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Dans un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝑀 est le point d’intersection des deux diagonales, 𝐸 est le milieu de 𝐴𝐵 et 𝐹 est le milieu de 𝐵𝐶. Trois forces d’intensités 𝐹 un, 𝐹 deux et 41 newtons agissent en 𝑀, respectivement dans les directions 𝑀𝐸, 𝑀𝐹 et 𝑀𝐷. Sachant que les trois forces sont en équilibre, déterminez les valeurs de 𝐹 un et 𝐹 deux.
Avant de commencer cette question, il convient de tracer un schéma. Nous avons un carré 𝐴𝐵𝐶𝐷 comme indiqué. On nous dit que 𝑀 est le point d’intersection des deux diagonales, 𝐸 est le milieu de 𝐴𝐵 et 𝐹 est le milieu de 𝐵𝐶. Nous savons également qu’il y a trois forces agissant en 𝑀. 𝐹 un agit dans la direction 𝑀𝐸. 𝐹 deux agit dans la direction 𝑀𝐹. Et enfin, nous avons une force de 41 newton agissant dans la direction 𝑀𝐷. Comme les trois forces sont en équilibre, il existe plusieurs façons de résoudre ce problème. Dans cette question, nous utiliserons le théorème de Lamé.
Ce théorème indique que si trois forces en équilibre agissent en un point, dans ce cas 𝐴, 𝐵 et 𝐶, où l’angle entre les forces 𝐵 et 𝐶 est 𝛼, et l’angle entre 𝐴 et 𝐶 est 𝛽, et entre 𝐴 et 𝐵 est 𝛾. Alors 𝐴 sur sinus. 𝛼 est égal à 𝐵 sur sinus 𝛽, qui est égal à 𝐶 sur sinus 𝛾. Vous pouvez également remarquer que c’est la formule de la loi des sinus de la trigonométrie. Dans notre question, l’angle entre la force 𝐹 un et 𝐹 deux est de 90 degrés car ils sont perpendiculaires. Les deux diagonales d’un carré se rencontrent également à angle droit. Comme la moitié d’un angle droit est 45 degrés, l’angle entre 𝐹 un et la force de 41 newtons est de 135 degrés. L’angle entre 𝐹 deux et la force de 41 newtons est également de 135 degrés comme la somme des mesures d’angles autour d’un point est égale à 360.
La substitution de ces valeurs dans le théorème de Lamé nous donne 41 sur sinus 90 est égal à 𝐹 un sur sinus 135 qui est égal à 𝐹 deux sur sinus 135. Considérons les deux premiers termes. Le sinus de 90 degrés est égal à un. Cela signifie que 41 est égal à 𝐹 un sur ou divisé par le sinus de 135. La multiplication des deux membres de cette équation par sinus de 135 nous donne 𝐹 un est égal à 41 multiplié par sinus de 135. Nous pourrions simplement taper ceci dans notre calculatrice. Cependant, nous savons que le sinus de 45 degrés est égal à un sur la racine carrée de deux. Cela peut également être écrit comme racine de deux sur deux. Si la somme de deux angles est égale à 180 degrés, le sinus de ces deux angles est égal. Par conséquent, le sinus de 135 est également égal à racine deux sur deux.
Cela signifie que 𝐹 un est égal à 41 multiplié par la racine deux sur deux. On peut donc dire que la force 𝐹 un est égale à 41 fois racine de deux sur deux newtons. Si nous considérons le deuxième et troisième termes du théorème de Lamé, nous avons remarqué que les dénominateurs sont les mêmes. Ils sont tous deux sinus de 135 degrés. Si deux fractions sont égales et que leurs dénominateurs sont égaux, cela signifie que les numérateurs doivent également être égaux. Comme 𝐹 un est égal à 41 fois racine de deux sur deux, alors 𝐹 deux doit également être égal à 41 fois racine de deux sur deux. L’intensité des deux forces dans ce cas sont 41 fois racine de deux sur deux newtons.