VidĂ©o : Pourquoi 𝜋 ici ? Et pourquoi est-il au carrĂ© ? Une rĂ©ponse gĂ©omĂ©trique au problĂšme de BĂąle

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Pourquoi 𝜋 ici ? Et pourquoi est-il au carrĂ© ? Une rĂ©ponse gĂ©omĂ©trique au problĂšme de BĂąle

17:02

Transcription de vidéo

J’imagine que votre rythme cardiaque ne s’est jamais accru d’excitation alors que vous imaginez un lac infiniment grand entourĂ© de phares. Eh bien, si vous ressentez quelque chose comme moi Ă  propos des mathĂ©matiques, cela changera Ă  la fin de cette vidĂ©o.

Prenez un plus un quatriĂšme plus un neuviĂšme plus un seiziĂšme et ainsi de suite, oĂč vous ajoutez les inverses du prochain carrĂ©. Qu’est-ce que cette approche de la somme alors que vous continuez Ă  ajouter de plus en plus de termes ? Maintenant, cela est un dĂ©fi qui est restĂ© sans solution pendant 90 ans aprĂšs avoir Ă©tĂ© initialement posĂ©, jusqu’à ce que finalement il Ă©tait Euler qui a trouvĂ© la rĂ©ponse, super surprise, Ă  𝜋 au carrĂ© divisĂ© par six. Je veux dire, n’est-ce pas fou ? Qu’est-ce que 𝜋 fait ici, et pourquoi est-il au carré ? Nous ne le voyons gĂ©nĂ©ralement pas au carrĂ©. En l’honneur d’Euler, dont la ville natale Ă©tait BĂąle, cette somme infinie est souvent appelĂ©e le problĂšme de BĂąle. Mais la preuve que j’aimerais vous montrer est trĂšs diffĂ©rente de celle d’Euler.

J’ai dit dans une vidĂ©o prĂ©cĂ©dente que, chaque fois que vous voyez 𝜋 apparaĂźtre, il y aura une connexion avec les cercles. Et il y a ceux qui aiment dire que 𝜋 n’est pas fondamentalement sur les cercles. Et insister pour relier de telles Ă©quations Ă  l’intuition gĂ©omĂ©trique dĂ©coule d’une insistance obstinĂ©e Ă  ne comprendre que 𝜋 dans le contexte oĂč nous l’avons dĂ©couvert. Et c’est trĂšs bien. Mais, quel que soit votre propre point de vue tient aussi fondamentale, le fait est, 𝜋 est trĂšs attachĂ© Ă  des cercles. Donc, si vous le voyez apparaĂźtre, il y aura un chemin quelque part dans le vaste rĂ©seau mathĂ©matique interconnectĂ© qui vous ramĂšnera aux cercles en gĂ©omĂ©trie.

La question est de savoir combien de temps ce chemin pourrait ĂȘtre long et compliquĂ©. Et dans le cas du problĂšme de BĂąle, il est beaucoup plus court que vous ne le pensiez. Et tout commence par la lumiĂšre. Voici l’idĂ©e de base. Imaginez que vous vous teniez Ă  l’origine d’une droite numĂ©rique et que vous placiez un petit phare sur tous les entiers positifs : un, deux, trois, quatre, etc. Ce premier phare a une luminositĂ© apparente de votre point de vue, une quantitĂ© d’énergie que votre Ɠil reçoit de la lumiĂšre par unitĂ© de temps. Et appelons cela une luminositĂ© Ă©gale Ă  un.

Pour des raisons que j’expliquerai tout Ă  l’heure, la luminositĂ© apparente du deuxiĂšme phare est Ă©gale Ă  un quart de celle du premier. Et la luminositĂ© apparente de la troisiĂšme est un neuviĂšme autant que la premiĂšre, puis une seiziĂšme et ainsi de suite. Et vous pouvez probablement voir pourquoi cela est utile pour le problĂšme de BĂąle. Cela nous donne une reprĂ©sentation physique de ce qui est demandĂ©, Ă©tant donnĂ© que la luminositĂ© reçue de toute la droite infinie de phares va ĂȘtre un plus un quatriĂšme plus un neuviĂšme plus un seiziĂšme et ainsi de suite. Ainsi, le rĂ©sultat que nous cherchons Ă  montrer que cette luminositĂ© totale est Ă©gale Ă  𝜋 au carrĂ© divisĂ© par six fois la luminositĂ© de ce premier phare.

