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Vidéo question :: Résolution d’une inconnue dans les coordonnées d’un point sachant qu’il appartient au plan 𝑥𝑦 Mathématiques • Troisième année secondaire

Sachant que le milieu de [𝐴𝐵] appartient au plan 𝑥𝑦 et que les coordonnées de 𝐴 et 𝐵 sont respectivement (−12 ; −9 ; 𝑘 + 3) et (−15 ; −9 ; 3𝑘), déterminez la valeur de 𝑘.

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Sachant que le milieu du segment 𝐴𝐵 appartient au plan 𝑥𝑦 et que les coordonnées de 𝐴 et 𝐵 sont respectivement moins 12, moins neuf, 𝑘 plus trois et moins 15, moins neuf, trois 𝑘, déterminez la valeur de 𝑘.

Dans cette question, on nous donne des informations sur deux points, le point 𝐴 et le point 𝐵. On nous donne les coordonnées du point 𝐴, moins 12, moins neuf, 𝑘 plus trois, et les coordonnées du point 𝐵, moins 15, moins neuf et trois 𝑘. Et on voit qu’il y a une inconnue 𝑘 dans ces coordonnées. On nous dit également que le milieu du segment 𝐴𝐵 appartient au plan 𝑥𝑦. Il faut utiliser toutes ces informations pour déterminer la valeur de 𝑘.

Pour répondre à cette question, il va falloir rappeler deux choses. Commençons par rappeler ce que ça veut dire pour un point que d’appartenir au plan 𝑥𝑦. Et rappelons également comment on trouve le milieu d’un segment dont on connaît les extrémités. D’abord, rappelons que le point 𝑃 de coordonnées 𝑃 indice un, 𝑃 indice deux, 𝑃 indice trois appartient au plan 𝑥𝑦 si 𝑃 indice trois est égal à zéro. Autrement dit, le plan 𝑥𝑦 est constitué de tous les points ayant une coordonnée 𝑧 égale à zéro. Donc, dans notre question, comme on sait que le milieu du segment 𝐴𝐵 appartient au plan 𝑥𝑦, on en déduit que ce point a une coordonnée 𝑧 égale à zéro.

Maintenant, rappelons comment trouver le milieu de deux points. On sait que pour trouver le point milieu entre les deux points 𝑥 indice un, 𝑦 indice un, 𝑧 indice un et 𝑥 indice deux, 𝑦 indice deux, 𝑧 indice deux, il faut calculer la moyenne de chaque coordonnée. Autrement dit, le milieu est le point 𝑥 indice un plus 𝑥 indice deux sur deux, 𝑦 indice un plus 𝑦 indice deux sur deux, 𝑧 indice un plus 𝑧 indice deux sur deux. On peut combiner ça avec les informations données dans la question pour trouver la valeur de 𝑘.

Utilisons d’abord la formule qui donne le milieu du segment 𝐴𝐵. Soulignons ici que le milieu entre deux points est le même que le milieu d’un segment dont ces deux points sont les extrémités. Donc, pour trouver le milieu du segment 𝐴𝐵, il suffit de prendre la moyenne des coordonnées du point 𝐴 et du point 𝐵. Ça donne le point moins 12 plus moins 15 sur deux, moins neuf plus moins neuf sur deux, 𝑘 plus trois plus trois 𝑘 sur deux.

Et on peut calculer ou simplifier les expressions dans ces coordonnées. On obtient le point moins 27 sur deux, moins neuf, quatre 𝑘 plus trois sur deux. On a donc trouvé une expression du milieu du segment 𝐴𝐵. Et rappelez-vous, la question indique qu’il appartient au plan 𝑥𝑦. Or, on sait que tout point du plan 𝑥𝑦 a une coordonnée 𝑧 égale à zéro. Donc, en disant que la coordonnée 𝑧 est égale à zéro, on peut trouver la valeur de 𝑘. On le fait, et on obtient l’équation quatre 𝑘 plus trois le tout sur deux égale zéro, et on peut en déduire 𝑘. Commençons par multiplier par deux. On obtient quatre 𝑘 plus trois égale zéro fois deux, ce qui est bien sûr égal à zéro.

Ensuite, on retranche trois de chaque côté de l’équation. Cela donne quatre 𝑘 égale moins trois. Et enfin, on divise par quatre ou on multiplie par un quart. On obtient que la valeur de 𝑘 est moins trois sur quatre, ce qui est notre réponse finale. Ainsi, on a montré que si le milieu du segment 𝐴𝐵 appartient au plan 𝑥𝑦, que les coordonnées de 𝐴 sont moins 12, moins neuf, 𝑘 plus trois, et que les coordonnées de 𝐵 sont moins 15, moins neuf et trois 𝑘, alors 𝑘 doit être égal à moins trois sur quatre.

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