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Vidéo question :: Déterminer le centre et le rayon d’une sphère compte tenu de son équation Mathématiques • Troisième année secondaire

Donnez le centre et le rayon de la sphère d’équation 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² + 7𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 + 12 = 0.

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Transcription de la vidéo

Donnez le centre et le rayon de la sphère d’équation 𝑥 carré plus 𝑦 carré plus 𝑧 carré plus sept 𝑥 plus six 𝑦 plus trois 𝑧 plus 12 égale zéro.

Dans cette question, on nous donne une équation représentant une sphère. Nous devons trouver le centre et le rayon de cette sphère. Pour répondre à cette question, nous remarquons d’abord que l’équation de la sphère qui nous est donnée est sous forme générale. Cependant, il serait plus simple de travailler avec la forme standard de l’équation d’une sphère.

Nous rappelons que la forme standard de l’équation d’une sphère nous dit qu’une sphère de centre de coordonnées 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de rayon 𝑟 aura pour équation 𝑥 moins 𝑎 le tout au carré plus 𝑦 moins 𝑏 le tout au carré plus 𝑧 moins 𝑐 le tout au carré égale 𝑟 au carré. L’équation de n’importe quelle sphère peut être représentée sous cette forme. Cela signifie que nous pouvons réécrire l’équation qui nous est donnée dans cette question sous cette forme pour trouver son centre et son rayon.

Pour réécrire l’équation sous cette forme, commençons par regarder les termes en 𝑥 dans le membre de gauche de notre équation. Nous devons écrire ceci sous la forme 𝑥 moins 𝑎 le tout au carré. Nous pouvons le faire en complétant le carré. Nous devons prendre la moitié du coefficient de notre terme en 𝑥. Cela nous donne sept sur deux.

Nous pouvons maintenant considérer 𝑥 plus sept sur deux le tout au carré. Si nous devions évaluer cela soit en utilisant le développement du binôme ou la double distributivité, nous obtiendrions 𝑥 au carré plus sept 𝑥 plus 49 sur quatre. Nous pouvons voir que cela est presque exactement égal à l’expression que nous voulons : 𝑥 au carré plus sept 𝑥. Tout ce que nous avons fait c’est ajouter une constante supplémentaire de 49 sur quatre. Par conséquent, si nous soustrayons 49 sur quatre de 𝑥 plus sept sur deux le tout au carré, nous obtiendrons 𝑥 au carré plus sept 𝑥.

Par conséquent, en complétant le carré, nous avons montré que 𝑥 au carré plus sept 𝑥 est égal à 𝑥 plus sept sur deux le tout au carré moins 49 sur quatre. Nous pouvons alors substituer cela dans l’équation de notre sphère pour 𝑥 carré plus sept 𝑥. Cependant, trouvons d’abord une expression pour nos termes en 𝑦, 𝑦 au carré plus six 𝑦, encore une fois en complétant le carré.

Nous allons à nouveau devoir diviser par deux le coefficient de 𝑦. Soit six sur deux, c’est-à-dire trois. Cela nous donne 𝑦 plus trois le tout au carré. Cependant, si nous répartissions l’exposant sur nos parenthèses, nous obtiendrions 𝑦 au carré plus six 𝑦 plus neuf. Par conséquent, si nous soustrayons neuf de cette expression, nous obtenons 𝑦 carré plus six 𝑦.

Enfin, nous allons devoir faire la même chose avec nos termes en 𝑧. Dans l’équation de la sphère qui nous est donnée, les termes en 𝑧 sont 𝑧 au carré plus trois 𝑧. Encore une fois, nous allons devoir compléter le carré. Nous devons diviser le coefficient de 𝑧 par deux. Dans ce cas, cela nous donne trois sur deux. Cela signifie que 𝑧 plus trois sur deux le tout au carré sera égal à 𝑧 au carré plus trois 𝑧. Mais ensuite, nous ajoutons une constante supplémentaire de neuf sur quatre. Par conséquent, nous allons devoir soustraire cette constante supplémentaire de neuf sur quatre pour avoir 𝑧 carré plus trois 𝑧.

Maintenant, nous pouvons remplacer les trois expressions que nous avons trouvées en complétant le carré dans l’équation de notre sphère. Nous allons commencer par remplacer les deux termes en 𝑥 par 𝑥 plus sept sur deux le tout au carré moins 49 sur quatre. Ensuite, nous pouvons remplacer les deux termes en 𝑦 par 𝑦 plus trois le tout au carré moins neuf. Ensuite, nous pouvons remplacer les deux termes en 𝑧 dans cette équation par 𝑧 plus trois sur deux le tout au carré moins neuf sur quatre. Enfin, l’équation de notre sphère nous dit que si nous ajoutons 12 à cette expression, elle doit être égale à zéro.

Il s’agit presque de la forme standard de l’équation d’une sphère. Nous avons juste besoin de la constante sur le côté droit de notre équation et qu’elle soit sous la forme 𝑟 au carré. Pour écrire notre équation sous cette forme, nous devons calculer moins 49 sur quatre moins neuf moins neuf sur quatre plus 12. Cela nous donne moins 23 sur deux. Nous allons donc ajouter 23 sur deux des deux côtés de cette équation. En faisant cela et en simplifiant, nous obtenons 𝑥 plus sept sur deux le tout au carré plus 𝑦 plus trois le tout au carré plus 𝑧 plus trois sur deux le tout au carré égale 23 sur deux.

C’est maintenant presque sous la forme standard de l’équation d’une sphère. Cependant, la constante à droite de notre équation est généralement écrite sous la forme 𝑟 au carré. Car, si 𝑟 est positif, ce serait alors le rayon de notre sphère. Une façon de le faire est de prendre la racine carrée positive de ce nombre car, bien sûr, la racine carrée positive de ce nombre, au carré, ne changera pas sa valeur. Ce sera toujours égal à 23 sur deux. Cela signifie que le rayon de cette sphère est la racine carrée de 23 sur deux.

Cependant, nous pouvons simplifier cela. Tout d’abord, simplifions notre radical en prenant la racine carrée de 23, puis en la divisant par la racine carrée de deux. Nous pouvons alors rationaliser le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par la racine carrée de deux. En évaluant le numérateur, nous obtenons que la racine de 23 multipliée par la racine deux sera la racine carrée de 23 fois deux, qui est la racine carrée de 46. Et dans notre dénominateur, nous obtenons la racine deux multipliée par la racine deux, ce qui est juste égal à deux. C’est une autre façon de représenter la valeur du rayon 𝑟 de la sphère.

Enfin, nous devons trouver le centre de cette sphère. Nous pouvons le faire en posant chacun de nos binômes égal à zéro. Ou bien nous pouvons simplement multiplier la constante du binôme par moins un. Nous obtenons 𝑎 égale moins sept sur deux, 𝑏 égale moins trois et 𝑐 égale moins trois sur deux.

Par conséquent, nous avons montré que la sphère donnée par l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré plus sept 𝑥 plus six 𝑦 plus trois 𝑧 plus 12 égale zéro a un centre de coordonnées moins sept sur deux, moins trois, moins trois sur deux et un rayon de valeur racine de 46 sur deux.

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