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Vidéo question :: Écrire une équation du second degré sous la forme la plus simple étant données ses racines Mathématiques • Première année secondaire

Si 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 𝑥² + 17𝑥 + 1 = 0, déterminez, sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 3𝐿 et 3𝑀.

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Si 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 𝑥 au carré plus 17𝑥 plus un égal à zéro, déterminez, sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont trois 𝐿 et trois 𝑀.

Commençons par rappeler quelques informations sur les équations du second degré sous la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égal zéro, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes et 𝑎 est différent de zéro. Si les racines de cette équation sont 𝑟 indice un et 𝑟 indice deux, la somme de ces racines est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. Le produit des racines 𝑟 un multiplié par 𝑟 deux est égal à 𝑐 sur 𝑎.

On nous donne l’équation 𝑥 au carré plus 17𝑥 plus un égal zéro. Cela signifie que les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont respectivement un, 17 et un. On nous dit aussi que les racines de cette équation sont 𝐿 et 𝑀. La somme de ces racines 𝐿 plus 𝑀 est donc égale à moins 17 sur un. Cela est égal à moins 17. Le produit des racines 𝐿 multiplié par 𝑀 est égal à un sur un. C’est égal à un. Nous devons maintenant trouver l’équation du second degré dont les racines sont trois 𝐿 et trois 𝑀.

Commençons par considérer la somme de ces racines. Cela est égal à trois 𝐿 plus trois 𝑀. Et ces termes ont un diviseur commun, trois. Nous pouvons donc réécrire ceci comme trois facteur de 𝐿 plus 𝑀. Comme 𝐿 plus 𝑀 est égal à moins 17, nous devons multiplier trois par moins 17. Cela est égal à moins 51. Dans notre nouvelle équation du second degré, moins 𝑏 sur 𝑎 est égal à moins 51.

Considérons maintenant le produit de nos racines. Nous devons multiplier trois 𝐿 par trois 𝑀. Cela se simplifie par neuf 𝐿𝑀. Et comme 𝐿𝑀 est égal à un, nous avons neuf multiplié par un. 𝑐 sur 𝑎 est donc égal à neuf.

Nous avons maintenant deux équations que nous pouvons résoudre pour calculer les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Comme moins 51 et neuf sont des entiers, nous pouvons poser 𝑎 égal un. Selon la première équation, cela signifie que moins 𝑏 est égal à moins 51, ce qui signifie que 𝑏 est égal à 51. D’après la deuxième équation, si 𝑎 est égal à un, 𝑐 est égal à neuf.

L’équation du second degré dont les racines sont trois 𝐿 et trois 𝑀 est 𝑥 au carré plus 51𝑥 plus neuf égal zéro.

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