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Vidéo pop :: Pourquoi 𝜋 ici ? Et pourquoi est-il au carré ? Une réponse géométrique au problème de Bâle

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Pourquoi 𝜋 ici ? Et pourquoi est-il au carré ? Une réponse géométrique au problème de Bâle

17:02

Transcription de la vidéo

J’imagine que votre rythme cardiaque ne s’est jamais accru d’excitation alors que vous imaginez un lac infiniment grand entouré de phares. Eh bien, si vous ressentez quelque chose comme moi à propos des mathématiques, cela changera à la fin de cette vidéo.

Prenez un plus un quatrième plus un neuvième plus un seizième et ainsi de suite, où vous ajoutez les inverses du prochain carré. Qu’est-ce que cette approche de la somme alors que vous continuez à ajouter de plus en plus de termes ? Maintenant, cela est un défi qui est resté sans solution pendant 90 ans après avoir été initialement posé, jusqu’à ce que finalement il était Euler qui a trouvé la réponse, super surprise, à 𝜋 au carré divisé par six. Je veux dire, n’est-ce pas fou ? Qu’est-ce que 𝜋 fait ici, et pourquoi est-il au carré ? Nous ne le voyons généralement pas au carré. En l’honneur d’Euler, dont la ville natale était Bâle, cette somme infinie est souvent appelée le problème de Bâle. Mais la preuve que j’aimerais vous montrer est très différente de celle d’Euler.

J’ai dit dans une vidéo précédente que, chaque fois que vous voyez 𝜋 apparaître, il y aura une connexion avec les cercles. Et il y a ceux qui aiment dire que 𝜋 n’est pas fondamentalement sur les cercles. Et insister pour relier de telles équations à l’intuition géométrique découle d’une insistance obstinée à ne comprendre que 𝜋 dans le contexte où nous l’avons découvert. Et c’est très bien. Mais, quel que soit votre propre point de vue tient aussi fondamentale, le fait est, 𝜋 est très attaché à des cercles. Donc, si vous le voyez apparaître, il y aura un chemin quelque part dans le vaste réseau mathématique interconnecté qui vous ramènera aux cercles en géométrie.

La question est de savoir combien de temps ce chemin pourrait être long et compliqué. Et dans le cas du problème de Bâle, il est beaucoup plus court que vous ne le pensiez. Et tout commence par la lumière. Voici l’idée de base. Imaginez que vous vous teniez à l’origine d’une droite numérique et que vous placiez un petit phare sur tous les entiers positifs : un, deux, trois, quatre, etc. Ce premier phare a une luminosité apparente de votre point de vue, une quantité d’énergie que votre œil reçoit de la lumière par unité de temps. Et appelons cela une luminosité égale à un.

Pour des raisons que j’expliquerai tout à l’heure, la luminosité apparente du deuxième phare est égale à un quart de celle du premier. Et la luminosité apparente de la troisième est un neuvième autant que la première, puis une seizième et ainsi de suite. Et vous pouvez probablement voir pourquoi cela est utile pour le problème de Bâle. Cela nous donne une représentation physique de ce qui est demandé, étant donné que la luminosité reçue de toute la droite infinie de phares va être un plus un quatrième plus un neuvième plus un seizième et ainsi de suite. Ainsi, le résultat que nous cherchons à montrer que cette luminosité totale est égale à 𝜋 au carré divisé par six fois la luminosité de ce premier phare.

Et au début, cela peut sembler inutile. Je veux dire, nous posons simplement la même question initiale. Mais le progrès vient d’une nouvelle question que ce cadrage pose. Existe-t-il des moyens de réorganiser ces phares sans modifier la luminosité totale de l’observateur ? Et si oui, pouvez-vous montrer que cela équivaut à une configuration plus facile à calculer ? Pour commencer, précisons ce que nous entendons par référence à la « luminosité apparente » pour un observateur.

Imaginez un petit écran qui représente peut-être la rétine de votre œil ou un capteur d’appareil photo numérique, quelque chose comme ça. Vous pourriez vous demander quelle est la proportion de rayons sortant de la source qui a frappé cet écran ? Ou, en d’autres termes, quel est l’angle entre le rayon frappant le bas de cet écran et le rayon frappant le haut ? Ou plutôt, puisque nous devrions penser à ces lumières comme étant en trois dimensions, il serait peut-être plus précis de demander quel est l’angle que la lumière couvre dans les deux directions perpendiculaire à la source ?

