Transcription de la vidéo
Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance quatre sur deux moins quatre 𝑥 au carré plus deux est croissante ou décroissante.
La question nous donne la fonction 𝑓 de 𝑥, qui est un polynôme, et il faut que nous trouvions les intervalles sur lesquels cette fonction croît ou décroît. Et nous rappelons que, pour une fonction dérivable 𝑓, nous disons que 𝑓 diminue lorsque sa dérivée est inférieure à zéro. Et nous disons que 𝑓 croît lorsque sa dérivée est supérieure à zéro. Puisque nous avons la fonction 𝑓 de 𝑥, qui est un polynôme, elle est dérivable pour tous les nombres réels. Donc, il nous suffit de trouver notre fonction dérivée 𝑓 prime de 𝑥.
Nous pouvons le faire en utilisant la règle des puissances pour la dérivation, qui nous dit que, pour toutes les constantes 𝑎 et 𝑛, la dérivée de 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑛 fois 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Appliquer cela à chaque terme dans notre fonction 𝑓 de 𝑥, nous donne quatre fois 𝑥 à la puissance quatre moins un sur deux, moins deux fois quatre fois 𝑥 à la puissance deux moins un. Et la dérivée de la constante deux est égale à zéro. Nous pouvons alors simplifier cela pour obtenir deux 𝑥 au cube moins huit 𝑥. Nous voulons trouver les valeurs de 𝑥 où cela est négatif et les valeurs de 𝑥 où cela est positif. Puisque notre fonction dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est un polynôme cubique, nous allons le faire en dessinant un graphique de 𝑓 prime de 𝑥.
Commençons par trouver les intersections avec l’axe des 𝑥 de notre polynôme. Nous voyons que les deux termes partagent un facteur de 𝑥, et les deux termes partagent un facteur de deux. Ainsi, nous pouvons éliminer un facteur de deux 𝑥. Cela nous donne deux 𝑥 multipliés par 𝑥 au carré moins quatre. Et nous pouvons alors voir que 𝑥 au carré moins quatre est une différence entre carrés. Donc, nous pouvons factoriser ceci pour donner deux 𝑥 multiplié par 𝑥 moins deux multiplié par 𝑥 plus deux. Pour trouver les intersections avec l’axe des 𝑥, nous voulons trouver les valeurs où c’est égal à zéro. Et nous savons que si un produit de trois nombres est égal à zéro, alors l’un des facteurs doit être égal à zéro. Puisque les intersections avec l’axe des 𝑥 se feront lorsque le résultat est nul, nous pouvons trouver les intersections avec l’axe des 𝑥 quand chaque facteur est égal à zéro.
Et déterminer quand chacun de ces facteurs est égal à zéro nous donne 𝑥 égale zéro ou 𝑥 égale deux ou 𝑥 égale moins deux. Nous sommes maintenant prêts à dessiner la courbe 𝑦 égale 𝑓 prime de 𝑥. Nous allons commencer par tracer les trois intersections avec l’axe des 𝑥 sur nos axes. Et nous voyons que nous dessinons l’équation cubique 𝑦 égale deux 𝑥 au cube moins huit 𝑥. Ce polynôme a pour terme principal deux 𝑥 au cube. Puisque le coefficient directeur est deux, cette courbe aura une forme similaire à 𝑦 égale 𝑥 au cube. En utilisant cela, nous obtenons le croquis suivant de notre courbe 𝑦 égale 𝑓 prime de 𝑥. Rappelez-vous, nous voulons savoir quand 𝑓 prime de 𝑥 est inférieure à zéro et quand 𝑓 prime de 𝑥 est supérieure à zéro.
À partir du dessin, nous pouvons voir que 𝑓 prime de 𝑥 est positive lorsque 𝑥 est supérieur à deux ou lorsque 𝑥 est compris entre moins deux et zéro. Ainsi, nous avons 𝑓 prime de 𝑥 positive lorsque 𝑥 est supérieur à moins deux et inférieur à zéro ou lorsque 𝑥 est supérieur à deux. Et puisque la question veut que nous écrivions cela en termes d’intervalles, cela revient à dire que 𝑓 croît sur l’intervalle ouvert de moins deux à zéro et l’intervalle ouvert de deux à l’infini. Nous pouvons faire la même chose pour vérifier où notre fonction décroît. Nous voyons dans notre dessin que notre fonction 𝑓 prime de 𝑥 est dessous l’axe des 𝑥 lorsque 𝑥 est inférieur à moins deux ou lorsque 𝑥 est compris entre zéro et deux.
Ainsi, nous avons montré que la dérivée de 𝑓 est inférieure à zéro lorsque 𝑥 est inférieur à moins deux ou lorsque 𝑥 est supérieur à zéro et inférieur à deux. Et la question veut que nous écrivions cela en termes d’intervalles. Donc, cela équivaut à dire que 𝑓 décroît sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins deux et l’intervalle ouvert de zéro à deux. Par conséquent, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance quatre sur deux moins quatre 𝑥 carré plus deux décroît sur l’intervalle ouvert de moins l’infini à moins deux et sur l’intervalle ouvert de zéro à deux. Et cette fonction croît sur l’intervalle ouvert de moins deux à zéro et sur l’intervalle ouvert de deux à l’infini.
