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Vidéo question :: Trouver un déterminant utilisé dans la règle de Cramer Mathématiques • Première année secondaire

On considère le système d’équations linéaires suivant sous forme matricielle : [0, −3, 7, 0, −1, 1, 1, 1, 1] [𝑥, 𝑦, 𝑧] = [1, 6, 1]. Écrivez le déterminant Δ_z.

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Transcription de la vidéo

On considère le système d’équations linéaires suivant sous forme matricielle : la matrice zéro, moins trois, sept, zéro, moins un, un, un, un, un multiplié par la matrice 𝑥, 𝑦, 𝑧 est égal à la matrice un, six, un. Écrivez le déterminant Δ 𝑧.

Pour commencer, nous devons nous assurer de comprendre l’interprétation matricielle du système d’équations linéaires qui nous est donné. Nous pouvons voir que le système a trois inconnues : 𝑥, 𝑦 et 𝑧, car ce sont les seules variables trouvées dans la matrice des variables. À gauche de cela se trouve la matrice des coefficients. Nous l’appelons ainsi parce que si nous multiplions ce système, ces nombres formeront les coefficients des variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Enfin, nous avons la matrice constante, qui forme le côté droit du système d’équations.

Maintenant, on nous demande de trouver le déterminant Δ 𝑧. Rappelons que ce déterminant est utilisé lors du calcul de la règle de Cramer et est formé en utilisant des parties de la matrice des coefficients et de la matrice constante. Notons également qu’on nous a demandé d’écrire le déterminant, mais pas de l’évaluer. Ainsi, notre réponse devrait être un déterminant trois trois plutôt qu’un nombre. Rappelons le processus de recherche de Δ 𝑥, Δ 𝑦 ou Δ 𝑧.

Nous pouvons commencer par écrire le déterminant de la matrice de coefficients, qui s’appelle Δ. Ceci est simplement la matrice à gauche du système, mais réécrit en utilisant des barres au lieu de crochets. La prochaine étape consiste à nommer les colonnes en utilisant les inconnues, en les rangeant de gauche à droite et de haut en bas. Dans ce cas, ce sont les inconnues 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Enfin, nous devons remplacer la colonne 𝑥, 𝑦 ou 𝑧 par les valeurs de la matrice constante pour former Δ 𝑥, Δ 𝑦 ou Δ 𝑧. Maintenant, la matrice constante fait référence à la matrice sur le côté droit du système. En outre, nous ne nous intéressons qu’à Δ 𝑧 dans cette question, nous allons donc chercher à remplacer la colonne 𝑧.

Voyons comment ces étapes peuvent être appliquées à cet exemple. Pour la première étape, nous écrivons Δ, qui est la matrice des coefficients mise en valeur ci-dessus, mais écrite comme un déterminant. Ensuite, de gauche à droite, nous attribuons chacune des trois colonnes du déterminant aux variables 𝑥, 𝑦 ou 𝑧 dans le même ordre où elles apparaissent dans la matrice des variables.

Enfin, puisque nous voulons trouver Δ 𝑧, nous cherchons à remplacer la colonne 𝑧, qui est la troisième colonne, par la matrice constante. Cela signifie que nous voulons remplacer la colonne sept, un, un, par un, six, un. Le reste des entrées reste le même. Cela nous donne le déterminant, zéro, moins trois, un, zéro, moins un, six, un, un, un. Comme mentionné précédemment, nous n’avons pas besoin d’évaluer explicitement ce déterminant pour cette question. Ainsi, voici notre réponse finale pour Δ 𝑧.

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