Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer l’ensemble des zéros d’une fonction polynôme du second degré, cubique ou de degré supérieur. Nous commençons par rappeler ce qu’on entend par les zéros d’une fonction. Déterminer les zéros d’une fonction est équivalent à déterminer les racines. C’est-à-dire les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le polynôme est égal à zéro.
Si on pense à cela graphiquement, on sait que lorsque la fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro, les points d’intérêt sont ceux où la courbe coupe l’axe des 𝑥. Et donc les racines ou les zéros de la fonction sont les abscisses à l’origine de la courbe. Mais bien sûr, on ne veut pas toujours tracer les courbes représentatives de nos fonctions. Nous allons donc nous demander quelles autres techniques peut-on utiliser pour résoudre un polynôme 𝑓 de 𝑥 égale zéro. Bien sûr, pour les fonctions factorisables, nous savons qu’on peut factoriser l’expression et trouver les racines de cette façon. Voyons donc à quoi cela pourrait ressembler.
Déterminez, en factorisant, les zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 35.
Rappelons que les zéros d’une fonction sont les racines de celle-ci. Et on détermine les racines d’une fonction en résolvant l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro. On détermine donc les zéros de notre fonction en calculant les valeurs de 𝑥 lorsque 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 35 est égal à zéro. Maintenant, la question nous dit quelle méthode utiliser. Nous allons factoriser l’expression 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 35.
Tout d’abord, nous constatons que cette expression est du second degré, et on la factorise donc en deux parenthèses, comme indiqué. Celles-ci seront constituées de deux binômes. Et le premier terme de chaque binôme doit être 𝑥 puisque 𝑥 multiplié par 𝑥 est égal à 𝑥 au carré. Et puis pour trouver la partie numérique, on cherche deux nombres dont le produit, ce qui signifie qu’ils se multiplient pour obtenir moins 35 et que la somme est deux. Nous allons commencer par trouver deux nombres dont le produit est 35. Et nous allons examiner leurs signes dans un instant.
Bien sûr, on a un fois 35. Et, on a aussi cinq fois sept. Puisque nous voulons que le produit soit moins 35 et nous savons que moins fois plus donne moins, nous savons qu’un nombre de notre paire de facteurs devra être négatif. Alors, comment peut-on garantir que la somme de ces nombres soit deux ? Eh bien, si on utilise moins cinq et plus sept, on sait que moins cinq fois plus sept est égal à moins 35, et moins cinq plus sept est égal à deux. Et donc nous allons mettre moins cinq et sept dans nos parenthèses. Et donc l’expression 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 35 est égale à 𝑥 moins cinq fois 𝑥 plus sept.
Alors, comment est-ce utile pour résoudre l’équation 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 35 est égal à zéro ? Eh bien, nous savons que 𝑥 moins cinq et 𝑥 plus sept sont un produit. Et lorsqu’on effectue ce produit, le résultat est zéro. Alors que pouvons-nous dire de l’un ou l’autre de ces binômes ? Nous savons que pour que le produit de deux nombres soit égal à zéro, l’un ou l’autre de ces nombres doit être égal à zéro. Donc dans ce cas, cela doit signifier que soit 𝑥 moins cinq est égal à zéro ou 𝑥 plus sept est égal à zéro. Ensuite on résout comme on le ferait pour toute équation du premier degré. Dans ce cas, on ajoute cinq aux deux membres. Et on obtient 𝑥 égale cinq. Et pour la seconde équation, on soustrait sept. Donc 𝑥 est égal à moins sept.
Rappelons que, les zéros d’une fonction sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles le polynôme est égal à zéro. Donc les zéros de notre fonction sont simplement les nombres moins sept et cinq. Maintenant, bien sûr, puisqu’on sait que les zéros sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est égale à zéro. On peut donc vérifier nos solutions en les substituant dans l’expression 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 35. Dans les deux cas, on obtient zéro comme requis. Nous pouvons donc être sûrs que nos calculs sont corrects.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment trouver l’ensemble des zéros d’une fonction cubique.
Déterminez l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 fois 𝑥 au carré moins 81 moins deux fois 𝑥 au carré moins 81.
Commençons par rappeler que les zéros d’une fonction polynôme sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles celle-ci est égale à zéro. Et donc nous devons fixer l’expression 𝑥 fois 𝑥 au carré moins 81 moins deux fois 𝑥 au carré moins 81 à zéro et résoudre pour trouver 𝑥.
Maintenant, si on développait les parenthèses, on remarquerait qu’on a une puissance cube. Il s’agit d’un polynôme dont l’ordre est trois. Et donc on pourrait penser qu’on doit distribuer les parenthèses et partir de là. Cependant, si on examine très attentivement, on constate que les deux termes ont un facteur commun. Ils ont le facteur de 𝑥 au carré moins 81 en commun. Et donc pour résoudre cette équation, nous allons factoriser en enlevant ce facteur commun de 𝑥 au carré moins 81.
