Vidéo question :: Utiliser les propriétés du logarithme pour vérifier des égalités | Nagwa Vidéo question :: Utiliser les propriétés du logarithme pour vérifier des égalités | Nagwa

Vidéo question :: Utiliser les propriétés du logarithme pour vérifier des égalités Mathématiques • Deuxième année secondaire

Est-il vrai que log_(𝑎) (𝑥 + 𝑦) = log_(𝑎) 𝑥 + log_(𝑎) 𝑦 ?

03:16

Transcription de la vidéo

Est-il vrai que le logarithme en base 𝑎 de 𝑥 plus 𝑦 est égal à la somme du logarithme en base 𝑎 de 𝑥 et du logarithme en base 𝑎 de 𝑦 ?

Dans cette question, on nous donne une égalité logarithmique avec des valeurs de 𝑎, de 𝑥 et de 𝑦 et il faut déterminer si cette égalité est vraie. On serait tenté d’essayer de prouver que c’est vrai en utilisant la définition d’un logarithme. Mais comme ça ne fait pas partie de nos propriétés sur les logarithmes, il est en général plus facile de commencer par vérifier si l’affirmation est vraie pour certaines valeurs. Nous allons choisir des valeurs de 𝑎, de 𝑥 et de 𝑦 puis vérifier si les deux membres de l’égalité sont égaux.

Pour ce faire, rappelons quelques propriétés des logarithmes afin de faciliter les calculs de chacun des membres de l’égalité. Rappelons d’abord que, pour toute base 𝑏 qui est un nombre réel et positif différent de un, le logarithme en base 𝑏 de 𝑏 est égal à un. Donc, si on choisit 𝑎 égal trois, 𝑥 égal trois et 𝑦 égal trois, les deux termes du membres de droite de cette égalité sont de la forme log en base 𝑏 de 𝑏. On peut donc calculer ces deux termes.

Pour que l’affirmation soit vraie, elle doit le rester pour toutes les valeurs de 𝑎, de 𝑥 et de 𝑦, lesquelles doivent vérifier l’égalité. Vérifions donc si c’est vrai pour 𝑎 égal trois, 𝑥 égal trois et 𝑦 égal trois. Le membre droit de l’égalité devient log en base trois de trois plus log en base trois de trois, ce qui est égal à un plus un, ce qui fait deux. Vérifions si l’on trouve la même chose pour le membre gauche de l’égalité. Si 𝑎 égal trois, 𝑥 égal trois et 𝑦 égal trois, le membre gauche de l’égalité devient le log en base trois de trois plus trois, qui se simplifie pour donner le log en base trois de six. Pour que l’affirmation soit vraie, cette valeur doit être égale à deux.

Mais on peut montrer que ce n’est pas vrai. Par exemple, pour tout nombre réel positif 𝑏, on sait que le log en base 𝑏 de 𝑏 puissance 𝑛 est égal à 𝑛, puisque la fonction logarithme en base 𝑏 est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base 𝑏. En appliquant ce résultat, le logarithme en base trois de trois au carré est égal à deux. Et bien sûr, trois au carré est égal à neuf. Ce n’est pas égal à six.

Donc, les deux membres de l’égalité ne sont pas égaux pour ces valeurs de 𝑎, de 𝑥 et de 𝑦, ainsi l’affirmation est fausse. Mais pour être sûr, utilisons aussi une calculatrice afin de calculer le logarithme en base trois de six. Au centième, on trouve 1,63. Encore une fois, ce n’est pas égal au membre droit de l’égalité. On peut donc dire que non, ce n’est pas vrai que le log en base 𝑎 de 𝑥 plus 𝑦 est égal à la somme du log en base 𝑎 de 𝑥 et du log en base 𝑎 de 𝑦.

Il existe toutefois une affirmation très similaire qui est vraie. Il s’agit du logarithme d’un produit. Pour tous réels positifs 𝑎, 𝑥 et 𝑦 tels que 𝑎 est différent de un, le log en base 𝑎 de 𝑥 fois 𝑦 est égal à la somme du log en base 𝑎 de 𝑥 et du le log en base 𝑎 de 𝑦, la principale différence étant qu’on prend le logarithme du produit de 𝑥 et 𝑦. Et non pas de leur somme. Quoiqu’il en soit, on peut montrer que non, il n’est pas vrai que le log en base 𝑎 de 𝑥 plus 𝑦 est égal à la somme du log en base 𝑎 de 𝑥 et du log en base 𝑎 de 𝑦.

Rejoindre Nagwa Classes

Assistez à des séances en direct sur Nagwa Classes pour stimuler votre apprentissage avec l’aide et les conseils d’un enseignant expert !

  • Séances interactives
  • Chat et messagerie électronique
  • Questions d’examen réalistes

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité