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Vidéo: Décrire les relations et étendre les termes dans les suites arithmétiques

À l’aide d’exemples, décrivez les relations dans des suites arithmétiques. Ensuite, étendez les suites à 𝑛 positions, les formules de 𝑛 ième terme étant un simple multiple de 𝑛 (par exemple, 6𝑛, 51𝑛, etc.). Utilisez des tableaux pour voir clairement les relations dans les suites.

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Transcription de la vidéo

Décrire les relations et étendre les termes dans les suites arithmétiques. Voici un exemple de suite arithmétique. Une suite est une liste ordonnée de nombres. Une suite arithmétique est une suite trouvée en ajoutant le même nombre au terme précédent. Par exemple, vous ajoutez neuf à 28. Et cela équivaut à 37. Vous ajoutez neuf à 37. Et cela équivaut à 46. Chacun de ces nombres sont des termes dans la suite.

Quelqu’un pourrait vous demander de trouver le terme suivant dans cette suite arithmétique.

Quand ils disent, trouvez le prochain terme, nous savons qu’ils recherchent la valeur qui vient après 64 ici. Et parce qu’on nous donne également l’information qu’il s’agit d’une suite arithmétique, nous savons également que nous allons ajouter pour trouver la valeur suivante. Chaque étape de cette suite a ajouté neuf au terme précédent. Cela nous permet de savoir que peu importe 64 plus neuf, c’est notre prochain terme. Le terme suivant dans cette suite est 73.

Voici un exemple d’une suite arithmétique simple. Nous en ajoutons deux à chaque fois.

Lorsque nous avons affaire à des suites, chacun des termes a également une position. Vous pouvez voir les étiquettes ici. Le deux est en première position. Le quatre est en deuxième position. Six est en troisième position, puis quatrième et cinquième, et ainsi de suite. Les positions sont vraiment importantes. Examinons de plus près ce qui se passe ici avec ces positions. La position un a une valeur de deux. La position deux a une valeur de quatre. Pour passer de la position un à la position deux, nous devons ajouter deux. Et pour passer de la position deux à la position trois, nous devons ajouter deux. Il y a ici une relation entre la position d’un terme et la valeur du terme. Cette colonne nous montre que, pour résoudre la position un, nous multiplions un fois deux. Pour résoudre pour la position deux, la valeur, nous prenons deux. Et nous le multiplions par deux. Pour résoudre la position trois, vous multipliez trois par deux pour obtenir six.

Dans l’opération, le premier nombre que nous examinons est le numéro de position. Le deux est le nombre que nous ajoutons à chaque terme. Certains d’entre vous se demandent peut-être pourquoi je prendrais le temps de comprendre la multiplication alors que je pourrais simplement en ajouter deux à six ? Six plus deux font huit. C’est assez simple. Et c’est vrai. Si je voulais trouver le nombre suivant dans cette suite, je dirais probablement que 10 plus deux font douze. La sixième position est douze. Mais si la question disait quelque chose comme quelle est la 80e position dans cette suite, vous ne voulez pas en ajouter deux 80 fois. Nous allons maintenant ajouter le nombre 80, la position 80, à notre tableau. Nous suivrions la même opération. À la 80e position de cette suite se trouve le nombre 160. Trouver qu’en multipliant 80 fois deux est beaucoup plus rapide que d’essayer d’ajouter deux à chaque fois 80 fois.

Vous pourriez également rencontrer la question : quelle est une expression littérale pour trouver des termes dans cette suite ? Dans ce cas, nous ne savons pas quel poste nous recherchons. Nous cherchons à écrire une expression qui peut être utilisée pour toutes les positions. Lorsque nous traitons des positions et des suites, nous utilisons généralement la lettre 𝑛 pour représenter une position inconnue. Nous pourrions trouver la valeur d’un terme en position 𝑛 en multipliant la position par deux, 𝑛 fois deux. On pourrait dire 𝑛 fois deux pour notre expression, ou simplement deux 𝑛. Nous pouvons insérer n’importe quel numéro de position ici et trouver le terme qui serait dans cette position. Nous pourrions choisir la position 100, la position sept, la position 15. Cela n’a pas d’importance. Cette expression fonctionne pour résoudre cette suite. Voici un autre exemple.

Trouvez le terme suivant dans cette suite. 51, 102, 153. Quelle est la prochaine étape ?

La première question que nous devons nous poser est ce qui est ajouté à chaque terme. La dernière fois, c’était vraiment facile car c’était deux. Si vous ne reconnaissez pas immédiatement ce qui est ajouté, voici ce que vous pouvez faire. Vous pouvez prendre le terme en deuxième position et soustraire le terme en première position. 102 moins 51 est 51. Vous pouvez également soustraire 102 de 53 ou le numéro de position deux du numéro de position trois. Les deux égalent 51. 51 est ce qui est ajouté à chaque fois.

Pour trouver le prochain terme, nous devons prendre le troisième terme, 153, et ajouter 51. Le terme suivant dans cette suite est 204. Voici à quoi ressemblerait un tableau pour cette suite. L’opération ici serait de prendre la position et de la multiplier par 51 parce que 51 est ce que nous ajoutons ici. 51 𝑛 serait l’expression que nous pourrions utiliser pour prendre n’importe quelle position et trouver sa valeur.

Voici notre dernier exemple.

Trouvez le 70e terme dans la suite suivante. Six, 12, 18, 24.

Nous essayons de répondre à la question de savoir ce qui est ajouté à chaque terme. Et nous savons qu’ici chaque terme est six de plus que le précédent. Mais je ne cherche pas seulement à savoir ce que nous ajoutons à chaque terme. J’ai besoin de savoir quelle expression puis-je utiliser pour trouver le 70e terme. Je remarque que le schéma est que vous prenez la position. Et vous le multipliez par six. Donc, pour que je trouve le 70e terme, je dois le multiplier par six. Quand je fais cela, j’ai une solution de 420. Je sais aussi que je peux trouver n’importe quel terme dans cette suite en prenant la position 𝑛 et en la multipliant par six.

Cette expression est importante. C’est tout pour cette vidéo. Vous pouvez maintenant essayer certaines suites par vous-même.

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