Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la réciproque d'une fonction en échangeant les variables dans l'équation.
Avant d’étudier la réciproque d’une fonction, vous devez être familier avec les fonctions elles-mêmes. On rappelle qu’une fonction, que l’on peut appeler 𝑓, prend une variable 𝑥 et lui associe une image 𝑓 de 𝑥. Elle est définie par une équation montrant comment l’image est calculée à partir de la variable. Par exemple, la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à deux 𝑥 moins trois prend une valeur de 𝑥. Alors on la double, et on y soustrait ensuite trois pour donner l’image. Si on applique la fonction à la valeur quatre, on trouve que 𝑓 de quatre est égal à deux fois quatre moins trois, soit huit moins trois, ce qui est égal à cinq. Par conséquent, la valeur quatre a pour image cinq.
On peut également visualiser cela en utilisant un schéma montrant les étapes à suivre pour passer d’une valeur à son image. On multiplie quatre par deux pour obtenir huit, puis on soustrait trois pour obtenir cinq. Si nous devions tracer la courbe de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, nous obtiendrions, dans ce cas, une droite représentant la mise en correspondance de toutes les valeurs d’entrée possibles de 𝑥 avec les valeurs de sortie 𝑓 de 𝑥. On peut alors utiliser cette représentation graphique pour calculer l’image pour une certaine valeur. Par exemple, pour la valeur deux, on part de deux sur l’axe des abscisses et on monte jusqu’à rencontrer la droite. On se déplace ensuite horizontalement de la droite à l’axe des ordonnées et on constate que l’image de deux est un.
On peut également utiliser cette représentation graphique pour illustrer les notions d’ensemble de définition et d’ensemble image d’une fonction. L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable, qui correspond à toutes les valeurs sur l’axe des abscisses ayant une image sur la représentation graphique. Dans ce cas, l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble des nombres réels. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de la fonction, qui sont toutes les ordonnées de la représentation graphique. Comme cette droite continue indéfiniment dans les deux sens, l’ensemble image de cette fonction est également l’ensemble des nombres réels.
Maintenant que nous avons rappelé les bases sur les fonctions, nous pouvons aborder la réciproque d’une fonction. Pour une valeur de 𝑦, par exemple 𝑦 égale trois, supposons que nous souhaitions trouver son antécédent. On pourrait le faire à partir de la représentation graphique. On pourrait se déplacer horizontalement de l’ordonnée trois à la droite, puis descendre vers l’axe des abscisses pour trouver son antécédent, qui est également trois. Mais il serait utile de pouvoir le faire sans avoir à tracer sa représentation graphique. On pourrait substituer cette valeur dans notre fonction en tant qu’image et ensuite déterminer la valeur de x. En faisant cela, on constate que la valeur trois a bien un antécédent de trois.
Mais si nous souhaitions trouver l’antécédent de nombreuses valeurs de la fonction, il serait plus efficace de trouver une équation générale plutôt que de substituer chaque valeur et de résoudre l’équation à chaque fois. Pour cela, on peut manipuler l’équation générale 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 pour isoler 𝑥. En commençant par l’équation 𝑦 égale deux 𝑥 moins trois, on additionne trois des deux côtés pour obtenir 𝑦 plus trois égale deux 𝑥, puis on divise les deux côtés de l’équation par deux et on obtient 𝑦 plus trois sur deux égale 𝑥. Et nous avons ainsi réarrangé la formule pour trouver une expression de 𝑥. Comme précédemment, si on substitue la valeur trois à y, on obtient 𝑥 égale trois plus trois sur deux, soit six sur deux, ce qui est égal à trois.
Mais nous pouvons utiliser la même équation pour trouver l’antécédent de n’importe quelle valeur de la fonction. Par exemple, lorsque 𝑦 est égal à zéro, 𝑥 égale zéro plus trois sur deux, soit 1,5. Le processus que nous venons de suivre montre comment trouver la réciproque d’une fonction. De manière moins formelle, on peut considérer que la réciproque d’une fonction est la fonction qui annule l’action de la fonction d’origine. Si une fonction 𝑓 appliquée à une valeur 𝑥 donne l’image 𝑦, alors la réciproque de 𝑓, que l’on note 𝑓avec un indice moins un, prend la variable 𝑦 et donne l’image 𝑥. Nous revenons ainsi à notre point de départ. Nous avons vu dans cet exemple qu’à partir d’une valeur de 𝑥, on peut trouver la valeur de 𝑦, qui est égale à 𝑓 de 𝑥, en utilisant l’équation 𝑦 égale deux 𝑥 moins trois. Et à partir d’une valeur de 𝑦, c’est-à-dire de 𝑓 de 𝑥, on peut trouver son antécédent 𝑥 en utilisant l’équation 𝑥 égale 𝑦 plus trois sur deux.
