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Sachant que le coefficient de frottement statique entre un corps et un plan est la racine carrée de trois sur quatre, quelle est la mesure de l’angle de frottement ? Arrondissez votre réponse à la minute près, si nécessaire.
Commençons la solution en mettant en évidence des symboles qui peuvent représenter les informations données dans la question. Le coefficient de frottement statique vaut racine carrée de trois sur quatre, on peut l’appeler en utilisant la lettre grecque 𝜇 indice 𝑠. On nous demande de calculer l’angle de frottement dans cette situation. On appelle cet angle 𝜃.
Commençons par tracer un schéma de ce corps sur un plan. Dans cette situation, on peut imaginer que le corps a une surface plane en contact avec la surface plane du plan. L’angle de frottement qu’on veut calculer est l’angle 𝜃 avec lequel le plan est incliné.
Pour déterminer cet angle, on doit examiner les forces qui agissent sur ce corps. On sait qu’une force agit sur lui - c’est la force de la gravité agissant directement vers le bas avec une intensité égale au poids - on va l’appeler 𝑃 - du corps. Puisque le corps est au repos, on a un coefficient de frottement statique car il ne bouge pas. On sait bien que deux autres forces agissent sur ce corps. L’une est appelée la force normale - nommée normale parce qu’elle agit perpendiculairement à la surface du plan. Et il y a aussi une force de frottement. On l’a appelé 𝐹 indice 𝑓 qui agit sur le corps pour l’empêcher de glisser le long du plan.
Comme le corps est au repos et non en mouvement, on sait que ces trois forces s’équilibrent. Ils sont en équilibre. Pour étudier cet équilibre, on peut définir un repère, où plus 𝑦 pointe perpendiculairement à la surface du plan et plus 𝑥 pointe vers le haut du plan. Voyons d’abord les forces dans la direction 𝑥 pour voir comment elles s’équilibrent.
La force de poids due à la gravité peut être décomposée en composantes 𝑥 et 𝑦, où la composante 𝑥 pointe vers le bas du plan et la composante 𝑦 pointe vers le plan. Le triangle formé par ces deux composantes du poids est un triangle rectangle et l’angle le plus haut de ce triangle est égal à 𝜃. Donc, alors qu’on se concentre sur les forces uniquement dans la direction 𝑥, on peut écrire que la force de frottement qui est positive selon notre définition du repère moins la composante 𝑥 du poids - ce qu’on va appeler 𝑃 indice 𝑥 - est égal à zéro. Et encore une fois, c’est égal à zéro parce que le corps est au repos.
En regardant cette équation, on peut écrire la force de frottement et la composante 𝑥 du poids en fonction de certaines des variables données. Pour le poids, en observant le triangle qu’on a tracé, on voit que cette composante - la composante 𝑥 du poids - est égale au poids 𝑃 multiplié par le sinus de l’angle 𝜃.
Alors, pour la force de frottement, on peut également la développer. Et on le fera en rappelant la définition mathématique de cette force. La force de frottement 𝐹 indice 𝑓 est égale au coefficient de frottement, statique ou dynamique, multiplié par la force normale 𝐹 indice 𝑁. Dans notre cas, nous écrivons 𝜇 indice 𝑠 car notre coefficient de frottement est statique - le corps n’est pas en mouvement.
Mais qu’en est-il de 𝐹 indice 𝑁 - la force normale. En observant à nouveau notre schéma, on peut voir que, puisque notre corps est en équilibre, l’intensité de la force normale vers le haut doit être équilibrée par la composante 𝑦 du poids pointant vers le bas dans le plan. Cela signifie qu’on peut remplacer 𝐹 indice 𝑁 par 𝑃 fois le cosinus de 𝜃.
On a maintenant une équation pour l’équilibre des forces dans la direction 𝑥 de notre schéma. Si nous réorganisons cette équation en ajoutant 𝑃 sinus 𝜃 aux deux membres, lorsqu’on observe le résultat, on voit que le poids 𝑃 s’élimine de chaque membre. Le résultat est donc indépendant du poids du corps. Pour simplifier davantage, rappelons une identité trigonométrique. Cette identité dit que la tangente d’un angle 𝜃 est égale au sinus de cet angle sur le cosinus de cet angle. Donc, si on divise les deux membres de notre équation par le cosinus de 𝜃, alors ce terme s’élimine sur le membre gauche. Et sur le membre droit, on trouve la tangente de 𝜃.
On nous a dit ce que 𝜇 indice 𝑠 - le coefficient de frottement statique - est dans l’énoncé du problème et 𝜃 est ce qu’on veut calculer. Donc, pour y arriver, prenons la tangente réciproque des deux membres de cette équation. On trouve que 𝜃 est égal à la tangente réciproque de 𝜇 indice 𝑠. Et lorsqu’on substitue la valeur donnée pour 𝜇 indice 𝑠 et on écrit cette expression sur notre calculatrice, on constate que 𝜃 à la minute près est de 23 degrés et 25 minutes. C’est l’angle d’inclinaison de ce plan - l’angle de frottement.