Et au dĂ©but, cela peut sembler inutile. Je veux dire, nous posons simplement la mĂȘme question initiale. Mais le progrĂšs vient d’une nouvelle question que ce cadrage pose. Existe-t-il des moyens de rĂ©organiser ces phares sans modifier la luminositĂ© totale de l’observateur ? Et si oui, pouvez-vous montrer que cela Ă©quivaut Ă  une configuration plus facile Ă  calculer ? Pour commencer, prĂ©cisons ce que nous entendons par rĂ©fĂ©rence Ă  la « luminositĂ© apparente » pour un observateur.

Imaginez un petit Ă©cran qui reprĂ©sente peut-ĂȘtre la rĂ©tine de votre Ɠil ou un capteur d’appareil photo numĂ©rique, quelque chose comme ça. Vous pourriez vous demander quelle est la proportion de rayons sortant de la source qui a frappĂ© cet Ă©cran ? Ou, en d’autres termes, quel est l’angle entre le rayon frappant le bas de cet Ă©cran et le rayon frappant le haut ? Ou plutĂŽt, puisque nous devrions penser Ă  ces lumiĂšres comme Ă©tant en trois dimensions, il serait peut-ĂȘtre plus prĂ©cis de demander quel est l’angle que la lumiĂšre couvre dans les deux directions perpendiculaire Ă  la source ?

En gĂ©omĂ©trie sphĂ©rique, vous parlez parfois de l’angle solide d’une figure, qui est la proportion d’une sphĂšre qu’elle recouvre depuis un point donnĂ©. Vous voyez, le premier des deux endroits oĂč cette histoire oĂč la rĂ©flexion sur les Ă©crans va ĂȘtre utile est de comprendre la loi des carrĂ©s inverses, qui est un phĂ©nomĂšne distinctement tridimensionnel. Pensez Ă  tous les rayons de lumiĂšre frappant un Ă©cran Ă  une unitĂ© de la source. Au fur et Ă  mesure que vous doublez la distance, ces rayons couvriront dĂ©sormais une aire avec deux fois la largeur et deux fois la hauteur. Il faudrait donc quatre copies de cet Ă©cran original pour recevoir les mĂȘmes rayons Ă  cette distance. Et ainsi, chaque individu reçoit un quart de lumiĂšre en plus.

C’est dans ce sens que je veux dire qu’une lumiĂšre apparaĂźtrait comme un quart brillante deux fois plus loin. De mĂȘme, lorsque vous ĂȘtes trois fois plus loin, vous avez besoin de neuf copies de cet Ă©cran d’origine pour recevoir les mĂȘmes rayons. Ainsi, chaque Ă©cran individuel reçoit seulement un neuviĂšme de la quantitĂ© de lumiĂšre reçue. Et ce schĂ©ma continue. Parce que l’aire touchĂ©e par une lumiĂšre augmente d’un carrĂ© Ă  l’autre, la luminositĂ© de cette lumiĂšre diminue d’un carrĂ© Ă  l’autre. Et comme beaucoup d’entre vous le savent sĂ»rement, cette loi des carrĂ©s inverses n’est pas du tout spĂ©ciale. Cela apparaĂźt chaque fois que vous avez une sorte de quantitĂ© qui se rĂ©pand uniformĂ©ment Ă  partir d’une source ponctuelle, que ce soit du son, de la chaleur ou un signal radio, des choses comme ça.

Et rappelez-vous, c’est Ă  cause de cette loi carrĂ©e inverse qu’un nombre infini de phares espacĂ©s de maniĂšre Ă©gale met en Ɠuvre physiquement le problĂšme de BĂąle. Mais lĂ  encore, si nous voulons progresser, nous avons besoin de comprendre comment nous pouvons manipuler les configurations avec de telles sources de lumiĂšre sans modifier la luminositĂ© totale de l’observateur. Et le bloc de construction clĂ© est un moyen particuliĂšrement intĂ©ressant de transformer un phare en deux.

Pensez Ă  un observateur placĂ© en l’origine du plan et Ă  un seul phare placĂ© quelque part dans le plan. Maintenant, tracez une droite allant de ce phare Ă  l’observateur, puis une autre perpendiculaire Ă  celle du phare. Maintenant, placez deux phares Ă  l’intersection de cette nouvelle droite avec les axes de coordonnĂ©es, que je vais maintenant appeler : phare 𝐮 ici Ă  gauche et phare đ” en haut. Il se trouve, et vous verrez pourquoi cela est vrai dans une minute, la luminositĂ© que les expĂ©riences d’observation de ce premier phare est Ă©gale Ă  la luminositĂ© combinĂ©e expĂ©rience de phares 𝐮 et đ” ensemble.