En géométrie sphérique, vous parlez parfois de l’angle solide d’une figure, qui est la proportion d’une sphère qu’elle recouvre depuis un point donné. Vous voyez, le premier des deux endroits où cette histoire où la réflexion sur les écrans va être utile est de comprendre la loi des carrés inverses, qui est un phénomène distinctement tridimensionnel. Pensez à tous les rayons de lumière frappant un écran à une unité de la source. Au fur et à mesure que vous doublez la distance, ces rayons couvriront désormais une aire avec deux fois la largeur et deux fois la hauteur. Il faudrait donc quatre copies de cet écran original pour recevoir les mêmes rayons à cette distance. Et ainsi, chaque individu reçoit un quart de lumière en plus.

C’est dans ce sens que je veux dire qu’une lumière apparaîtrait comme un quart brillante deux fois plus loin. De même, lorsque vous êtes trois fois plus loin, vous avez besoin de neuf copies de cet écran d’origine pour recevoir les mêmes rayons. Ainsi, chaque écran individuel reçoit seulement un neuvième de la quantité de lumière reçue. Et ce schéma continue. Parce que l’aire touchée par une lumière augmente d’un carré à l’autre, la luminosité de cette lumière diminue d’un carré à l’autre. Et comme beaucoup d’entre vous le savent sûrement, cette loi des carrés inverses n’est pas du tout spéciale. Cela apparaît chaque fois que vous avez une sorte de quantité qui se répand uniformément à partir d’une source ponctuelle, que ce soit du son, de la chaleur ou un signal radio, des choses comme ça.

Et rappelez-vous, c’est à cause de cette loi carrée inverse qu’un nombre infini de phares espacés de manière égale met en œuvre physiquement le problème de Bâle. Mais là encore, si nous voulons progresser, nous avons besoin de comprendre comment nous pouvons manipuler les configurations avec de telles sources de lumière sans modifier la luminosité totale de l’observateur. Et le bloc de construction clé est un moyen particulièrement intéressant de transformer un phare en deux.

Pensez à un observateur placé en l’origine du plan et à un seul phare placé quelque part dans le plan. Maintenant, tracez une droite allant de ce phare à l’observateur, puis une autre perpendiculaire à celle du phare. Maintenant, placez deux phares à l’intersection de cette nouvelle droite avec les axes de coordonnées, que je vais maintenant appeler : phare 𝐴 ici à gauche et phare 𝐵 en haut. Il se trouve, et vous verrez pourquoi cela est vrai dans une minute, la luminosité que les expériences d’observation de ce premier phare est égale à la luminosité combinée expérience de phares 𝐴 et 𝐵 ensemble.

Et je devrais dire, en passant, que l’hypothèse de base tout au long de cette vidéo est que tous les phares sont équivalents. Ils utilisent la même ampoule électrique, le même pouvoir, tout cela. Donc, en d’autres termes, l’attribution des variables à des choses ici, si l’on appelle la distance de l’observateur du phare 𝑎 peu 𝑎 et la distance de l’observateur du phare 𝑏 peu 𝑏 et la distance au premier phare ℎ, nous avons la relation d’un sur 𝑎 carré plus un sur 𝑏 carré équivaut à un sur ℎ carré. C’est le théorème de Pythagore inverse, beaucoup moins connu, que certains d’entre vous reconnaîtront peut-être dans la vidéo la plus récente et la plus excellente de Mathologer sur les nombreux cousins du théorème de Pythagore. Relation plutôt cool, vous ne pensez pas ?

Et si vous êtes un mathématicien dans l’âme, vous vous demandez peut-être maintenant comment vous le prouvez. Et il existe des manières simples d’exprimer l’aire des triangles de deux manières différentes et d’appliquer le théorème de Pythagore habituel. Mais il y a une autre méthode assez jolie que je voudrais décrire brièvement ici et qui tombe bien plus dans notre scénario car, encore une fois, il utilise des intuitions de la lumière et des écrans.

Imaginez réduire tout le triangle rectangle en une version plus petite. Et considérez cette hypoténuse miniature comme un écran recevant la lumière du premier phare. Si vous modifiez cet écran pour qu’il soit la combinaison des deux jambes du triangle miniature, comme cela, il reçoit toujours la même quantité de lumière, n’est-ce pas ? Je veux dire que les rayons de lumière qui frappent l’une de ces deux jambes sont exactement les mêmes que ceux qui frappent l’hypoténuse. Ensuite, la clé est que la quantité de lumière du premier phare qui frappe ce côté gauche, l’angle limité de rayons qui finissent par frapper cet écran, est exactement la même que la quantité de lumière sur venir ici du phare 𝐴 qui frappe ce côté. Ce sera le même angle de rayons.

