Transcription de la vidéo
Sachant que l’inverse de 𝐴 est égal à deux, cinq, un, 32, 11, 74, 32, 12, 18, déterminez l’inverse de la transposée de 𝐴.
On nous donne l’inverse de la matrice 𝐴, puis on nous demande de trouver l’inverse de la transposée de la matrice d’origine. Donc, nous commençons par trouver l’inverse de l’inverse de 𝐴 ; cela nous donnera la matrice originale 𝐴 que nous pouvons ensuite transposer pour en trouver l’inverse. Cependant, il existe une propriété vraiment utile que nous pouvons appliquer qui nous fera gagner beaucoup de temps. Autrement dit, en supposant que 𝐴 est une matrice inversible, la transposée de l’inverse de 𝐴 est égale à l’inverse de la transposée de 𝐴. Et cela signifie que nous pouvons trouver l’inverse de la transposée de la matrice 𝐴 en transposant simplement l’inverse de 𝐴.
Alors, comment transposons-nous une matrice ? Les éléments de la diagonale principale restent inchangés, puis nous permutons les éléments de part et d’autre de cette diagonale. Cela correspond essentiellement à la permutation des lignes et des colonnes. Alors, prenons les éléments de notre première ligne, et nous allons les mettre dans notre première colonne, comme indiqué. Ensuite, nous prenons les éléments dans notre deuxième ligne et nous les mettons dans notre deuxième colonne. Cela nous donne une deuxième colonne de notre transposée. Nous le faisons une fois de plus, en prenant les éléments de notre troisième ligne de notre première matrice et en les transposant dans notre troisième colonne. Et quand nous le faisons, nous avons l’inverse de la transposée de 𝐴.
La transposée de l’inverse, qui est aussi l’inverse de la transposée, est la matrice trois fois trois avec les éléments deux, 32, 32, cinq, 11, 12, un, 74, 18.
