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Vidéo question :: Identifier la formule correcte reliant la résistance et la résistivité Physique • Troisième année secondaire

Laquelle des formules suivantes associe correctement la résistivité, 𝜌, d’une substance à la résistance d’un objet de longueur 𝑙, composée de cette substance si l’objet a une aire de section transversale 𝐴 et une résistance 𝑅 ? [A] 𝜌 = 𝑅𝑙/𝐴 [B] 𝑅 = 𝜌𝑙/𝐴 [C] 𝑅 = 𝜌𝐴/𝑙 [D] 𝑅 = 𝜌𝐴𝑙

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Laquelle des formules suivantes associe correctement la résistivité 𝜌 d’une substance à la résistance d’un objet de longueur 𝑙 composé de cette substance si l’objet a une aire de section transversale 𝐴 et une résistance 𝑅 ? (A) 𝜌 est égal à 𝑅 fois 𝑙 divisé par 𝐴. (B) 𝑅 est égal à 𝜌 fois 𝑙 divisé par 𝐴. (C) 𝑅 est égal à 𝜌 fois 𝐴 divisé par 𝑙. (D) 𝑅 est égal à 𝜌 fois 𝐴 fois 𝑙.

Chacune de ces quatre équations prétend d’être une façon mathématiquement correcte de relier la résistivité d’une substance 𝜌 à la résistance d’un objet fabriqué avec cette substance 𝑅. Même si nous ne nous souvenons pas de la relation qui relie ces grandeurs, nous serons toujours en mesure de retrouver notre réponse en reconnaissant que pour que l’une de ces équations soit vraie, les unités sur le côté gauche doivent être égales à celles sur le côté droit.

En ce qui concerne les unités, rappelons que dans le système SI, les unités de résistance électrique sont des ohms. Ainsi, par exemple, si nous avions un fil de cette longueur et que nous faisions passer du courant à travers ce fil, il y aurait une certaine résistance électrique pour ce fil et nous la mesurons en ohms. Mais alors imaginez ceci. Disons que nous avons un fil du même matériau et de la même section que le précédent, mais juste que maintenant sa longueur est plus courte. Si nous passons à nouveau du courant à travers cette plus petite section de fil, nous obtiendrons une résistance, mais elle sera plus petite que la résistance sur la longueur de ce fil. Cela nous indique que la résistance est une grandeur qui ne dépend pas seulement du matériau d’un objet, mais aussi des dimensions de cet objet.

Contrairement à cela, il y a la résistivité 𝜌 d’un matériau. Pour deux objets constitués du même matériau, comme ces deux fils, la résistivité d’un objet est la même que celle de l’autre. Contrairement à la résistance, la résistivité ne dépend pas des dimensions d’un objet, mais uniquement du matériau qui le compose. Nous pouvons voir à la fois la similitude de la résistivité avec la résistance et la différence entre ces deux en regardant les unités de la résistivité. La résistivité et la résistance ont toutes des unités en ohms. Mais dans le cas de la résistivité, c’est cet extra, nous pourrions l’appeler dimension de longueur, qui fait que la résistivité de ce fil est la même que celle-ci même si les deux fils ont des longueurs différentes.

Connaître les unités de ces deux grandeurs nous aideront à choisir laquelle de nos options de réponse est correcte. Notez que si nous restons dans le système SI, les unités de base de longueur seront des mètres, tandis que les unités de surface seront des mètres carrés. Sachant tout cela, étudions maintenant les unités de chaque côté de ces équations, en commençant par l’option (A). Pour que cette équation soit correcte, il faut que les unités de résistivité, ohms fois des mètres, soient égales aux unités de résistance, ohms, fois des unités de longueur, mètres, divisées par l’unité de surface, mètres carrés. Nous voyons cependant que sur le côté droit, un facteur de mètres s’annule au numérateur et au dénominateur, nous laissant avec les unités globales en ohms divisés par des mètres. L’équation n’est pas équilibrée dans ce cas. Nous ne choisirons donc pas l’option (A).

Passons à l’option (B), ici, à gauche, nous avons la résistance, qui a des unités en ohms. Et cela est censé être égal aux unités de résistivité, ohms fois mètres, fois les unités de longueur, mètres, le tout divisé par mètres carrés, unités de surface. Dans ce cas, nous voyons que les deux facteurs de mètres de notre numérateur s’annulent avec les deux facteurs de mètres de notre dénominateur. Les unités simplifiées sur le côté droit sont alors des ohms. Cela nous indique que pour l’option (B), les unités de chaque côté de l’équation sont équilibrées.

Pour confirmer que c’est notre bonne réponse, passons aux options (C) et (D). Pour le choix (C), sur le côté gauche, nous avons des unités en ohms, celles de la résistance, et celles-ci sont égales à des ohms fois des mètres multipliés par des mètres carrés le tout divisé par mètres. Sur le côté droit de cette expression, un facteur de mètres s’annule. Cela nous laisse avec des ohms fois des mètres carrés, ce qui n’est pas égal à des ohms. Les unités du choix (C) ne sont pas équilibrées.

Enfin, nous examinerons l’option (D). Ici, on dit que la résistance avec des unités en ohms est égale à la résistivité avec des unités en ohms fois des mètres multipliés par la surface avec des unités en mètres carrés multipliés par la longueur avec des unités en mètres. Dans l’ensemble, ce côté droit a des unités en ohms fois des mètres puissance quatre. Ceci est certainement différent des unités en ohms. Nous éliminons également la réponse (D). Cela confirme notre décision de choisir la réponse (B). C’est la seule formule qui relie correctement la résistivité d’une substance à la résistance d’un objet de longueur 𝑙 constituée de cette substance si l’objet a une aire de section transversale 𝐴 et une résistance 𝑅.

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