Et symétriquement, la quantité de lumière de la première maison de frapper la partie inférieure de notre écran est le même que la quantité de lumière atteignant cette partie du phare 𝐵. Pourquoi, vous pourriez demander. Eh bien, il s’agit de triangles similaires. Cette animation vous donne déjà une bonne idée de son fonctionnement. Et nous avons également laissé un lien dans la description vers un simple applet GeoGebra pour ceux d’entre vous qui souhaitent réfléchir à cela dans un environnement légèrement plus interactif. Et en jouant avec cela, un fait important ici que vous pourrez voir est que les triangles similaires ne s’appliquent que dans le cas limite à un très petit écran.

Très bien, attachez-vous maintenant car c’est ici que les choses vont bien. Nous avons ce théorème de Pythagore inverse, non ? Et cela va nous permettre de transformer un phare en deux autres sans changer la luminosité ressentie par l’observateur. Avec cela en main et pas mal d’ingéniosité, nous pouvons l’utiliser pour construire le tableau infini dont nous avons besoin. Imaginez-vous au bord d’un lac circulaire directement en face d’un phare. Nous allons vouloir que la distance entre vous et le phare au bord du lac soit de un. Nous dirons donc que le lac a une circonférence de deux.

Maintenant, la luminosité apparente est divisée par le diamètre au carré. Et, dans ce cas, le diamètre est que la circonférence, deux, divisé par 𝜋. Donc, la luminosité apparente est 𝜋 carré divisé par quatre. Maintenant, pour notre première transformation, tracez un nouveau cercle deux fois plus grand, soit quatre fois la circonférence, puis tracez une droite tangente en haut du petit cercle. Remplacez ensuite le phare d’origine par deux nouveaux où cette droite tangente coupe le grand cercle. Un fait important de la géométrie que nous utiliserons encore et encore ici est que si vous prenez le diamètre d’un cercle et formez un triangle avec n’importe quel point du cercle, l’angle à ce nouveau point sera toujours de 90 degrés. La signification de cela dans notre figure ici est que cela signifie que le théorème de Pythagore inverse s’applique. Et la luminosité de ces deux nouveaux phares égale la luminosité du premier ; à savoir, 𝜋 carré divisé par quatre.

À l’étape suivante, tracez un nouveau cercle deux fois plus grand que le dernier avec une circonférence huit. Maintenant, pour chaque phare, tracez une droite à partir de ce phare en passant par le haut du petit cercle, qui est le centre du grand cercle, et considérez les deux points qui se croisent avec le grand cercle. Encore une fois, puisque cette droite est un diamètre de ce grand cercle, les droites de ces deux nouveaux points vers l’observateur vont former un angle droit. De même, en regardant ce triangle rectangle ici, dont l’hypoténuse est le diamètre du petit cercle, vous pouvez voir que la droite allant de l’observateur au phare d’origine est à angle droit, avec une nouvelle droite longue que nous avons dessinée. Bonne nouvelle, non ? Parce que cela signifie que nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore inverse. Et cela signifie que la luminosité apparente du phare d’origine est la même que la luminosité combinée des deux nouveaux.

Et bien sûr, vous pouvez faire la même chose de l’autre côté, en traçant une droite en haut du petit cercle et en plaçant deux nouveaux phares sur le grand cercle. Et encore plus agréable, ces quatre phares seront tous répartis de manière égale autour du lac. Pourquoi ? Eh bien, les droites allant de ces phares au centre forment un angle de 90 degrés les unes avec les autres. Donc, comme les choses sont symétriques de gauche à droite, cela signifie que les distances le long de la circonférence sont un, deux, deux, deux et un. Très bien, vous pourriez voir où cela se passe. Mais je veux traverser ça pour un pas de plus.

Vous tracez un cercle deux fois plus grand, soit une circonférence de 16 maintenant. Et pour chaque phare, vous tracez une droite à partir de ce phare en haut du petit cercle, qui est le centre du grand cercle. Ensuite, créez deux nouveaux phares à l’intersection de cette droite et du grand cercle. Comme auparavant, comme la longue droite est le diamètre du grand cercle, ces deux nouveaux phares forment un angle droit avec l’observateur, n’est-ce pas ? Et comme auparavant, la droite reliant l’observateur au phare d’origine est perpendiculaire à la longue droite.