Et je devrais dire, en passant, que l’hypothĂšse de base tout au long de cette vidĂ©o est que tous les phares sont Ă©quivalents. Ils utilisent la mĂȘme ampoule Ă©lectrique, le mĂȘme pouvoir, tout cela. Donc, en d’autres termes, l’attribution des variables Ă  des choses ici, si l’on appelle la distance de l’observateur du phare 𝑎 peu 𝑎 et la distance de l’observateur du phare 𝑏 peu 𝑏 et la distance au premier phare ℎ, nous avons la relation d’un sur 𝑎 carrĂ© plus un sur 𝑏 carrĂ© Ă©quivaut Ă  un sur ℎ carrĂ©. C’est le thĂ©orĂšme de Pythagore inverse, beaucoup moins connu, que certains d’entre vous reconnaĂźtront peut-ĂȘtre dans la vidĂ©o la plus rĂ©cente et la plus excellente de Mathologer sur les nombreux cousins du thĂ©orĂšme de Pythagore. Relation plutĂŽt cool, vous ne pensez pas ?

Et si vous ĂȘtes un mathĂ©maticien dans l’ñme, vous vous demandez peut-ĂȘtre maintenant comment vous le prouvez. Et il existe des maniĂšres simples d’exprimer l’aire des triangles de deux maniĂšres diffĂ©rentes et d’appliquer le thĂ©orĂšme de Pythagore habituel. Mais il y a une autre mĂ©thode assez jolie que je voudrais dĂ©crire briĂšvement ici et qui tombe bien plus dans notre scĂ©nario car, encore une fois, il utilise des intuitions de la lumiĂšre et des Ă©crans.

Imaginez rĂ©duire tout le triangle rectangle en une version plus petite. Et considĂ©rez cette hypotĂ©nuse miniature comme un Ă©cran recevant la lumiĂšre du premier phare. Si vous modifiez cet Ă©cran pour qu’il soit la combinaison des deux jambes du triangle miniature, comme cela, il reçoit toujours la mĂȘme quantitĂ© de lumiĂšre, n’est-ce pas ? Je veux dire que les rayons de lumiĂšre qui frappent l’une de ces deux jambes sont exactement les mĂȘmes que ceux qui frappent l’hypotĂ©nuse. Ensuite, la clĂ© est que la quantitĂ© de lumiĂšre du premier phare qui frappe ce cĂŽtĂ© gauche, l’angle limitĂ© de rayons qui finissent par frapper cet Ă©cran, est exactement la mĂȘme que la quantitĂ© de lumiĂšre sur venir ici du phare 𝐮 qui frappe ce cĂŽtĂ©. Ce sera le mĂȘme angle de rayons.

Et symĂ©triquement, la quantitĂ© de lumiĂšre de la premiĂšre maison de frapper la partie infĂ©rieure de notre Ă©cran est le mĂȘme que la quantitĂ© de lumiĂšre atteignant cette partie du phare đ”. Pourquoi, vous pourriez demander. Eh bien, il s’agit de triangles similaires. Cette animation vous donne dĂ©jĂ  une bonne idĂ©e de son fonctionnement. Et nous avons Ă©galement laissĂ© un lien dans la description vers un simple applet GeoGebra pour ceux d’entre vous qui souhaitent rĂ©flĂ©chir Ă  cela dans un environnement lĂ©gĂšrement plus interactif. Et en jouant avec cela, un fait important ici que vous pourrez voir est que les triangles similaires ne s’appliquent que dans le cas limite Ă  un trĂšs petit Ă©cran.

TrĂšs bien, attachez-vous maintenant car c’est ici que les choses vont bien. Nous avons ce thĂ©orĂšme de Pythagore inverse, non ? Et cela va nous permettre de transformer un phare en deux autres sans changer la luminositĂ© ressentie par l’observateur. Avec cela en main et pas mal d’ingĂ©niositĂ©, nous pouvons l’utiliser pour construire le tableau infini dont nous avons besoin. Imaginez-vous au bord d’un lac circulaire directement en face d’un phare. Nous allons vouloir que la distance entre vous et le phare au bord du lac soit de un. Nous dirons donc que le lac a une circonfĂ©rence de deux.

Maintenant, la luminositĂ© apparente est divisĂ©e par le diamĂštre au carrĂ©. Et, dans ce cas, le diamĂštre est que la circonfĂ©rence, deux, divisĂ© par 𝜋. Donc, la luminositĂ© apparente est 𝜋 carrĂ© divisĂ© par quatre. Maintenant, pour notre premiĂšre transformation, tracez un nouveau cercle deux fois plus grand, soit quatre fois la circonfĂ©rence, puis tracez une droite tangente en haut du petit cercle. Remplacez ensuite le phare d’origine par deux nouveaux oĂč cette droite tangente coupe le grand cercle. Un fait important de la gĂ©omĂ©trie que nous utiliserons encore et encore ici est que si vous prenez le diamĂštre d’un cercle et formez un triangle avec n’importe quel point du cercle, l’angle Ă  ce nouveau point sera toujours de 90 degrĂ©s. La signification de cela dans notre figure ici est que cela signifie que le thĂ©orĂšme de Pythagore inverse s’applique. Et la luminositĂ© de ces deux nouveaux phares Ă©gale la luminositĂ© du premier ; Ă  savoir, 𝜋 carrĂ© divisĂ© par quatre.

À l’étape suivante, tracez un nouveau cercle deux fois plus grand que le dernier avec une circonfĂ©rence huit. Maintenant, pour chaque phare, tracez une droite Ă  partir de ce phare en passant par le haut du petit cercle, qui est le centre du grand cercle, et considĂ©rez les deux points qui se croisent avec le grand cercle. Encore une fois, puisque cette droite est un diamĂštre de ce grand cercle, les droites de ces deux nouveaux points vers l’observateur vont former un angle droit. De mĂȘme, en regardant ce triangle rectangle ici, dont l’hypotĂ©nuse est le diamĂštre du petit cercle, vous pouvez voir que la droite allant de l’observateur au phare d’origine est Ă  angle droit, avec une nouvelle droite longue que nous avons dessinĂ©e. Bonne nouvelle, non ? Parce que cela signifie que nous pouvons appliquer le thĂ©orĂšme de Pythagore inverse. Et cela signifie que la luminositĂ© apparente du phare d’origine est la mĂȘme que la luminositĂ© combinĂ©e des deux nouveaux.

Et bien sĂ»r, vous pouvez faire la mĂȘme chose de l’autre cĂŽtĂ©, en traçant une droite en haut du petit cercle et en plaçant deux nouveaux phares sur le grand cercle. Et encore plus agrĂ©able, ces quatre phares seront tous rĂ©partis de maniĂšre Ă©gale autour du lac. Pourquoi ? Eh bien, les droites allant de ces phares au centre forment un angle de 90 degrĂ©s les unes avec les autres. Donc, comme les choses sont symĂ©triques de gauche Ă  droite, cela signifie que les distances le long de la circonfĂ©rence sont un, deux, deux, deux et un. TrĂšs bien, vous pourriez voir oĂč cela se passe. Mais je veux traverser ça pour un pas de plus.

Vous tracez un cercle deux fois plus grand, soit une circonfĂ©rence de 16 maintenant. Et pour chaque phare, vous tracez une droite Ă  partir de ce phare en haut du petit cercle, qui est le centre du grand cercle. Ensuite, crĂ©ez deux nouveaux phares Ă  l’intersection de cette droite et du grand cercle. Comme auparavant, comme la longue droite est le diamĂštre du grand cercle, ces deux nouveaux phares forment un angle droit avec l’observateur, n’est-ce pas ? Et comme auparavant, la droite reliant l’observateur au phare d’origine est perpendiculaire Ă  la longue droite.

Et ce sont les deux faits qui justifient notre utilisation du thĂ©orĂšme de Pythagore inverse. Mais ce qui n’est peut-ĂȘtre pas aussi clair, c’est que lorsque tous les phares auront huit nouveaux phares sur le grand lac, ces huit nouveaux phares seront espacĂ©s de maniĂšre Ă©gale. Il s’agit du dernier Ă©lĂ©ment de vĂ©rification de la gĂ©omĂ©trie avant la poussĂ©e finale. Pour voir cela, rappelez-vous que si vous tracez des droites Ă  partir de deux phares adjacents sur le petit lac jusqu’au centre, ils forment un angle de 90 degrĂ©s. Si, au lieu de cela, vous tracez des droites en un point quelconque sur la circonfĂ©rence du cercle, ce n’est pas entre elles, le trĂšs utile thĂ©orĂšme de l’angle inscrit de la gĂ©omĂ©trie nous dit que ce sera exactement la moitiĂ© de l’angle qu’elles font avec le centre, dans ce cas 45 degrĂ©s.

Mais, lorsque nous plaçons ce nouveau point au sommet du lac, ce sont les deux droites qui dĂ©finissent la position des nouveaux phares sur le plus grand lac. Cela signifie donc que lorsque vous tracez des droites de ces huit nouveaux phares vers le centre, ils divisent le cercle de maniĂšre Ă©gale en morceaux de 45 degrĂ©s. Et cela signifie que les huit phares sont espacĂ©s rĂ©guliĂšrement autour de la circonfĂ©rence, avec une distance de deux entre eux. Et maintenant, imaginez que cette chose joue Ă  chaque pas en doublant la taille de chaque cercle et en transformant chaque phare en deux nouveaux le long d’une droite tracĂ©e au centre du grand cercle. À chaque Ă©tape, la luminositĂ© apparente Ă  l’observateur reste le mĂȘme, 𝜋 carrĂ© sur quatre. Et Ă  chaque pas, les phares restent rĂ©guliĂšrement espacĂ©s d’une distance de deux sur la circonfĂ©rence.

Et Ă  la limite, nous obtenons ici une droite horizontale plate avec un nombre infini de phares uniformĂ©ment espacĂ©s dans les deux sens. Et parce que la luminositĂ© apparente a 𝜋 au carrĂ© sur quatre tout le chemin, cette volontĂ©, aussi vrai dans ce cas limite. Et cela nous donne une assez belle sĂ©rie infinie. La somme des carrĂ©s inverses un sur 𝑛 carrĂ©, oĂč 𝑛 couvre tous les nombres entiers impairs - un, trois, cinq, etc. mais aussi moins un, moins trois, moins cinq, souvent vers la gauche. En additionnant tout ça, ça va nous donner 𝜋 au carrĂ© sur quatre.

C’est incroyable ! Et c’est l’essentiel de ce que je veux vous montrer. Et prenez un peu de recul et rĂ©flĂ©chissez Ă  la façon dont cela semble irrĂ©el. La somme des fractions simples qui, Ă  premiĂšre vue n’a rien Ă  voir avec la gĂ©omĂ©trie, rien Ă  voir avec des cercles du tout, apparemment, nous donne ce rĂ©sultat qui est liĂ© Ă  𝜋. Sauf que maintenant, vous pouvez rĂ©ellement voir ce que cela a Ă  voir avec la gĂ©omĂ©trie. La droite numĂ©rique est un peu comme une limite de cercles en croissance constante. Et lorsque vous faites la somme par-dessus cette droite numĂ©rique, assurez-vous de faire la somme jusqu’à l’infini de chaque cĂŽtĂ©, c’est un peu comme si vous additionniez le long de la limite d’un cercle infiniment grand, d’une maniĂšre trĂšs lĂąche mais trĂšs amusante parlant.

« Mais attendez !» Pourriez-vous dire. Ce n’est pas la somme que vous nous avez promise au dĂ©but de la vidĂ©o. Et bien, vous avez raison. Il nous reste un peu de rĂ©flexion. Tout d’abord, nous allons juste cette somme restreindre Ă  n’ĂȘtre que les nombres impairs positifs, ce qui nous amĂšne 𝜋 au carrĂ© divisĂ© par huit. Maintenant, la seule diffĂ©rence entre ceci et la somme recherchĂ©e qui recouvre tous les entiers positifs, impair et pair, est qu’il manque la somme des inverses des nombres pairs, ce que je colore en rouge ici. Vous pouvez maintenant considĂ©rer cette sĂ©rie manquante comme une copie Ă  l’échelle de la sĂ©rie totale que nous voulons, dans laquelle chaque phare devient deux fois plus Ă©loignĂ© de l’origine. On est dĂ©calĂ© Ă  deux ; deux sont dĂ©calĂ©s Ă  quatre ; trois sont dĂ©placĂ©s Ă  six, et ainsi de suite.

Et comme cela implique de doubler la distance pour chaque phare, cela signifie que la luminositĂ© apparente serait rĂ©duite d’un facteur quatre. Et c’est aussi une algĂšbre relativement simple. Pour passer de la somme de tous les entiers Ă  la somme des entiers pairs, il faut multiplier par un quart. Et ce que cela signifie, c’est que passer de tous les nombres entiers aux nombres impairs Ă©quivaudrait Ă  se multiplier par trois quarts, Ă©tant donnĂ© que les Ă©vĂ©nements et les chances doivent nous donner la chose entiĂšre. Donc, si nous inversons simplement cela, cela signifie que pour passer de la somme des nombres impairs Ă  la somme de tous les entiers positifs, il faut multiplier par quatre tiers. Donc, si on prend 𝜋 au-dessus de huit, en multipliant par quatre tiers, bada boom bada bing ! Nous avons nous-mĂȘmes une solution au problĂšme de BĂąle.

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