Vidéo question :: Déterminer deux composantes inconnues dans un vecteur de force étant donné le vecteur du moment de la force sur l’origine en trois dimensions | Nagwa Vidéo question :: Déterminer deux composantes inconnues dans un vecteur de force étant donné le vecteur du moment de la force sur l’origine en trois dimensions | Nagwa

Vidéo question :: Déterminer deux composantes inconnues dans un vecteur de force étant donné le vecteur du moment de la force sur l’origine en trois dimensions Mathématiques • Troisième année secondaire

Si la force 𝐅 = −19𝐢 + 𝐿𝐣 + 2𝐤 agit en un point 𝐴 (−3 ; 5 ; −3), et que le moment de 𝐅 par rapport à l’origine égale 4𝐢 + 63𝐣 + 101𝐤, alors déterminez la valeur de 𝐿.

08:28

Transcription de la vidéo

Si la force 𝐅 égale à moins 19𝐢 plus 𝐿𝐣 plus deux 𝐤 agit en un point 𝐴 de coordonnées moins trois, cinq, moins trois, et que le moment de 𝐅 par rapport à l’origine est égal à quatre 𝐢 plus 63𝐣 plus 101𝐤, alors déterminez la valeur de 𝐿.

Donc, ici, nous pensons à la force 𝐅 qui agit en un point 𝐴. Et on nous dit que cette force produit un moment par rapport à l’origine qui peut être représentée par ce vecteur. Nous pouvons remarquer que nous avons des valeurs numériques pour les composantes 𝑥 et 𝑧 de 𝐅, mais la composante 𝑦 est représentée par cette constante 𝐿. Et c’est notre travail de trouver la valeur de 𝐿. Comme cette question traite un vecteur moment qui est produit par une force en trois dimensions agissant en un certain point de l’espace, commençons par rappeler l’équation 𝐌 égale au produit vectoriel de 𝐑 par 𝐅.

Cette équation nous dit que nous pouvons calculer un vecteur moment en déterminant le produit vectoriel du vecteur déplacement appelé 𝐑 et d’un vecteur force 𝐅. Dans cette équation, 𝐅 est simplement la force qui produit le moment. Cela correspond donc au vecteur appelé 𝐅 qui nous a été donné dans la question. 𝐑 est le vecteur de déplacement du point pour lequel la force agit par rapport au point autour duquel nous calculons les moments.

Dans cette question, on nous dit que la force agit au point 𝐴 avec les coordonnées moins trois, cinq, moins trois. Et la question parle d’un moment calculé par rapport à l’origine. Cela signifie que le vecteur 𝐑 que nous utiliserons dans le calcul est égal au vecteur qui représente le déplacement de l’origine au point 𝐴. C’est la même chose que dire que c’est le vecteur déplacement de 𝐴 par rapport à l’origine. Ce vecteur est facile à trouver. On nous dit dans la question que les coordonnées de 𝐴 sont moins trois, cinq, moins trois. En d’autres termes, le point 𝐴 est situé à moins trois unités dans la direction 𝑥, cinq unités dans la direction 𝑦 et moins trois unités dans la direction 𝑧 à partir de l’origine. Cela signifie que le vecteur déplacement qui nous emmène de l’origine à 𝐴 est donné par moins trois 𝐢 plus cinq 𝐣 moins trois 𝐤.

Nous pouvons également noter que le vecteur moment 𝐌 est donné dans la question. Il est égal à quatre 𝐢 plus 63𝐣 plus 101𝐤. Donc, en regardant cette équation, il semble qu’on sait beaucoup d’information sur les vecteurs utilisés. On nous donne 𝐌 dans la question, nous pouvons facilement déterminer les composantes de 𝐑, et nous connaissons deux des trois composantes de 𝐅. La seule quantité inconnue dans cette équation est la composante 𝑦 de 𝐅.

Maintenant, étant donné que nous voulons trouver cette composante inconnue de 𝐅, il est tentant d’essayer de réorganiser cette équation pour rendre 𝐅 le sujet de l’équation. Par exemple, nous pourrions essayer de diviser les deux membres de l’équation par le vecteur 𝐑, car cela semble nous donner le vecteur 𝐅, y compris sa composante inconnue. Malheureusement, cette idée n’est pas correcte. Premièrement, il n’est pas possible de diviser un vecteur par un autre vecteur. Et deuxièmement, cette équation utilise un produit vectoriel. Ce n’est pas la même chose que la multiplication ordinaire. Donc, même si nous pouvions diviser les deux membres de l’équation par le vecteur 𝐑, cela ne nous aiderait pas réellement à réorganiser l’équation. En fait, l’opération du produit vectoriel n’a pas d’inverse, ce qui signifie qu’il n’y a aucun moyen de réorganiser cette équation pour isoler 𝐅.

Alors, comment trouver cette composante inconnue de 𝐅 ? Eh bien, voici l’idée. Premièrement, nous obtenons une expression pour le vecteur moment 𝐌 en prenant le vecteur 𝐅 tel qu’il est donné dans cette question et en le substituant dans cette équation avec 𝐑. Puisque 𝐅 est exprimé en fonction de cette quantité inconnue 𝐿, l’expression que nous obtenons pour 𝐌 le sera également en fonction de 𝐿. Ensuite, nous comparons cette expression pour 𝐌, qui est en fonction de 𝐿, aux composantes réelles de 𝐌, qui sont données dans la question. En comparant les composantes de notre expression aux composantes données dans la question, nous pourrons former des équations que nous pourrons résoudre pour trouver la valeur de 𝐿. Commençons donc par calculer une expression pour 𝐌.