Nous souhaitons cependant écrire la réciproque en fonction de 𝑥 et non de 𝑦. On échange donc le 𝑥 et le 𝑦, et on définit que la réciproque de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑦. Nous avons ainsi montré que la réciproque de la fonction est 𝑓 moins un de 𝑥 égale à 𝑥 plus trois sur deux. Il est également intéressant d’étudier la relation entre la représentation graphique d’une fonction et celle de sa réciproque. Échanger les rôles de 𝑥 et 𝑦 dans la fonction revient en fait à inverser la courbe de telle sorte que l’axe des ordonnées de la fonction d’origine devient l’axe des abscisses de la réciproque et vice versa.
La transformation géométrique qui se produit ici est une symétrie par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥. On peut le visualiser si on ajoute la droite 𝑦 égale 𝑓 moins un de 𝑥 au graphique. Comme on échange les axes des abscisses et des ordonnées, l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de x devient l’ensemble image de la fonction 𝑓 moins un. Et l’ensemble image de la fonction 𝑓 de x est l’ensemble de définition de sa réciproque.
Les étapes générales de la recherche de la réciproque d’une fonction sont donc les suivantes. On définit tout d’abord 𝑦 égal à la fonction 𝑓 de 𝑥. On réarrange ensuite l’équation pour isoler 𝑥. Puis on échange 𝑥 et 𝑦 afin d’obtenir 𝑦 en fonction de 𝑥 au lieu de 𝑥 en fonction de 𝑦. On définit enfin cette nouvelle fonction de 𝑥 comme étant 𝑓 moins un de 𝑥. Voyons maintenant quelques exemples dans lesquels nous devons trouver la réciproque d’une fonction de manière algébrique, en commençant par une fonction affine.
Trouvez 𝑓 moins un de 𝑥 pour 𝑓 de 𝑥 égale un demi de 𝑥 plus trois.
Nous avons donc une fonction 𝑓 et nous devons trouver l’expression de sa réciproque. On commence par définir 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥. Et nous allons ensuite manipuler cette équation pour isoler 𝑥. La première étape consiste à soustraire trois à chaque membre, ce qui donne 𝑦 moins trois égale un demi de 𝑥. On peut alors multiplier les deux membres de l’équation par deux, ce qui donne deux fois 𝑦 moins trois égale à 𝑥. Et en distribuant le deux sur le membre gauche, on a deux 𝑦 moins six égale à 𝑥. Nous avons maintenant 𝑥 en fonction de 𝑦, mais nous préférons écrire la réciproque comme une fonction de 𝑥. On échange donc les positions de 𝑥 et 𝑦. On remplace le 𝑦 par 𝑥 et le 𝑥 par 𝑦. On a donc maintenant 𝑦 égale à deux 𝑥 moins six.
La dernière étape consiste à définir cette nouvelle fonction de 𝑥 comme étant 𝑓 moins un de 𝑥. Nous avons ainsi montré que 𝑓 moins un de 𝑥 est égale à deux 𝑥 moins six. Il s’agit de la fonction qui associe toutes les valeurs de la fonction d’origine à leurs antécédents. On peut le voir en prenant une valeur de la variable, par exemple, quatre. Lorsque l’on applique la fonction 𝑓 à la valeur quatre, on obtient l’image cinq. Et lorsque l’on applique la réciproque que nous venons de calculer à la valeur cinq, on a 𝑓 moins un de cinq égale à deux fois cinq moins six, soit 10 moins six, ce qui nous donne bien la valeur initiale de quatre.
Il convient également de souligner que l’étape de manipulation de l’équation pour isoler 𝑥 et l’étape d’échange de 𝑥 et 𝑦 peuvent être effectuée dans n’importe quel ordre. Si vous préférez, vous pouvez échanger 𝑥 et 𝑦 d’abord, puis manipuler l’équation pour isoler 𝑦. Vous obtiendrez la même réponse, qui est 𝑓 moins un de 𝑥 égale deux 𝑥 moins six.
Étudions maintenant un exemple un peu plus compliqué dans lequel nous devons trouver la réciproque d’une fonction de racine carrée. Nous devrons également déterminer l’ensemble de définition de cette réciproque.