Et ce sont les deux faits qui justifient notre utilisation du théorème de Pythagore inverse. Mais ce qui n’est peut-être pas aussi clair, c’est que lorsque tous les phares auront huit nouveaux phares sur le grand lac, ces huit nouveaux phares seront espacés de manière égale. Il s’agit du dernier élément de vérification de la géométrie avant la poussée finale. Pour voir cela, rappelez-vous que si vous tracez des droites à partir de deux phares adjacents sur le petit lac jusqu’au centre, ils forment un angle de 90 degrés. Si, au lieu de cela, vous tracez des droites en un point quelconque sur la circonférence du cercle, ce n’est pas entre elles, le très utile théorème de l’angle inscrit de la géométrie nous dit que ce sera exactement la moitié de l’angle qu’elles font avec le centre, dans ce cas 45 degrés.

Mais, lorsque nous plaçons ce nouveau point au sommet du lac, ce sont les deux droites qui définissent la position des nouveaux phares sur le plus grand lac. Cela signifie donc que lorsque vous tracez des droites de ces huit nouveaux phares vers le centre, ils divisent le cercle de manière égale en morceaux de 45 degrés. Et cela signifie que les huit phares sont espacés régulièrement autour de la circonférence, avec une distance de deux entre eux. Et maintenant, imaginez que cette chose joue à chaque pas en doublant la taille de chaque cercle et en transformant chaque phare en deux nouveaux le long d’une droite tracée au centre du grand cercle. À chaque étape, la luminosité apparente à l’observateur reste le même, 𝜋 carré sur quatre. Et à chaque pas, les phares restent régulièrement espacés d’une distance de deux sur la circonférence.

Et à la limite, nous obtenons ici une droite horizontale plate avec un nombre infini de phares uniformément espacés dans les deux sens. Et parce que la luminosité apparente a 𝜋 au carré sur quatre tout le chemin, cette volonté, aussi vrai dans ce cas limite. Et cela nous donne une assez belle série infinie. La somme des carrés inverses un sur 𝑛 carré, où 𝑛 couvre tous les nombres entiers impairs - un, trois, cinq, etc. mais aussi moins un, moins trois, moins cinq, souvent vers la gauche. En additionnant tout ça, ça va nous donner 𝜋 au carré sur quatre.

C’est incroyable ! Et c’est l’essentiel de ce que je veux vous montrer. Et prenez un peu de recul et réfléchissez à la façon dont cela semble irréel. La somme des fractions simples qui, à première vue n’a rien à voir avec la géométrie, rien à voir avec des cercles du tout, apparemment, nous donne ce résultat qui est lié à 𝜋. Sauf que maintenant, vous pouvez réellement voir ce que cela a à voir avec la géométrie. La droite numérique est un peu comme une limite de cercles en croissance constante. Et lorsque vous faites la somme par-dessus cette droite numérique, assurez-vous de faire la somme jusqu’à l’infini de chaque côté, c’est un peu comme si vous additionniez le long de la limite d’un cercle infiniment grand, d’une manière très lâche mais très amusante parlant.

« Mais attendez !» Pourriez-vous dire. Ce n’est pas la somme que vous nous avez promise au début de la vidéo. Et bien, vous avez raison. Il nous reste un peu de réflexion. Tout d’abord, nous allons juste cette somme restreindre à n’être que les nombres impairs positifs, ce qui nous amène 𝜋 au carré divisé par huit. Maintenant, la seule différence entre ceci et la somme recherchée qui recouvre tous les entiers positifs, impair et pair, est qu’il manque la somme des inverses des nombres pairs, ce que je colore en rouge ici. Vous pouvez maintenant considérer cette série manquante comme une copie à l’échelle de la série totale que nous voulons, dans laquelle chaque phare devient deux fois plus éloigné de l’origine. On est décalé à deux ; deux sont décalés à quatre ; trois sont déplacés à six, et ainsi de suite.

Et comme cela implique de doubler la distance pour chaque phare, cela signifie que la luminosité apparente serait réduite d’un facteur quatre. Et c’est aussi une algèbre relativement simple. Pour passer de la somme de tous les entiers à la somme des entiers pairs, il faut multiplier par un quart. Et ce que cela signifie, c’est que passer de tous les nombres entiers aux nombres impairs équivaudrait à se multiplier par trois quarts, étant donné que les événements et les chances doivent nous donner la chose entière. Donc, si nous inversons simplement cela, cela signifie que pour passer de la somme des nombres impairs à la somme de tous les entiers positifs, il faut multiplier par quatre tiers. Donc, si on prend 𝜋 au-dessus de huit, en multipliant par quatre tiers, bada boom bada bing ! Nous avons nous-mêmes une solution au problème de Bâle.

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