Vidéo question :: Utiliser la règle d’addition pour déterminer la probabilité de l’union de deux événements Mathématiques

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Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements d’un univers équiprobable. Sachant que le nombre d’issues de 𝐴 est trois, le nombre d’issues de 𝐵 est 11, le nombre d’issues communes à 𝐴 et 𝐵 est deux et la probabilité de 𝐴 union 𝐵 égale trois huitièmes, déterminez la probabilité de 𝐴 barre union 𝐵.

Nous commençons par rappeler certaines des notations utilisées dans cette question. On sait que 𝐴 barre, parfois écrit 𝐴 prime, désigne le complément de l’événement 𝐴. Il s’agit de l’ensemble des issues qui ne sont pas 𝐴. L’union des événements 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble des issues de l’événement 𝐴 ou de l’événement 𝐵 ou des deux. Une façon d’essayer de répondre à une question de ce type est de commencer par dessiner un diagramme de Venn.

Dans cette question, on nous dit qu’il y a deux événements 𝐴 et 𝐵. Il y a trois issues dans l’événement 𝐴, 11 issues dans l’événement 𝐵 et deux issues communes aux deux. Les issues communes aux deux se trouvent à l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵. Dans notre diagramme de Venn, cela se trouve dans le chevauchement entre les deux cercles.

Puisqu’il y a trois issues dans l’événement 𝐴 et que nous savons que deux d’entre elles sont communes à l’événement 𝐵, nous pouvons calculer le nombre d’issues uniquement dans l’événement 𝐴 en soustrayant deux de trois. Cela donne un. De la même manière, étant donné que 11 moins deux est égal à neuf, il y a neuf issues qui se produisent dans l’événement 𝐵 uniquement.

On nous a dit dans la question que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à trois huitièmes. Et à partir du diagramme de Venn, nous voyons que cela correspond à 12 issues. En considérant des fractions équivalentes et en multipliant le numérateur et le dénominateur par quatre, nous voyons que trois sur huit est équivalent à 12 sur 32. La probabilité d’un événement peut être déterminée en divisant le nombre d’issues favorables par le nombre total d’issues possibles. Puisque le numérateur est égal à 12 et qu’il y a 12 issues dans l’union des événements 𝐴 et 𝐵, nous savons qu’il y aura un total de 32 issues. Soustraire 12 de 32 nous donne 20. Nous pouvons ajouter ceci à notre diagramme de Venn. Il y a 20 issues qui ne sont pas dans l’événement 𝐴 ou dans l’événement 𝐵.

Nous essayons de trouver la probabilité de l’union du complémentaire de 𝐴 et de l’événement 𝐵. Le complémentaire de l’événement 𝐴 contient 29 issues. Par conséquent, la probabilité est de 29 sur 32. Nous voulons l’union de cela avec l’événement 𝐵, en notant que la probabilité de l’événement 𝐵 est de 11 sur 32. Puisque neuf des issues se produisent dans ces deux événements, nous n’avons pas besoin de les compter deux fois. Le nombre d’issues qui se produisent dans l’union de ces événements est 20 plus neuf plus deux, c’est-à-dire 31. La probabilité du complémentaire de l’événement 𝐴 union l’événement 𝐵 est donc égale à 31 sur 32.

Une autre façon de répondre à cette question serait d’utiliser la règle d’addition des probabilités. Elle indique que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Cela peut être adapté à notre question de telle sorte que la probabilité de 𝐴 barre union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 barre plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 barre inter 𝐵.

Nous avons déjà établi les deux premières probabilités à droite de notre équation. Comme mentionné précédemment, neuf issues se situent à l’intersection de ces deux événements. La probabilité du complémentaire de 𝐴 union 𝐵 est donc égale à 29 sur 32 plus 11 sur 32 moins neuf sur 32. Comme les dénominateurs sont les mêmes, nous additionnons puis soustrayons les numérateurs, ce qui nous donne encore une fois 31 sur 32.