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Vidéo de question : Simplifier des expressions trigonométriques à l’aide d’identités de cofonction Mathématiques

Simplifiez sin 𝜃 + cos (270 ° + 𝜃).

02:40

Transcription de vidéo

Simplifiez sinus 𝜃 plus le cosinus de 270 degrés plus 𝜃.

Afin de simplifier cette expression, nous commencerons par trouver une expression équivalente à cosinus de 270 degrés plus 𝜃. Une façon de faire est de considérer le cercle trigonométrique. Ajouter 270 degrés à 𝜃 revient à soustraire 90 degrés de 𝜃 sur le cercle trigonométrique. Le cosinus de 270 degrés plus 𝜃 est égal au cosinus de 𝜃 moins 90 degrés. Ceci est similaire à l’une de nos identités de cofonction, qui stipule que cosinus de 90 degrés moins 𝜃 est égal à sinus 𝜃. Si nous factorisons par moins un l’expression entre parenthèses, nous avons cosinus de moins 90 degrés moins 𝜃.

Puisque le cosinus est une fonction paire, le cosinus de moins 𝛼 est identique au cosinus de 𝛼. Cela signifie que notre expression est identique à cosinus de 90 degrés moins 𝜃. Nous pouvons alors utiliser l’identité de cofonction de sorte que cela soit égal à sinus 𝜃. En remplaçant le cosinus de 270 degrés plus 𝜃 par sinus 𝜃, notre expression originale devient sinus 𝜃 plus sinus 𝜃. Cela donne deux sin 𝜃.

Une autre méthode aurait été d’utiliser les identités de somme ou les formules d’addition. L’une d’elles indique que cosinus de 𝛼 plus 𝛽 est égal à cosinus 𝛼 cosinus 𝛽 moins sinus 𝛼 sinus 𝛽. Compte tenu de notre expression, nous allons considérer 𝛼 égal à 270 degrés et 𝛽 égal à 𝜃. Cela nous donne cosinus de 270 degrés multipliés par cosinus 𝜃 moins sinus de 270 degrés multipliés par sinus 𝜃. Le cosinus de 270 degrés est nul et le sinus de 270 degrés vaut moins un. Notre expression se simplifie en zéro multiplié par cosinus 𝜃 moins moins un multiplié par sinus 𝜃, ce qui est égal à sinus 𝜃. Cela confirme l’expression que nous avons obtenue en utilisant notre première méthode. Sinus 𝜃 plus cosinus de 270 degrés plus 𝜃 est égal à deux sinus 𝜃.

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