Vidéo de la leçon : La force comme taux de variation de la quantité de mouvement Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment relier le taux de variation de la quantité de mouvement d’un objet à la force agissant dessus, en utilisant la formule Δ𝑝 = 𝐹Δ𝑡.

15:38

Transcription de vidéo

La deuxième loi de Newton sur le mouvement nous dit que la force exercée sur un objet est égale à la masse de cet objet multipliée par l’accélération subie par cet objet. En d’autres termes, 𝐹 est égal à 𝑚𝑎. C’est probablement la formulation la plus utile de la deuxième loi de Newton sur le mouvement. Mais il existe en fait une autre façon d’énoncer cette fameuse loi. Et c’est ce que nous allons voir dans cette vidéo.

Donc, ce que dit la deuxième loi de Newton est que la force exercée sur un objet est égale au taux de variation de la quantité de mouvement de l’objet. En d’autres termes, la force exercée sur un objet peut être trouvée en évaluant la variation de la quantité de mouvement de cet objet divisée par la durée nécessaire pour que cette variation de quantité de mouvement se produise.

Disons donc que nous avons un objet ici. Cette boule est notre objet. Et il se déplace d’abord vers la droite avec une quantité de mouvement constante 𝑝 un. Ensuite, l’objet subit une force à partir de cette position ici. Ainsi, une force 𝐹 est exercée sur l’objet qui fait que la quantité de mouvement de l’objet change. Et quand il arrive à ce point, l’objet a maintenant une quantité de mouvement vers la droite de 𝑝 deux.

Si nous voulons calculer la force 𝐹, la force exercée sur l’objet pour changer sa quantité de mouvement de 𝑝 un à 𝑝 deux, alors cette force est égale à la variation de la quantité de mouvement de l’objet, qui est donnée en trouvant 𝑝 deux moins 𝑝 un, quantité de mouvement finale moins quantité de mouvement initiale. Et nous divisons cela par la durée nécessaire pour aller d’ici à là.

Ainsi, nous pouvons dire que la force 𝐹 qui a été exercée initialement sur l’objet au temps 𝑡 égale à zéro. Et puis à l’instant final, le moment où l’objet a une impulsion 𝑝 deux, appelons cela 𝑡 égal 𝑇 majuscule. Eh bien, dans ce cas, le laps de temps entre le moment où la force est initialement exercée et celle où elle cesse d’être exercée est 𝑇 majuscule. Donc, nous divisons par le 𝑇 majuscule. Et en fait, plus généralement, on pourrait simplement dire que la force cesse d’être exercée à l’instant 𝑡 minuscule.

Et donc ce que nous avons fait c’est de trouver la force exercée sur l’objet qui provoque une variation de la quantité de mouvement, Δ𝑝, où Δ𝑝 est 𝑝 deux moins 𝑝 un. Et nous divisons cela par la durée nécessaire pour que cette variation de la quantité de mouvement se produise.

D’une autre manière, on pourrait aussi dire que la force est initialement exercée sur l’objet à un instant arbitraire, 𝑡 un. Et qu’elle cesse d’être exercée à un autre instant, 𝑡 deux. Eh bien, dans ce cas, la durée nécessaire entre 𝑡 un et 𝑡 deux est donnée par 𝑡 deux moins 𝑡 un. Et donc au dénominateur, l’intervalle de temps est 𝑡 deux moins 𝑡 un. Et une autre façon d’affirmer cela est Δ𝑡, tout comme 𝑝 deux moins 𝑝 un est Δ𝑝.

Donc, l’idée c’est que nous pourrions voir cette équation écrite soit comme Δ𝑝 divisé par Δ𝑡 ou même juste Δ𝑝 divisé par 𝑡 lui-même. Dans les deux cas, cela revient au même, la durée nécessaire pour que cette variation de la quantité de mouvement de moment se produise. Et c’est la chose la plus important dont nous devons nous rappeler.

D’accord, mais attendez une minute! Sommes-nous en train de dire que ceci est la deuxième loi de Newton sur le mouvement? Ne nous a-t-on pas toujours dit que la deuxième loi de Newton sur le mouvement est 𝐹 est égal à 𝑚𝑎, la force est égale à la masse de l’objet multipliée par l’accélération?

Eh bien, oui, alors regardons d’où vient ce 𝐹 égal à 𝑚𝑎. Pour ce faire, nous devons examiner de plus près Δ𝑝. Nous venons de voir il y a quelques instants que la force exercée sur notre objet est donnée par 𝑝 deux moins 𝑝 un - c’est la même chose que Δ𝑝 - divisée par 𝑡 deux moins 𝑡 un - c’est Δ𝑡.

Maintenant, 𝑝 deux et 𝑝 un réfèrent respectivement à la quantité de mouvement finale et initiale de l’objet. Et à ce stade, nous pouvons rappeler que la quantité de mouvement d’un objet est donnée en multipliant la masse de cet objet par le vecteur vitesse avec lequel il se déplace. Ainsi, la quantité de mouvement finale de l’objet, 𝑝 deux, peut s’écrire comme 𝑚 deux 𝑣 deux. C’est la masse de l’objet à la position finale multipliée par le vecteur vitesse à la position finale. Et de même, la quantité de mouvement initiale de l’objet peut être écrite comme étant 𝑚 un 𝑣 un, la masse initiale de l’objet multipliée par le vecteur vitesse initial.

Ainsi, si nous supposons que l’objet se déplace de telle sorte que la masse de l’objet ne change pas sur toute cet intervalle de temps, cela revient à dire que 𝑚 un est égal à 𝑚 deux. Et pour plus de simplicité, nous pouvons simplement appeler cela 𝑚, la masse de l’objet. Dans ce cas, nous pouvons nous débarrasser des indices à côté des deux 𝑚. Et puis nous pouvons voir que nous avons un facteur commun de 𝑚 au numérateur.

Nous pouvons donc factoriser cela. Lorsque nous faisons cela, il nous reste la masse de l’objet multipliée par 𝑣 deux moins 𝑣 un. Mais alors les termes entre parenthèses, 𝑣 deux moins 𝑣 un, peuvent être écrits comme Δ𝑣, la variation du vecteur vitesse de l’objet. Et cette variation du vecteur vitesse se produit sur la période pendant laquelle la force est exercée, en supposant que la masse de l’objet ne change pas. C’est cette hypothèse que nous avons formulée précédemment.

On peut donc dire que le numérateur est égal à la masse de l’objet multipliée par la variation du vecteur vitesse de l’objet Δ𝑣. Et comme nous l’avons déjà vu, 𝑡 deux moins 𝑡 un peut être écrit comme Δ𝑡. Ainsi, la deuxième loi de Newton sur le mouvement, en supposant que la masse de l’objet est constante, devient 𝑚 multiplié par Δ𝑣 divisé par Δ𝑡.

Mais alors, si nous regardons simplement le côté droit de l’équation, Δ𝑣 divisé par Δ𝑡, nous pouvons repérer une expression assez familière. Nous pouvons nous rappeler que l’accélération d’un objet est définie comme la variation du vecteur vitesse de cet objet divisé par la durée nécessaire pour que cette variation se produise. En d’autres termes, tout cela, Δ𝑣 divisé par Δ𝑡, est égal à l’accélération de l’objet. Et donc lorsque nous substituons cela, nous obtenons que la force sur l’objet est égale à la masse de l’objet multipliée par l’accélération de l’objet. C’est là que nous obtenons 𝐹 est égal à 𝑚𝑎. En d’autres termes, 𝐹 est égal à 𝑚𝑎 est une formulation de la deuxième loi de Newton sur le mouvement, en supposant que la masse de l’objet ne varie pas.

Cependant, cela est le plus couramment utilisé et le plus souvent vu parce que c’est la version la plus utile de la deuxième loi de Newton sur le mouvement. Nous étudions très rarement des objets dont la masse change. Et de plus, il est en fait plus facile de gérer les masses et les accélérations que de gérer les changements de quantité de mouvement. Donc, 𝐹 égale 𝑚𝑎 n’est en aucun cas une erreur. C’est juste un cas spécial de la deuxième loi de Newton sur le mouvement. Mais c’est probablement le cas particulier le plus couramment utilisé et celui dont on a le plus souvent besoin.

Cependant, dans de nombreux cas, nous ferions mieux de ne pas utiliser 𝐹 égal à 𝑚𝑎 et à la place d’utiliser 𝐹 égal à la variation de la quantité de mouvement divisée par l’intervalle de temps pour que cette modification se produise. La raison pour cela est que, par exemple, une question pourrait nous donner des informations sur la quantité de mouvement. Et en fait, regardons un exemple de question ou cela se produit.

Un objet avec une quantité de mouvement initiale de 20 kilogrammes mètres par seconde est soumis à une force moyenne de 2,5 newtons et arrive au repos. Pendant combien de temps la force agit-elle sur l’objet?

Très bien, donc dans cette question, nous commençons avec un objet qui a une quantité de mouvement initiale, disons arbitrairement vers la droite. Et on nous a dit que cette quantité de mouvement initiale est de 20 kilogrammes mètres par seconde. Nous pouvons donc écrire cela sur notre schéma. Ensuite, on nous a dit que l’objet subi une force moyenne de 2,5 newtons. Et cela provoque l’arrêt de l’objet. En d’autres termes, l’objet, qui se déplaçait initialement vers la droite, finira par s’arrêter. C’est ce qu’on appelle le repos. Mais alors, si l’objet est au repos, alors le vecteur vitesse de cet objet à ce point est nul. Et nous pouvons nous rappeler que la quantité de mouvement d’un objet est donnée en multipliant la masse de cet objet par le vecteur vitesse de l’objet.

Ainsi, même si nous ne connaissons pas la masse de notre objet, nous pouvons déterminer la quantité de mouvement finale de l’objet car on nous dit que l’objet est au repos. Donc, son vecteur vitesse est nul. Et par conséquent, sa quantité de mouvement va être nulle. On peut donc dire qu’à la position finale, la quantité de mouvement de l’objet est de zéro kilogramme mètre par seconde.

Ainsi, ce changement de quantité de mouvement est provoqué par une force de 2,5 newtons. Et la seule façon dont la quantité de mouvement de l’objet peut diminuer, c’est-à-dire que l’objet décélère parce que son vecteur vitesse diminue, c’est si la force agissait dans le sens opposé à son mouvement initial. On peut donc dire que la force est de 2,5 newtons et est vers la gauche. Maintenant, bien sûr, le sens vers la gauche est arbitraire. Mais l’important est qu’elle soit dans le sens opposé à la quantité de mouvement initiale.

On nous demande de déterminer pendant combien de temps la force agit sur l’objet, c’est-à-dire l’intervalle de temps entre ici et ici. Appelons cet intervalle de temps Δ𝑡. Et décidons également arbitrairement que l’objet se déplaçant vers la droite se déplace dans le sens positif. Et par conséquent, tout ce qui est vers la gauche est le sens négatif.

Ensuite, nous pouvons nous rappeler que la force exercée sur notre objet peut être trouvée en évaluant la variation de la quantité de mouvement de l’objet, Δ𝑝, divisée par la durée ou l’intervalle de temps sur lequel cette variation se produit. Maintenant, dans ce cas, nous connaissons déjà la force exercée sur l’objet. C’est 2,5 newtons vers la gauche. Ou en d’autres termes, c’est moins 2,5 newtons, parce que, rappelez-vous, tout ce qui est vers la gauche est négatif. Et en plus de cela, nous connaissons les quantités de mouvement initiale et finale de l’objet. Ainsi, nous pouvons déterminer la variation de quantité de mouvement provoquée par la force exercée sur l’objet.

Nous pouvons nous rappeler que la variation de la quantité de mouvement est donnée par la quantité de mouvement finale, que nous appellerons 𝑝 indice 𝑓, moins la quantité de mouvement initiale, que nous appellerons 𝑝 indice 𝑖. Mais alors nous voyons que la quantité de mouvement finale est de zéro kilogramme mètre par seconde, et la quantité de mouvement initiale est de 20 kilogramme mètre par seconde. Nous soustrayons donc 20 kilogrammes mètres par seconde à zéro kilogramme mètres par seconde.

En évaluant le côté droit de cette équation, nous constatons que cela devient moins 20 kilogrammes mètres par seconde. Et cela est en fait égal à Δ𝑝 ou à la variation de la quantité de mouvement de l’objet. Donc, nous connaissons maintenant la valeur de Δ𝑝 et nous connaissons la valeur de 𝐹. Tout ce qu’il nous reste à faire est de trouver la valeur de Δ𝑡. Pour ce faire, nous pouvons multiplier les deux côtés de l’équation par Δ𝑡 sur 𝐹. De cette façon, sur le côté gauche, les 𝐹 s’annulent. Et sur le côté droit, les Δ𝑡 s’annulent. Par conséquent, il ne nous reste que l’intervalle de temps, Δ𝑡, est égal à Δ𝑝, la variation de la quantité de mouvement, divisée par 𝐹, la force.

On peut donc dire que Δ𝑡 est égal à Δ𝑝, moins 20 kilogrammes mètres par seconde, divisé par 𝐹, moins 2,5 newtons. Et c’est pourquoi nous prenons en compte le sens de la force et des quantités de mouvement. Parce que pour que la quantité de mouvement de l’objet passe de 20 kilogrammes mètres par seconde dans ce sens pour atteindre zéro, cela équivaut à une variation de quantité de mouvement dans ce sens. Et c’est pourquoi nous avons obtenu une valeur négative pour la variation de la quantité de mouvement.

Mais, plus important encore, ce signe négatif s’annule avec celui-ci. Et donc, ce qui nous restera est une valeur positive pour Δ𝑡. En d’autres termes, l’intervalle de temps sur lequel se produit cette variation de quantité de mouvement va être positif, c’est ce à quoi on s’attendait.

En plus de cela, nous pouvons nous rendre compte que nous avons des unités de base au numérateur, les kilogrammes mètres par seconde étant l’unité de base de la quantité de mouvement, et au dénominateur, les newtons étant l’unité de base de la force. Par conséquent, notre réponse finale pour Δ𝑡 va être dans sa propre unité de base, qui est en secondes.

Il ne reste donc plus qu’à calculer 20 divisé par 2,5. Et nous constatons que cela nous donne une valeur de Δ𝑡 égale à huit secondes. Par conséquent, nous avons trouvé la réponse finale à notre question. La force de 2,5 newtons est exercée sur l’objet pendant un intervalle de temps de huit secondes.

D’accord, regardons un autre exemple maintenant.

Une grenouille d’une masse de 30 grammes sautant dans les airs depuis une position de repos accélère à une vitesse de 12 centimètres par seconde en 0,025 seconde. Quelle force en newton, les jambes de la grenouille ont-elles exercées lors du saut?

D’accord, voici notre grenouille dans sa position de repos initiale. Et on nous a dit qu’elle avait une masse de 30 grammes. Et en plus de cela, elle est sur le point de sauter. En fait, la voici quelques instants plus tard, alors qu’elle vient de sauter. On nous a dit que dans cette position, la grenouille se déplace à une vitesse de 12 centimètres par seconde. Donc, puisque la grenouille a sauté d’ici à là, disons que la grenouille se déplace dans ce sens à 12 centimètres par seconde. Le sens à cet instant est arbitraire. Mais il est important de l’indiquer juste pour avoir un schéma complet.

Maintenant, en plus de cela, on nous a dit que la durée prise pour que la grenouille passe du repos jusqu’à une vitesse de 12 centimètres par seconde est de 0,025 seconde. Voilà donc combien de temps il a fallu pour que la grenouille accélère de zéro mètre par seconde ici à 12 mètres par seconde ici.

On nous demande de trouver la force en newton que les jambes de la grenouille ont exercé lors de ce saut. Alors, c’est une phrase vraiment utile car non seulement elle nous dit que nous devons trouver la force exercée par les jambes de la grenouille, mais nous devons également la trouver en newtons. Et, comme nous le savons, les newtons sont l’unité de base de la force. Donc, quelles que soient les équations que nous devons utiliser pour trouver la force, si nous voulons la trouver dans son unité de base, nous devons également convertir tout le reste en unités de base.

Donc, la masse de la grenouille qui nous est donnée égale à 30 grammes doit être convertie en kilogrammes. Et de même, la vitesse de 12 centimètres par seconde doit être convertie en mètres par seconde. Cependant, les 0,025 secondes sont déjà dans leur propre unité de base, en secondes. Nous ne devons donc pas nous inquiéter de cela. Concentrons-nous donc sur la conversion de la masse en kilogrammes et de la vitesse en mètres par seconde. Nous pouvons commencer par rappeler qu’un gramme équivaut à un millième de kilogramme. Et par conséquent, 30 grammes équivaut à trente millièmes de kilogramme, soit 0,03 kilogramme. Remplaçons donc notre légende ici sur le schéma par 0,03 kilogrammes.

Ensuite, nous pouvons nous concentrer sur la conversion de la vitesse en mètres par seconde. Pour ce faire, on peut d’abord rappeler qu’un centimètre équivaut à un centième de mètre. Et par conséquent, si nous divisons les deux côtés de l’équation par l’unité des secondes, nous pouvons voir qu’un centimètre par seconde équivaut à un centième de mètre par seconde. Ensuite, nous multiplions les deux côtés de l’équation par 12 pour voir que 12 centimètres par seconde équivalent à douze centièmes de mètre par seconde, soit 0,12 mètre par seconde. Par conséquent, sur notre schéma, nous pouvons remplacer la vitesse finale de la grenouille par 0,12 mètre par seconde.

Maintenant, à ce stade, nous avons converti toutes les grandeurs qui nous ont été données en leurs unités de base. Voyons donc maintenant comment trouver la force en newton exercée par les jambes de la grenouille pour l’avoir d’ici à là et se déplaçant à 0,12 mètre par seconde. Nous pouvons rappeler que la force exercée sur un objet est donnée en trouvant la variation de la quantité de mouvement de cet objet, Δ𝑝, divisée par la quantité de temps nécessaire pour que cette variation se produise. Nous appellerons cet intervalle de temps Δ𝑡.

Maintenant, la variation de la quantité de mouvement d’un objet est donnée en trouvant la quantité de mouvement finale de l’objet, que nous appellerons 𝑝 indice 𝑓, moins la quantité de mouvement initiale, que nous appellerons 𝑝 indice 𝑖. Dans ce cas, l’objet est la grenouille. Donc, tout ce que nous devons faire pour trouver la variation de la quantité de mouvement de la grenouille est de trouver quantité de mouvement finale de la grenouille et de soustraire la quantité de mouvement initiale de la grenouille.

Pour ce faire, nous pouvons en outre rappeler que la quantité de mouvement d’un objet, 𝑝, est donnée en multipliant la masse de cet objet par le vecteur vitesse avec lequelle il se déplace à ce moment-là. Donc, la quantité de mouvement de la grenouille ici dans sa position initiale va être donnée en multipliant la masse de la grenouille, 0,03 kilogrammes, par son vecteur vitesse à ce moment-là.

Mais alors, à ce moment-là, la grenouille est en position de repos. C’est ce que l’on nous a dit dans la question. Par conséquent, son vecteur vitesse est nul. Et par conséquent, sa quantité de mouvement - c'est-à-dire sa quantité de mouvement initiale 𝑝 indice 𝑖 - est également égale à zéro.

Ensuite, nous pouvons passer à la vitesse de la grenouille quand elle a déjà sauté et qu’elle se déplace à 0,12 mètre par seconde. On peut dire que la quantité de mouvement finale de la grenouille, 𝑝 indice 𝑓, qui est la quantité de mouvement en ce point, est donnée en multipliant la masse de la grenouille, qui est toujours de 0,03 kilogramme, par son vecteur vitesse, qui est de 0,12 mètres par seconde. Et bien sûr, le vecteur vitesse est dans ce sens. Mais ce n’est pas vraiment pertinent pour nous à ce stade, car tout ce que nous essayons de trouver, c’est l’amplitude ou l’intensité de cette quantité de mouvement.

Donc, en calculant le côté droit de cette équation, nous constatons que c’est 0,0036 kilogrammes mètres par seconde, et nous pouvons revenir à la détermination de la variation de la quantité de mouvement de la grenouille, Δ𝑝. Nous pouvons voir que cela est égal à la quantité de mouvement finale, 0,0036 kilogrammes mètres par seconde, moins la quantité de mouvement initiale, qui est égale à zéro kilogramme mètres par seconde, ce qui se simplifie ensuite à 0,0036 kilogrammes mètres par seconde. C’est l’augmentation de la quantité de mouvement de la grenouille lors de son saut.

Et on nous a également dit que cette augmentation de la quantité de mouvement se produit sur une durée de 0,025 seconde. Par conséquent, la question nous donne déjà la valeur de Δ𝑡. Alors maintenant, nous pouvons insérer la valeur de Δ𝑝 - qui est 0,0036 kilogrammes mètres par seconde - et Δ𝑡 - qui est de 0,025 secondes - pour nous donner une valeur pour la force exercée par les cuisses de la grenouille pour aller d’ici à là. Et cette valeur pour la force va être en newton, en passant. C’est parce que nous avons précédemment tout converti en unités de base, ce qui signifie que notre réponse pour la force sera dans sa propre unité de base, qui est le newton.

Ainsi, lorsque nous calculons le côté droit, nous constatons qu’il est égal à 0,144 newtons. Et par conséquent, nous avons notre réponse finale à la question. Les jambes de la grenouille exercent une force de 0,144 newtons pour sauter.

Bon, maintenant que nous avons examiné quelques exemples, résumons ce dont nous avons parlé dans cette vidéo. Nous avons vu d’abord que la force sur un objet est donnée en trouvant le taux de variation de sa quantité de mouvement. Mathématiquement, cela peut être écrit comme 𝐹, la force, est égale à la variation de la quantité de mouvement, Δ𝑝, divisée par Δ𝑡, l’intervalle de temps sur lequel cette variation se produit. Et deuxièmement, nous avons vu que, en supposant que la masse de l’objet ne change pas, l’équation 𝐹 est égale à Δ𝑝 divisée par Δ𝑡 devient 𝐹 égal à 𝑚𝑎, la deuxième loi du mouvement de Newton.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.