Nous savons que 𝐌 est égal au produit vectoriel de 𝐑, que nous avons trouvé, et de 𝐅, qui est donné dans la question. Ce produit vectoriel est donné par ce déterminant trois par trois, où les éléments de la ligne en haut sont les vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Les éléments de la ligne du milieu sont les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur déplacement 𝐑, écrites sans leurs vecteurs unitaires. Et les éléments de la ligne en bas sont les composantes de 𝐅, également écrites sans vecteurs unitaires. Commençons par utiliser les composantes de 𝐑. La composante 𝑥 de 𝐑 est moins trois 𝐢. Nous écrivons donc ici moins trois dans le déterminant. La composante 𝑦 de 𝐑 est cinq 𝐣. Nous écrivons donc cinq à cet endroit. Et la composante 𝑧 est moins trois 𝐤. Donc, nous écrivons moins trois ici.

Ensuite, nous faisons la même chose pour les composantes du vecteur 𝐅. Nous savons que 𝐅 est égal à moins 19𝐢 plus 𝐿𝐣 plus deux 𝐤. Ainsi, les éléments de la ligne en bas de ce déterminant sont moins 19, 𝐿 et deux. Ensuite, nous devons calculer ce déterminant. Cela se fait en trois parties. Premièrement, nous avons le vecteur unitaire 𝐢 multiplié par cinq fois deux moins moins trois fois 𝐿. Ensuite, nous soustrayons le vecteur unitaire 𝐣 qui est multiplié par moins trois fois deux moins moins trois fois moins 19. Et enfin, nous ajoutons le vecteur unitaire 𝐤 multiplié par moins trois fois 𝐿 moins cinq fois moins 19.

Nous pouvons maintenant simplifier chacun de ces termes. En ce qui concerne le premier terme, nous avons cinq fois deux, soit 10. Et nous soustrayons moins trois 𝐿, ce qui revient à ajouter trois 𝐿. En regardant le prochain terme, moins trois fois deux est moins six. Et nous soustrayons ensuite moins trois fois moins 19. Eh bien, moins trois fois moins 19 est plus 57. Il nous reste donc moins six moins 57, ce qui donne moins 63. Parce que nous avons moins 63 fois moins 𝐣, au total, ce terme devient plus 63𝐣.

Maintenant, en regardant le dernier terme, nous pouvons voir qu’à l’intérieur des parenthèses, nous avons moins trois 𝐿 moins cinq fois moins 19. Cinq fois moins 19 donne moins 95. Et puisque nous soustrayons cela, cela équivaut à ajouter 95. Et juste pour rendre les choses un peu plus cohérentes, inversons les moins trois 𝐿 et plus 95 pour donner 95 moins trois 𝐿. Et enfin, nous allons déplacer les vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐤 à la fin de ces termes.

D’accord, nous avons maintenant terminé la première chose sur notre liste. Nous avons une expression pour le vecteur moment 𝐌 en fonction de cette quantité inconnue 𝐿.

Nous pouvons maintenant passer à la deuxième partie de notre solution, en comparant notre expression pour 𝐌 aux composantes réelles de 𝐌 données dans la question. L’idée pour faire cela est que l’expression que nous avons trouvée décrit exactement le même moment que ce vecteur donné dans la question. En fait, nous pouvons voir que la composante 𝑦 de notre expression est la même que la composante 𝑦 donnée dans la question, ce qui est un signe que nous sommes sur le bon chemin. Le fait que ces deux vecteurs expriment la même quantité signifie que les composantes 𝑥 et les composantes 𝑧 de ces vecteurs doivent également être les mêmes.

Cela nous permet de trouver deux équations. Premièrement, comme la composante 𝑥 de notre expression doit être égale à la composante 𝑥 de ce vecteur, on peut dire que 10 plus trois 𝐿 doivent être égaux à quatre. Et parce que la composante 𝑧 de notre expression doit être égale à la composante 𝑧 donnée dans la question, nous pouvons aussi dire que 95 moins trois 𝐿 est égal à 101. Ces deux équations sont des équations du premier degré avec une seule quantité inconnue, 𝐿. Cela signifie que la résolution de l’une ou l’autre de ces équations devrait nous donner la valeur de 𝐿. Si nous commençons par l’équation de gauche, nous pouvons voir que soustraire 10 des deux membres nous donne trois 𝐿 égale moins six. Et puis en divisant les deux membres par trois, on obtient 𝐿 est égal à moins deux.

Juste pour être sûr, résolvons également cette équation et voyons si elle nous donne la même réponse. En soustrayant 95 des deux membres de l’équation, on obtient moins trois 𝐿 égale six. Et puis la division des deux membres de l’équation par moins trois nous donne également 𝐿 est égal à moins deux. Donc, voici notre réponse finale. En proposant notre propre expression pour 𝐌 en utilisant les informations données dans la question et en comparant celle-ci aux valeurs numériques des composantes de 𝐌 qui nous ont été données dans la question, nous avons pu trouver la composante inconnue de la force.

Ainsi, quand une force égale à moins 19𝐢 plus 𝐿𝐣 plus deux 𝐤 agit au point 𝐴 de coordonnées moins trois, cinq, moins trois et nous savons que le moment produit par rapport à l’origine est égal à quatre 𝐢 plus 63𝐣 plus 101𝐤, la valeur de 𝐿 doit être de moins deux.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité