Vidéo question :: Utilisation de la formule de la probabilité de l’union de deux événements Mathématiques

Transcription de la vidéo

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements. La probabilité de 𝐴 est égale à 0,2, et la probabilité de 𝐵 est égale à 0,47. Sachant que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à 0,18, calculez la probabilité de 𝐴 union 𝐵.

Alors, la première chose est d’examiner les informations fournies et ce qu’elles signifient. J’ai donc fait un dessin ici. C’est un diagramme de Venn. Il y a un cercle à gauche nommé 𝐴 et un cercle à droite nommé 𝐵.

Alors, la première information est que la probabilité de 𝐴 est égale à 0,2. Et je le montre ici sur le diagramme de Venn, car j’ai hachuré en rose tout le cercle 𝐴, car c’est ce que ça veut dire. Ensuite, on nous dit que la probabilité de 𝐵 est égale à 0,47. Je le montre aussi sur le diagramme de Venn, cette fois en hachurant tout le cercle 𝐵. Et enfin, on nous dit que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à 0,18. C’est ce que signifie ce symbole qui ressemble à un « n ». Il signifie intersection. Et comme vous pouvez le voir sur la figure, je l’ai hachurée.

Ce que signifie intersection, c’est un peu comme un « et », la probabilité de 𝐴 « et » 𝐵. Donc, c’est la région qui est à la fois dans le cercle 𝐴 et le cercle 𝐵, là où ils se chevauchent. Mais l’énoncé nous demande de trouver la probabilité de 𝐴 union 𝐵. Ça désigne tout ce qui est dans 𝐴 ou 𝐵. Et vous pouvez voir que j’ai hachuré à la fois le cercle 𝐴, le cercle 𝐵 et la région où les deux se chevauchent.

Alors, pour résoudre ce problème, il y a une formule permettant de calculer l’union. D’après cette formule, la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Très bien, on peut s’en servir pour trouver la valeur demandée. Mais voyons pourquoi elle fonctionne.

Alors, si on regarde les diagrammes, on voit que si on additionne les deux diagrammes du haut, on additionne donc la probabilité de 𝐴 et la probabilité de 𝐵. On obtient alors tout le cercle 𝐴 et tout le cercle 𝐵. Mais comme vous pouvez le voir, si on les réunit, on obtient deux de ces sections ici. Et ces sections sont l’intersection.

Or, si on regarde le diagramme du bas, il n’y a évidemment qu’une seule intersection. Il faudrait donc retrancher une intersection. On obtient ainsi la formule selon laquelle la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵.

Très bien. Alors poursuivons et résolvons le problème. Donc, en substituant nos valeurs, on obtient que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à 0,2 plus 0,47 moins 0,18, ce qui est égal à 0,67 moins 0,18. Et voici la réponse finale. La probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à 0,49.