Si on divise le premier terme par 𝑥 au carré moins 81, on obtient simplement 𝑥. Et puis si on divise le second terme par 𝑥 au carré moins 81, on obtient moins deux. Et on peut donc voir que l’expression 𝑥 fois 𝑥 au carré moins 81 moins deux fois 𝑥 au carré moins 81 est égale à 𝑥 au carré moins 81 fois 𝑥 moins deux. Et donc si on peut entièrement factoriser une expression lorsqu’on cherche des zéros, ceci serait vraiment utile car on doit maintenant se demander, pour quelles valeurs de 𝑥 cette expression est-elle égale à zéro ?
Et bien sûr, puisqu’on multiplie 𝑥 au carré moins 81 par 𝑥 moins deux, et que cela est égal à zéro, on peut dire que soit 𝑥 au carré moins 81 est égal à zéro, ou 𝑥 moins deux est égal à zéro. Nous allons maintenant résoudre chacune de ces équations à tour de rôle. Nous allons résoudre la première équation en ajoutant 81 aux deux membres. Et cela nous donne 𝑥 au carré est égal à 81. Nous allons maintenant prendre la racine carrée des deux membres. Mais nous devons être un peu prudents. Nous devons prendre la racine carrée positive et négative de 81.
Et donc les solutions de l’équation 𝑥 au carré moins 81 égale zéro sont 𝑥 égale neuf et 𝑥 égale moins neuf. L’autre équation est un peu plus simple. Nous allons simplement ajouter deux aux deux membres. Et on obtient une autre solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro et, par conséquent, un zéro de notre fonction comme étant deux. Nous avons donc trouvé les solutions de l’équation 𝑓 de 𝑥 égale zéro, mais la question nous demande de trouver l’ensemble des zéros de la fonction. Et donc nous utilisons ces accolades pour représenter l’ensemble qui contient les éléments moins neuf, deux et neuf.
Et ceci est la réponse à notre question. L’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 fois 𝑥 au carré moins 81 moins deux fois 𝑥 au carré moins 81 contient les éléments moins neuf, deux et neuf. Notez, bien sûr, qu’on pourrait utiliser notre fonction d’origine pour vérifier si ces réponses sont justes. Pour ce faire, on doit introduire chacune des valeurs à tour de rôle et vérifier si le résultat est de zéro.
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment déterminer les racines d’une équation cubique en factorisant et en utilisant le théorème de factorisation des polynômes.
Si 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 13𝑥 moins 15 et 𝑓 de moins un est égal à zéro, déterminez les autres racines de 𝑓 de 𝑥.
Les racines de 𝑓 de 𝑥 ou les zéros de la fonction sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est égale à zéro. Et donc nous devons déterminer les valeurs de 𝑥 telles que l’équation 𝑥 au cube plus trois 𝑥 au carré moins 13𝑥 moins 15 est égale à zéro. Et une technique que nous pouvons utiliser est de factoriser entièrement cette expression cubique. Mais faire cela n’est facile sans une information supplémentaire. Et cette information nous est donnée dans la question. On nous dit que 𝑓 de moins un est égal zéro. Cette information nous permet d’utiliser le théorème de factorisation des polynômes pour faciliter la factorisation de notre expression.
Le théorème de factorisation des polynômes stipule que si 𝑓 de 𝑎 est égal à zéro, alors 𝑥 moins 𝑎 est un facteur de 𝑓 de 𝑥. En comparant cette forme générale avec notre question, nous voyons qu’on doit fixer la valeur de 𝑎 à moins un. Et on peut donc dire que 𝑥 moins moins un, qui est bien sûr 𝑥 plus un, est un facteur de 𝑓 de 𝑥. Alors comment est-ce utile ? Eh bien, ceci signifie que nous pouvons diviser notre fonction cubique 𝑓 de 𝑥 par 𝑥 plus un. Exactement, sans qu’il n’y ait de reste. Et donc lorsqu’on effectue cette division, le résultat est une expression du second degré, qu’on peut ensuite factoriser.
Il existe un certain nombre de techniques que nous pouvons utiliser. Je vais utiliser la division polynomiale. Je commence par me demander, quel est le résultat de 𝑥 cube divisé par 𝑥 ? 𝑥 au cube divisé par 𝑥 est égal à 𝑥 au carré. Maintenant, je multiplie 𝑥 au carré par chaque terme dans mon diviseur. 𝑥 au carré fois 𝑥 est égal à 𝑥 au cube. Et 𝑥 au carré fois un est égal à 𝑥 au carré. Ensuite, on soustrait les deux termes que nous venons d’obtenir des deux termes au-dessus. 𝑥 au cube moins 𝑥 au cube égale zéro. Et trois 𝑥 au carré moins 𝑥 au carré égale deux 𝑥 au carré.
On abaisse le terme suivant. Et puis on se demande, deux 𝑥 au carré divisé par 𝑥 font combien ? Deux 𝑥 au carré divisé par 𝑥 égale deux 𝑥. On met donc deux 𝑥 au-dessus de trois 𝑥 au carré. Ensuite, on multiplie deux 𝑥 au carré par chaque terme du diviseur. Deux 𝑥 fois 𝑥 égale deux 𝑥 au carré. Et deux 𝑥 fois un égale deux 𝑥. Encore une fois, on soustrait. Maintenant deux 𝑥 au carré moins deux 𝑥 au carré égale zéro. On évalue donc moins 13𝑥 moins deux 𝑥, ce qui est égal à moins 15𝑥.
On abaisse le dernier terme. On divise maintenant moins 15𝑥 par 𝑥, qui est égal à moins 15. Et on multiplie ensuite moins 15 par les deux termes du diviseur. Ce qui donne moins 15𝑥 moins 15. On soustrait une fois de plus, mais moins 15𝑥 moins 15 moins moins 15𝑥 moins 15 est égal à zéro. Et cela nous indique, comme nous l’avions prévu, qu’il n’y a pas de reste lorsqu’on divise notre fonction cubique par 𝑥 plus un. Et ceci signifie également que nous pouvons maintenant réécrire la fonction cubique comme 𝑥 plus un fois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 15.
Et nous pouvons à présent résoudre cette équation en factorisant 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 15. Nous savons qu’il y aura un 𝑥 dans chacun de nos binômes. Et puis nous voulons deux nombres dont le produit est moins 15 et la somme est deux. Ces nombres sont cinq et moins trois. Donc 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 15 est égal à 𝑥 plus cinq fois 𝑥 moins trois.
Notre dernière tâche consiste à résoudre cette équation. Maintenant, pour que le produit de trois nombres soit égal à zéro, chacun de ces nombres doit être égal à zéro. Donc soit 𝑥 plus un est égal à zéro, 𝑥 plus cinq est égal à zéro, ou 𝑥 moins trois est égal à zéro. Si on soustrait un des deux membres de la première équation, on obtient 𝑥 est égal à moins un. Lorsqu’on résout la deuxième équation, on obtient 𝑥 est égal à moins cinq. Et lorsqu’on résout la dernière équation, on obtient 𝑥 égale trois. Maintenant nous savions déjà que 𝑥 égale moins un était une racine de l’équation. Et donc les autres racines de 𝑓 de 𝑥 sont 𝑥 égale moins cinq et 𝑥 égale trois.
Dans le dernier exemple, nous allons voir comment trouver l’ensemble des zéros d’une fonction du quatrième degré ou d’une fonction polynôme de degré quatre.
Déterminez l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 puissance quatre moins 17𝑥 au carré plus 16.
Rappelons que, les zéros d’une fonction polynôme sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles cette fonction est égale à zéro. Et donc pour trouver les zéros de notre fonction, nous devons résoudre l’équation 𝑥 puissance quatre moins 17𝑥 au carré plus 16 est égal à zéro. Et factoriser l’expression est une des techniques qu’on peut utiliser pour déterminer l’ensemble des zéros.
Alors comment peut-on factoriser 𝑥 puissance quatre moins 17𝑥 au carré plus 16 ? Eh bien, c’est un peu difficile à repérer, mais ceci ressemble un peu à une fonction du second degré. Nous allons effectuer une substitution. Et nous allons définir 𝑦 comme égal à 𝑥 au carré. Et si on considère 𝑥 puissance quatre comme étant équivalent à 𝑥 au carré au carré, on peut écrire 𝑥 puissance quatre comme 𝑦 au carré. De même, on peut écrire moins 17𝑥 au carré comme moins 17𝑦. Donc notre équation devient 𝑦 au carré moins 17𝑦 plus 16 est égal à zéro.
Nous avons maintenant une équation du second degré que nous pouvons résoudre en factorisant. Nous aurons deux binômes pour premier terme 𝑦. Nous devons ensuite trouver deux nombres dont le produit est ou qu’on multiplie pour avoir 16, et la somme est ou qu’on additionne pour avoir moins 17. Ces nombres sont moins un et moins 16. Rappelons que, moins fois moins donne plus. Donc notre équation est 𝑦 moins un fois 𝑦 moins 16 est égal à zéro. Et pour que le produit de ces binômes soit égal à zéro, on peut dire que soit 𝑦 moins un est égal à zéro ou 𝑦 moins 16 est égal à zéro. Et si nous résolvons normalement, nous voyons que 𝑦 doit être égal à un ou 16.
Mais le but de la question est de déterminer les zéros de notre fonction. Et nous avons dit qu’il s’agit des valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro. Nous allons donc maintenant remplacer 𝑦 par notre substitution initiale, 𝑥 au carré. Et donc 𝑥 au carré est égal à un ou 𝑥 au carré est égal à 16. Nous allons résoudre le problème en prenant la racine carrée des deux membres de chaque équation, sachant que nous devons considérer la racine carrée positive et négative de un et de 16. Et donc on obtient 𝑥 est égal à plus ou moins un et 𝑥 est égal à plus ou moins quatre. Maintenant, nous voulons écrire ceci en utilisant la notation des ensembles. Et pour ce faire, on utilise des accolades. L’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble qui contient les éléments moins quatre, moins un, un et quatre.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette leçon. Tout d’abord, nous avons vu que les zéros d’une fonction sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction est égale à zéro. On appelle également ces valeurs les racines d’une équation. Et nous avons également vu que si une fonction est factorisable, on la factorise pour facilement résoudre 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro.