Trouvez 𝑓 moins un de 𝑥 pour 𝑓 de 𝑥 égale à racine carrée de 𝑥 plus trois et déterminez son ensemble de définition.
Pour trouver la réciproque de la fonction, on commence par définir 𝑦 égal à 𝑓 de 𝑥. On a donc 𝑦 égale racine carrée de 𝑥 plus trois. On réarrange ensuite l’équation pour isoler 𝑥. On commence par soustraire trois de chaque côté pour obtenir 𝑦 moins trois égale racine carrée de 𝑥. On met ensuite les deux côtés de l’équation au carré, c’est-à-dire qu’on les élève à la puissance deux, et on obtient y moins trois au carré égale à 𝑥. Nous pourrions développer les parenthèses, mais ce n’est pas vraiment nécessaire ici. Nous avons maintenant 𝑥 en fonction de 𝑦, mais nous souhaitons que la réciproque soit une fonction de 𝑥. On échange donc 𝑥 et 𝑦 et on obtient 𝑥 moins trois au carré égale 𝑦. Enfin, on définit que la réciproque de la fonction, 𝑓 moins un de 𝑥, est égale à l’expression de 𝑦. On a donc 𝑓 moins un de 𝑥 égale 𝑥 moins trois au carré.
Nous devons également déterminer l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 moins un. On rappelle que l’ensemble de toutes les valeurs possibles de la variable de la fonction 𝑓 moins un est le même que l’ensemble de toutes les images de la fonction 𝑓. En d’autres termes, l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 moins un est le même que l’ensemble image de la fonction d’origine 𝑓. Étudions donc la fonction 𝑓 pour déterminer son ensemble image. Nous savons que la fonction racine carrée donne des valeurs positives ou nulles. La valeur minimale qu’elle peut produire est zéro lorsque 𝑥 lui-même est égal à zéro. Et il n’y a pas de limite à la valeur maximale qu’elle peut donner. Si on prend la racine carrée d’un nombre positif très élevé, on obtient un autre nombre positif très élevé.
On additionne ensuite trois à cette valeur. Cela signifie que la valeur minimale de 𝑓 de 𝑥 sera zéro plus trois, soit trois. Et comme précédemment, elle n’a pas de valeur maximale. L’ensemble image de la fonction 𝑓 est donc l’ensemble de toutes les valeurs supérieures ou égales à trois. Cet ensemble de valeurs correspond alors à l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 moins un. Mais comme ce sont les valeurs de la variable pour 𝑓 moins un, ce sont des valeurs de 𝑥. On peut alors dire que l’ensemble de définition de f moins un de 𝑥 est 𝑥 supérieur ou égal à trois. Nous avons ainsi résolu le problème. 𝑓 moins un de 𝑥 est égale à 𝑥 moins trois au carré, et son ensemble de définition est 𝑥 supérieur ou égal à trois.
Nous avons maintenant vu deux exemples de recherche algébrique de la réciproque d’une fonction. Il n’est cependant pas toujours possible de trouver la réciproque d’une fonction sur tout son ensemble de définition. Considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 au carré plus trois. La courbe représentative de 𝑓 de 𝑥 ressemble à ceci. C’est une parabole avec une ordonnée à l’origine de trois. Pour une valeur de la variable 𝑥, on peut trouver son image 𝑦 en montant de l’axe des abscisses à la courbe puis en se déplaçant horizontalement jusqu’à l’axe des ordonnées. Mais que se passe-t-il si nous souhaitons faire l’opération inverse ?
Imaginons que nous souhaitions trouver l’antécédent de la valeur cinq. Si on se déplace horizontalement de y égale cinq à la courbe, on constate qu’il y a en fait deux points avec une ordonnée de cinq. Cela signifie qu’il y a deux valeurs de la variable, qui sont ici plus et moins un, ayant cette image. La réciproque de cette fonction ne peut donc pas être définie. Pour cette valeur de cinq, comment pouvons-nous en effet savoir si son antécédent est un ou moins un ?
Cela nous amène à une condition importante de l’existence de la réciproque d’une fonction. La réciproque d’une fonction n’existe sur la totalité de son ensemble de définition que si la fonction est injective. Cela signifie que chaque valeur de la fonction n’a qu’un seul antécédent et que lorsque l’on va dans l’autre sens en appliquant la réciproque de la fonction, chaque valeur de la variable n’aura qu’une seule image. Si une fonction n’est pas injective sur la totalité de son ensemble de définition, on peut limiter l’ensemble de définition à un ensemble de valeurs sur lesquelles elle est injective et trouver sa réciproque uniquement sur cet ensemble de définition restreint. Par exemple, pour cette fonction du second degré, nous pouvons restreindre l’ensemble de définition aux valeurs de x supérieures ou égales à zéro. Ou, nous pouvons utiliser les valeurs de 𝑥 inférieures ou égales à zéro. La fonction sera alors injective sur cet ensemble de définition restreint et il sera possible de définir sa réciproque.
