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Vidéo de question : Calcul de la norme de la somme de deux vecteurs en trois dimensions Mathématiques

Si u = 5𝐢 − 2𝐣 − 𝐤 et w = −𝐣 + 2𝐤, déterminez | u + w | et | u | + | w |.

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Transcription de vidéo

Si vecteur u égale cinq 𝐢 moins deux 𝐣 moins 𝐤 et vecteur w égale moins 𝐣 plus deux 𝐤, déterminez la norme de u plus w et la norme de u plus la norme de w.

En voyant cette notation à barres verticales, on a dit norme. Rappelons ce que signifie trouver la norme d’un vecteur en trois dimensions. Supposons que nous ayons le vecteur u égale 𝑥𝐢 plus 𝑦𝐣 plus 𝑧𝐤. La norme de ce vecteur désigne sa longueur et est égale à la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré. Il y a donc plusieurs calculs à faire. D’abord, on va calculer la somme de u et w, puis la norme du résultat. Ensuite, séparément, on calculera la norme de u et on l’ajoutera à la norme de w.

Calculons donc la somme de u et w. C’est cinq 𝐢 moins deux 𝐣 moins 𝐤 plus moins 𝐣 plus deux 𝐤. Et bien sûr, pour additionner des vecteurs, on additionne simplement leurs composantes. On obtient que la somme de ces vecteurs est cinq 𝐢 moins trois 𝐣 plus 𝐤. Et donc, pour calculer la norme de leur somme, on prend la racine carrée de la somme des carrés de chaque composante, donc la racine carrée de cinq au carré plus moins trois au carré plus un au carré. C’est donc la racine carrée de 25 plus neuf plus un, qui est la racine carrée de 35.

Maintenant qu’on a calculé la norme de la somme, calculons la somme de leurs normes. Pour le vecteur u, c’est la racine carrée de cinq au carré plus moins deux au carré plus moins un au carré, ce qui donne la racine carrée de 30. Ensuite, la norme du vecteur w est la racine carrée de moins un au carré plus deux au carré, donc la racine de cinq. On peut donc écrire la norme de u plus la norme de w comme racine de 30 plus racine de cinq, ou dans l’ordre croissant racine de cinq plus racine de 30. Cela permet de rappeler que la norme de la somme de deux vecteurs n’est pas égale à la somme de leurs normes. Et donc on trouve que la norme de u plus w est la racine de 35, tandis que la norme de u plus la norme de w est racine de cinq plus racine de 30.

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