Transcription de la vidéo
Écrivez une expression pour la longueur d’un arc de cercle mesurant thêta radians, sachant que l’expression pour la longueur d’un arc de cercle en degrés est deux pi 𝑟 thêta sur 360.
Rappelons d’abord qu’un arc est une portion de la circonférence d’un cercle. Un arc a un angle au centre, souvent appelé thêta, qui est l’angle formé par l’intersection des deux rayons reliant les extrémités de l’arc au centre du cercle. La question nous donne une formule pour calculer la longueur d’un arc lorsque l’angle central du secteur, thêta, est exprimé en degrés. Et on cherche une formule utilisable pour un angle mesuré en radians. Mais avant de faire cela, rappelons d’où vient la formule donnée.
On sait que la circonférence d’un cercle complet se calcule par la formule pi 𝑑 ou deux pi 𝑟, où 𝑟 représente le rayon du cercle. Lorsqu’on cherche la longueur d’un arc, on cherche seulement la longueur d’une partie de la circonférence. La fraction de la circonférence est déterminée par l’angle au centre thêta. Comme il y a 360 degrés dans un tour complet, on a une portion de cercle de thêta sur 360. Donc, pour trouver la longueur de l’arc, on multiplie la circonférence complète du cercle par cette fraction, ce qui donne deux pi 𝑟 multipliés par thêta sur 360, ce qui est donc deux pi 𝑟 thêta sur 360 comme le précise la question.
On a donc le choix entre deux approches pour répondre à cette question. L’une consiste à suivre la même méthode dès le début, mais en utilisant les radians plutôt que les degrés. L’autre consiste à convertir les degrés en radians dans la formule finale. Utilisons les deux méthodes. Repartons de zéro : la circonférence d’un cercle est de deux pi 𝑟 comme on l’a dit. Il y a deux pi radians dans un tour complet. Donc, pour un angle au centre thêta exprimé en radians, on a une portion de la circonférence de thêta sur deux pi. En multipliant la circonférence complète du cercle par cette fraction, on obtient deux pi 𝑟 multiplié par thêta sur deux pi.
Or, on voit que les deux pi au numérateur se simplifient avec les deux pi au dénominateur. Et donc ici, la formule de la longueur de l’arc se simplifie en 𝑟 thêta. On multiplie le rayon 𝑟 par l’angle au centre thêta exprimé en radians. La deuxième méthode, comme on l’a dit, est de prendre la formule donnée dans la question pour un angle donné en degrés, deux pi 𝑟 thêta sur 360, puis de convertir en radians. Si on suppose que l’angle thêta au numérateur est maintenant en radians, on peut alors remplacer 360 degrés au dénominateur par deux pi radians. Cela donne deux pi 𝑟 thêta sur deux pi. Et comme tout à l’heure, on voit que les facteurs deux pi au numérateur et au dénominateur se simplifient, ce qui donne simplement 𝑟 thêta comme tout à l’heure.
On en conclut donc qu’un arc de mesure thêta radians a une longueur de 𝑟 thêta. On multiplie le rayon par l’angle au centre thêta.