Passons maintenant à un exemple où nous devons identifier si une fonction admet une réciproque sur tout son ensemble de définition.
Laquelle des fonctions suivantes n’admet pas de réciproque sur tout son ensemble de définition ? (a) 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥. (b) 𝑓 de 𝑥 égale deux puissance 𝑥. (c) 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥. Ou (d) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré.
Pour répondre à cette question, rappelons la condition que doit remplir une fonction pour admettre une réciproque. Une fonction admet une réciproque sur tout son ensemble de définition uniquement si elle est injective. Cela signifie que chaque valeur de la fonction a un antécédent unique et que lorsque l’on va dans l’autre sens en appliquant la réciproque de la fonction, chaque valeur de la variable n’aura qu’une seule image. On peut déterminer laquelle de ces fonctions n’est pas injective en traçant leurs courbes représentatives. Pour l’option (a), la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 ou 𝑦 égale deux 𝑥 est une droite passant par l’origine. Il s’agit clairement d’une fonction injective sur tout son ensemble de définition. Chaque valeur de la fonction n’a qu’un seul antécédent. Ce qui signifie que chaque valeur de la variable de la réciproque n’aura qu’une seule image.
Plus généralement, on peut déterminer si une fonction est injective en traçant des droites horizontales et verticales sur sa courbe représentative. Si chaque droite horizontale et chaque droite verticale coupent la courbe au plus une fois, alors la fonction est injective. La courbe représentative de 𝑦 égale deux puissance 𝑥 est une courbe exponentielle passant par le point zéro, un et ayant pour asymptote horizontale l’axe des abscisses. Il s’agit également d’une fonction injective sur tout son ensemble de définition car chaque droite verticale coupe la courbe une fois et chaque droite horizontale coupe la courbe une fois au plus.
La courbe représentative de 𝑦 égale un sur 𝑥 a deux branches : une dans le premier quadrant, où 𝑥 et 𝑦 sont tous les deux positifs, et une dans le troisième quadrant, où 𝑥 et 𝑦 sont tous les deux négatifs. On peut cependant voir que la fonction est injective sur tout son ensemble de définition. Il ne reste alors plus que la fonction (d). La courbe représentative de 𝑦 égale 𝑥 au carré est une parabole dont le minimum est situé à l’origine. Si on trace des droites horizontales coupant la courbe, on remarque que certaines d’entre elles coupent la courbe plus d’une fois. Cela signifie que certaines valeurs de la fonction ont deux antécédents, donc la fonction 𝑓 n’est pas injective. On ne peut donc pas définir la réciproque de 𝑓 sur tout son ensemble de définition parce que nous ne savons pas à quel antécédent chaque valeur de la fonction doit être associée. Nous concluons donc que la fonction qui n’admet pas de réciproque sur tout son ensemble de définition est 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré.
Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. De manière informelle, on peut considérer que la réciproque d’une fonction est la fonction qui annule l’effet de la fonction d’origine. Plus formellement, pour une valeur 𝑥 dans l’ensemble de définition de la fonction 𝑓, si 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑦, alors 𝑓 moins un de 𝑦 est égal à 𝑥. L’ensemble de définition de 𝑓 devient l’ensemble image de 𝑓 moins un et inversement. L’ensemble image de f devient l’ensemble de définition de 𝑓 moins un. Nous avons vu que la réciproque d’une fonction n’existe que si la fonction est injective, afin que chaque valeur n’ait qu’un unique antécédent. Quand on va ensuite dans l’autre sens, la réciproque de la fonction associe alors chaque valeur à une unique image.
Nous avons également vu que pour trouver la réciproque d’une fonction 𝑦 égale à 𝑓 de 𝑥, il faut réarranger l’équation pour isoler 𝑥. Puis échanger 𝑥 et 𝑦. Ces deux étapes peuvent être effectuées dans n’importe quel ordre. On peut également échanger 𝑥 et 𝑦 d’abord, puis réarranger pour isoler 𝑦. Enfin, nous avons vu qu’en raison de cet échange de 𝑥 et 𝑦, les courbes représentatives d’une fonction et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite 𝑦 égale 𝑥.
