est égal à l’inverse de 𝐵 multiplié par l’inverse de 𝐴.
