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Vidéo question :: Trouver le produit vectoriel de vecteurs Mathématiques • Troisième année secondaire

𝐀 = (9 ; −5 ; −1), 𝐁 = (7, ;−𝑘 ; −5), 𝐂 = (10 ; −55 ; 𝑚 – 3) et 𝐀𝐁 ∥ 𝐂, calculez 𝑘 - 𝑚.

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Transcription de la vidéo

Etant donnés le vecteur 𝐀 est égal à neuf, moins cinq, moins un ; le vecteur 𝐁 est égal à sept, moins 𝑘, moins cinq ; le vecteur 𝐂 est égal à 10, moins 55, 𝑚 moins trois ; et le vecteur 𝐀𝐁 est parallèle au vecteur 𝐂, calculez 𝑘 moins 𝑚.

Dans ces trois vecteurs on nous donne 𝐀, 𝐁 et 𝐂, deux de ces vecteurs, 𝐁 et 𝐂, ont des composantes inconnues. La composante en 𝑦 du vecteur 𝐁 est moins 𝑘 et la composante en 𝑧 du vecteur 𝐂 est 𝑚 moins trois. Nous ne connaissons pas les valeurs de 𝑘 ou 𝑚, mais nous savons que le vecteur 𝐀𝐁 est parallèle au vecteur 𝐂. Ce vecteur 𝐀𝐁 est le quatrième vecteur que nous ne connaissons pas encore, mais que nous pouvons déterminer.

Graphiquement, si le vecteur 𝐀 ressemblait à ceci et, à partir du même point, le vecteur 𝐁 ressemblait à ceci, alors ce vecteur 𝐀𝐁 irait de la pointe du vecteur 𝐀 à la pointe du vecteur 𝐁. La façon de calculer les composantes du vecteur 𝐀𝐁 consiste à soustraire les composantes du vecteur 𝐀 de celles du vecteur 𝐁. Puisque nous travaillons avec des vecteurs, nous effectuons la soustraction composante par composante. Pour la composante en 𝑥, nous avons sept moins neuf ou moins deux ; pour la composante en 𝑦, moins 𝑘 moins moins cinq ou moins 𝑘 plus cinq ; et pour la composante en 𝑧, moins cinq moins moins un ou moins cinq plus un. Les composantes de ce vecteur 𝐀𝐁 sont alors moins deux, moins 𝑘 plus cinq et moins quatre.

En se rappelant que le vecteur 𝐀𝐁 est parallèle au vecteur 𝐂, nous pouvons nous rappeler que, en général, si nous avons deux vecteurs tridimensionnels - nous les appellerons 𝐮 et 𝐯 - et que ces vecteurs sont parallèles, nous pouvons dire ceci à propos de leurs composantes. Le rapport de leurs composantes en 𝑥 est égal au rapport de leurs composantes en 𝑦 qui est égal au rapport de leurs composantes en 𝑧. Le fait que 𝐀𝐁 soit parallèle au vecteur 𝐂 signifie que nous pouvons dire la même chose des composantes de ces vecteurs. C’est-à-dire que le rapport de la composante en 𝑥 de 𝐀𝐁 sur la composante en 𝑥 de 𝐂 est égal au rapport de la composante en 𝑦 de 𝐀𝐁 sur la composante en 𝑦 de 𝐂 et aussi de la composante en 𝑧 de 𝐀𝐁 sur la composante en 𝑧 de 𝐂.

Dans toute cette expression ici, nous avons essentiellement deux inconnues et deux équations indépendantes. Les inconnues sont 𝑘 et 𝑚. Et notre première équation indépendante est que le rapport de valeurs en 𝑥 est égal au rapport de valeurs en 𝑦 et la seconde est que le rapport de valeurs en 𝑥 est égal au rapport de valeurs en 𝑧. En multipliant les deux, nous pouvons résoudre ces deux équations pour trouver 𝑘 et 𝑚. Dans notre première équation, en multipliant les deux membres par moins 55 et 10, nous obtenons 110 est égal à moins 10𝑘 plus 50. Cela implique que 𝑘 est égal à moins six. Dans notre deuxième équation, multiplier les deux membres par 𝑚 moins trois et 10 nous donne que moins deux 𝑚 plus six est égal à moins 40. Cela signifie que moins deux 𝑚 est égal à moins 46 ou que 𝑚 est égal à plus 23.

Connaissant les valeurs de 𝑘 et 𝑚, nous pouvons passer à notre solution. Puisque 𝑘 est moins six et 𝑚 est plus 23, 𝑘 moins 𝑚 est moins 29. C’est la valeur de la constante 𝑘 moins la constante 𝑚.

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