Transcription de la vidéo
Déterminez les intervalles de croissance et de décroissance de la fonction définie par morceaux par 𝑓 de 𝑥 égal moins neuf 𝑥 si 𝑥 est strictement inférieur à zéro et 𝑓 de 𝑥 égal neuf 𝑥 si 𝑥 est supérieur ou égal à zéro.
Dans cette question, on nous donne une fonction définie par morceaux d’expression 𝑓 de 𝑥. Et on nous demande de déterminer les intervalles sur lesquels cette fonction est croissante et les intervalles sur lesquels elle est décroissante. Rappelons qu’une fonction est croissante sur un intervalle lorsque plus l’antécédent choisi dans l’intervalle est grand plus l’image augmente. Et une fonction est décroissante sur un intervalle lorsque plus l’antécédent choisi dans l’intervalle est grand plus l’image diminue. Ceci fournit deux manières permettant de déterminer les intervalles sur lesquels la fonction croît et les intervalles sur lesquels la fonction décroît.
La première manière de le faire est de tracer la courbe d’équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥. Pour ce faire, il suffit de tracer chaque sous-fonction séparément. Commençons par tracer la courbe d’équation 𝑦 égal moins neuf 𝑥 pour 𝑥 strictement inférieur à zéro. Premièrement, il s’agit d’une équation de droite sous forme réduite. On voit que son ordonnée à l’origine vaut zéro et son coefficient directeur est égal à moins neuf. Mais rappelez-vous, on ne trace ce morceau de courbe que pour les valeurs de 𝑥 strictement inférieures à zéro. On met donc un petit cercle vide à cette intersection avec l’axe des ordonnées 𝑦. Cela donne le schéma suivant.
Il nous faut maintenant tracer la courbe de la deuxième sous-fonction. C’est-à-dire la courbe d’équation 𝑦 égal neuf 𝑥 pour les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à zéro. Encore une fois, il s’agit d’une équation de droite sous forme réduite. Son ordonnée à l’origine est nulle son coefficient directeur est égal à neuf. Comme 𝑥 égal zéro est inclus dans le domaine de définition de cette sous-fonction, il faut inclure l’ordonnée de l’intersection avec l’axe des ordonnées 𝑦. Cela donne le schéma suivant.
On peut l’utiliser pour déterminer les intervalles pour lesquels la fonction est croissante et les intervalles pour lesquels elle est décroissante. Commençons par les intervalles pour lesquels la fonction est croissante. Les intervalles pour lesquels la fonction est croissante sont les intervalles pour lesquels plus l’antécédent choisi est grand, plus l’image par la fonction augmente. Sur le graphique, il s’agit de tous les intervalles où la fonction est représentée par une pente ascendante. Comme c’est une fonction par morceaux composée de deux demi-droites, on voit que c’est uniquement le cas sur l’intervalle où 𝑥 est positif. Donc, cette fonction ne croît que lorsque 𝑥 est positif. Écrivons cela sous forme d’intervalle. C’est l’intervalle ouvert zéro, l’∞.
On peut faire exactement la même chose pour déterminer l’intervalle sur lequel la fonction est décroissante. Encore une fois, une fonction est décroissante sur un intervalle lorsque plus l’antécédent choisi est grand, plus l’image par la fonction diminue. Sur le graphique, c’est là où la fonction est représentée par une pente descendante. On voit sur le graphique que c’est le cas lorsque 𝑥 est négatif. Donc, sur ce graphique, on voit que l’intervalle où cette fonction décroît est l’intervalle ouvert moins l’∞, zéro. C’est suffisant pour répondre à la question. On peut dire que la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 est croissante sur l’intervalle ouvert zéro, l’∞ et décroissante sur l’intervalle ouvert moins l’∞, zéro.
On pourrait s’arrêter là. Mais il existe une deuxième méthode pour répondre à cette question. On remarque que 𝑓 de 𝑥 est l’expression d’une fonction linéaire définie par morceaux. En particulier, les fonctions linéaires étant dérivables, cela veut dire que 𝑓 de 𝑥 est l’expression d’une fonction dérivable par morceaux. Or, on peut déterminer le sens de variation d’une fonction dérivable en utilisant le signe de sa dérivée. En particulier, si 𝑓 prime de 𝑥 est positive sur un intervalle 𝐼, alors 𝑓 est croissante sur cet intervalle 𝐼. Et si 𝑓 prime de 𝑥 est négative sur un intervalle 𝐼, alors 𝑓 est décroissante sur 𝐼.
On remarque que c’est visible sur la courbe que l’on a tracé. Lorsque la demi-droite qui représente la fonction a un coefficient directeur négatif, ses images diminuent. Et lorsque la demi-droite qui représente la fonction a un coefficient directeur positif, elles augmentent. On cherche donc à exprimer 𝑓 prime de 𝑥. Pour ce faire, on peut dériver chacune des sous-fonctions séparément, car c’est une fonction dérivable par morceaux.
Cependant, il y a une petite chose que nous devons prendre en compte. Il faut examiner ce qui se passe aux bornes de nos sous-domaines de définition. En particulier, dans ce cas, on sait que la fonction n’est pas dérivable lorsque 𝑥 vaut zéro. Et ce, parce que lorsque 𝑥 tend vers zéro par valeurs négatives, l’image par sa dérivée tend vers moins neuf. Tandis que lorsque 𝑥 tend vers zéro par valeur positives, l’image par sa dérivée tend vers plus neuf. Comme la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par valeurs négatives est différente de la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro par valeurs positives, cette fonction n’admet pas de limite lorsque 𝑥 tend vers zéro. Donc, on n’inclut pas la borne de cet intervalle.
𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins neuf pour 𝑥 inférieur à zéro. Et 𝑓 prime de 𝑥 est égale à neuf pour 𝑥 supérieur à zéro. On peut donc directement répondre à la question en utilisant cette fonction. 𝑓 prime de 𝑥 est positive lorsque 𝑥 est supérieur à zéro, donc 𝑓 est croissante lorsque 𝑥 est supérieur à zéro. Et 𝑓 prime de 𝑥 est négative lorsque 𝑥 est inférieur à zéro, donc 𝑓 est décroissante lorsque 𝑥 est inférieur à zéro. Et cela nous donne une deuxième méthode pour répondre à cette question.
On a donc montré que 𝑓 croît sur l’intervalle ouvert zéro, l’∞ et décroît sur l’intervalle ouvert moins l’∞, zéro.