Vidéo pop :: Comprendre 𝑒 de 𝑖 𝜋 en 3.14 minutes

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Une façon de penser à la fonction 𝑒 de 𝑡 est de demander quelles sont ses propriétés ? Probablement la plus importante, et de certains points de vue la propriété qui définit, est que c’est sa propre dérivée. Avec la condition ajoutée que la saisie de zéro renvoie un, il s’agit en fait de la seule fonction associée à cette propriété. Et vous pouvez illustrer ce que cela signifie avec un modèle physique.

Si 𝑒 de 𝑡 décrit votre position sur une droite numérique en fonction du temps, vous commencez par le nombre un. Et ce que cette équation dit, c’est que votre vitesse, la dérivée de la position, est toujours égale à cette position. Plus vous êtes loin de zéro, plus vite vous vous déplacez. Donc, même avant de savoir comment calculer 𝑒 de 𝑡 exactement. Passant d’une position précise à une position spécifique, cette capacité à associer chaque position à une vitesse permet de brosser un tableau intuitif très fort de la croissance de la fonction. Vous savez que vous accélérerez et que vous accélérerez avec un sentiment général de dérapage rapide.

Et si vous ajoutez une constante à cet exposant, comme 𝑒 de deux fois 𝑡, la règle de la chaîne nous dit que la dérivée est maintenant elle-même deux fois. Ainsi, à chaque point de la droite numérique, plutôt que d’attacher un vecteur, au nombre lui-même, commencez par doubler la valeur absolue de la position puis attachez-le. Se déplacer de manière à ce que votre position soit toujours 𝑒 de deux 𝑡 est la même chose que si vous vous déplacez de manière à ce que votre vitesse soit toujours égale à deux fois votre position. L’implication de ces deux facteurs est que notre croissance effrénée semble de plus en plus incontrôlable.

Si cette constante était négative, disons moins 0.5, votre vecteur vitesse serait toujours moins 0.5 fois votre vecteur de position. Ce qui veut dire que vous le retournez de 180 degrés et que sa longueur est réduite de moitié. En vous déplaçant de telle sorte que votre vélocité corresponde toujours à cette copie retournée et écrasée de votre vecteur de position. Vous iriez dans l’autre direction, en ralentissant de façon exponentielle vers zéro.

Mais qu’en serait-il si cette constante était 𝑖, la racine carrée de moins un ? Si votre position a été toujours 𝑒 de 𝑖𝑡, comment voulez-vous vous déplacer si le temps 𝑡 va de l’avant ? Eh bien, maintenant la dérivée de votre position sera toujours 𝑖 lui-même temps et en multipliant par 𝑖 a pour effet de nombre de rotation de 90 degrés. Donc, comme vous vous en doutez, les choses n’ont de sens que si nous commençons à penser au-delà de la droite numérique et dans le plan complexe. Donc, avant même de savoir comment calculer 𝑒 de 𝑖 fois 𝑡. Vous savez que, quelle que soit la position donnée, cela peut donner une valeur temporelle, la vitesse à ce moment-là sera une rotation de 90 degrés de cette position.

En tirant ceci pour toutes les positions possibles que vous pourriez rencontrer, vous obtenez un champ vectoriel. Comme d’habitude avec les champs vectoriels, vous réduisez les éléments pour éviter l’encombrement. À l’instant 𝑡 est égal à zéro, 𝑒 de 𝑖𝑡 sera égal à un. C’est notre condition initiale. Et il n’y a qu’une seule trajectoire partant de cette position où votre vitesse correspond toujours au vecteur par lequel elle passe. Une rotation de 90 degrés de la position. C’est lorsque vous contournez le cercle de rayon un à la vitesse d’une unité par seconde. Ainsi, après 𝜋 secondes, vous avez tracé une distance de 𝜋 autour. Donc, 𝑒 de 𝑖 fois 𝜋 devrait être moins un. Après 𝜏 secondes, vous avez fait un tour complet. 𝑒 de 𝑖 fois 𝜏 est égal à un. Et plus généralement, 𝑒 de 𝑖 fois 𝑡 est égal à un nombre qui est 𝑡 radians autour de ce cercle unité dans le plan complexe.

Néanmoins, quelque chose pourrait toujours sembler immoral de mettre un nombre imaginaire dans cet exposant. Et vous auriez raison de remettre en question cela. Ce que nous écrivons 𝑒 de 𝑡 est un peu une catastrophe notationnelle, donnant le nombre 𝑒 et l’idée de la multiplication répétée de façon plus l’accent qu’ils méritent. Mais comme mon temps est écoulé, je vous épargne le coup de gueule jusqu’à la prochaine vidéo.