Transcription de la vidéo
Un corps de masse de cinq kilogrammes se déplace sous l’action de la force 𝐅 mesurée en newtons. Son vecteur position après 𝑡 secondes est donné par 𝐫 égale neuf 𝑡 au cube 𝐢 plus huit 𝑡 au carré 𝐣 mètres. Déterminez le travail effectué par la force 𝐅 sur l’intervalle 𝑡 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à un.
Lors du calcul du travail effectué par des forces variables, nous devons utiliser l’intégration. Le travail effectué dans les 𝑡 premières secondes est égal à l’intégrale définie entre zéro et 𝑡 du produit scalaire de 𝐅 et 𝐯 par rapport à 𝑡. Le problème que nous avons ici est que nous savons ce que sera 𝑡. Il va être égal à un. Mais nous n’avons pas actuellement de vecteur pour la vitesse ou la force.
Nous avons cependant un vecteur pour le déplacement ou la position du corps à 𝑡 secondes. Et en rappelant que le vecteur vitesse est le taux de variation du déplacement ou de la position d’un objet pendant un temps donné, nous savons que nous pouvons trouver 𝐯 en calculant la dérivée de 𝐫 par rapport à 𝑡.
Maintenant, nous pouvons le faire pour les composantes 𝐢 et 𝐣 séparément. Nous allons donc dériver neuf 𝑡 au cube par rapport à 𝑡. Pour faire cela, nous multiplions le terme entier par l’exposant et nous soustrayons un de cet exposant. Nous obtenons donc 27𝑡 au carré. De même, lorsque nous dérivons huit 𝑡 au carré par rapport à 𝑡, nous obtenons deux fois huit 𝑡, soit 16 𝑡. Et c’est génial parce que nous avons maintenant un vecteur qui décrit la vitesse du corps. Mais qu’en est-il de la force ?
Eh bien, ici nous rappelons l’équation 𝐅 égale 𝑚𝐚. La force est égale à la masse multipliée par l’accélération. Il est important de réaliser que cette équation est valable lorsque 𝐅 et 𝐚 sont aussi des vecteurs. Maintenant, l’accélération est le changement du vecteur vitesse par rapport au temps. On peut donc dire que 𝐚 est la dérivée de 𝐯 par rapport à 𝑡.
Et encore une fois, nous pouvons dériver la composante 𝐢 et la composante 𝐣 séparément. La dérivée de 27𝑡 au carré est deux fois 27𝑡. Donc 54𝑡. Et puis la dérivée de 16𝑡 est 16. Nous avons donc maintenant un vecteur qui décrit l’accélération du corps.
Nous savons que le corps a une masse de cinq kilogrammes. La force est donc égale à cinq fois le vecteur d’accélération. C’est cinq fois 54𝑡𝐢 plus 16𝐣, soit 270𝑡𝐢 plus 80𝐣 newtons.
Rappelez-vous, nous avons dit que, pour trouver le travail effectué, nous allons intégrer le produit scalaire de 𝐅 et 𝐯. Pour trouver le produit scalaire de 𝐅 et 𝐯, nous multiplions les composantes 𝐢. Donc, c’est 270𝑡 fois 27𝑡 au carré. Et nous ajoutons le produit des composantes 𝐣. Donc, c’est 80 fois 16𝑡. Et nous constatons que 𝐅 point 𝐯 est 7290𝑡 au cube plus 1 280𝑡.
Le travail effectué est alors l’intégrale définie entre zéro et un de 7 290𝑡 au cube plus 1 280𝑡 par rapport à 𝑡. Pour intégrer chaque terme, nous ajoutons un à l’exposant, puis divisons par cette nouvelle valeur. Ainsi, l’intégrale de 7 290𝑡 au cube est 7 290𝑡 à la puissance quatre sur quatre. Et l’intégrale de 1 280𝑡 est 1 280𝑡 au carré sur deux. Cela se simplifie en 3 645 sur deux 𝑡 à la puissance quatre plus 640𝑡 au carré. En utilisant 𝑡 est égal à un et 𝑡 est égal à zéro, nous obtenons 3 645 sur deux plus 640, le tout, moins zéro, ce qui donne 2462,5.
Notre force est mesurée en newtons. Et notre déplacement ou notre position est mesurée en mètres. Donc, le travail effectué doit être mesuré en joules. Et la réponse est 2462,5 joules.