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Vidéo question :: Trouver les points critiques d’une fonction, s’ils existent, à l’aide de la formule de la dérivée d’un produit Mathématiques • Troisième année secondaire

Déterminez les points critiques de la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥²(𝑥 − 1)³.

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Transcription de la vidéo

Déterminez les points critiques de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré multiplié par 𝑥 moins un au cube.

Les points critiques d’une fonction sont les points où sa dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥, est égale à zéro ou est indéfinie. Maintenant, en regardant la fonction 𝑓 de 𝑥, on voit qu’elle est un simple produit de polynômes. Et donc, on sait que sa dérivée existe pour toutes les valeurs de 𝑥. Et donc, il n’y a pas à s’inquiéter des points où 𝑓 prime de 𝑥 est indéfinie. Il faut cependant réfléchir à comment trouver la dérivée de cette fonction, qui est le produit de 𝑥 au carré par 𝑥 moins un au cube. Il est possible de développer les parenthèses pour obtenir un polynôme en 𝑥. Mais ça pourrait prendre du temps et il existe le risque de faire une erreur de calcul algébrique.

À la place, on peut noter 𝑢 et 𝑣 les deux facteurs de la fonction 𝑓, puis utiliser la formule de la dérivée d’un produit. La formule de la dérivée du produit 𝑢𝑣 de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑢𝑣 prime plus 𝑣𝑢 prime. On multiplie chaque fonction par la dérivée de l’autre, et on additionne le tout. Soit donc 𝑢 égale 𝑥 au carré et 𝑣 égale 𝑥 moins un au cube. Ensuite, il s’agit de calculer chaque dérivée par rapport à 𝑥. 𝑢 prime ou d𝑢 sur d𝑥 est facile à trouver. On applique la formule de la dérivée d’une puissance, ce qui donne deux 𝑥. Mais qu’en est-il de d𝑣 sur d𝑥 ?

On a le polynôme 𝑥 moins un puissance trois. On peut utiliser la dérivée de la puissance d’une fonction, qui est une application de la dérivée de fonctions composées. Ainsi, la dérivée d’une fonction 𝑔 de 𝑥 puissance 𝑛 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑔 prime de 𝑥 multipliée par 𝑔 de 𝑥 puissance 𝑛 moins un. C’est similaire à la formule de la dérivée d’une puissance. Mais il y a un facteur supplémentaire 𝑔 prime de 𝑥, la dérivée de ce qui se trouve entre parenthèses. En appliquant la dérivée de la puissance d’une fonction, on a trois multiplié par la dérivée de 𝑥 moins un, c’est-à-dire un, multiplié par 𝑥 moins un à la puissance deux. Ce qui se simplifie à trois 𝑥 moins un au carré. Nous voilà maintenant prêts à utiliser la formule de la dérivée d’un produit.

𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑢𝑣 prime, c’est-à-dire 𝑥 au carré multiplié par trois 𝑥 moins un au carré, plus 𝑣𝑢 prime, c’est-à-dire 𝑥 moins un au cube multiplié par deux 𝑥. Maintenant, factorisons cette expression. Chaque terme a un facteur commun 𝑥. Et il y a aussi un facteur commun 𝑥 moins un au carré. Dans le premier terme, il reste le facteur trois et un autre facteur 𝑥. Et pour le deuxième terme, il reste un facteur deux et un autre facteur 𝑥 moins un. Ainsi, la forme factorisée de l’expression de 𝑓 prime de 𝑥 est 𝑥 multiplié par 𝑥 moins un au carré multiplié par trois 𝑥 plus deux fois 𝑥 moins un. En simplifiant les dernières parenthèses, on obtient 𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑥 multiplié par 𝑥 moins un au carré multiplié par cinq 𝑥 moins deux.

Nous avons dit que les points critiques se produisent lorsque la dérivée première est égale à zéro. Prenons donc notre expression de 𝑓 prime de 𝑥, fixons-la à zéro et résolvons l’équation obtenue. En fixant tour à tour chaque facteur à zéro, on obtient 𝑥 égale zéro, 𝑥 moins un au carré égale zéro, et cinq 𝑥 moins deux égale zéro. On résout les deux dernières équations, on trouve une double solution 𝑥 égale un, et 𝑥 égale deux cinquièmes. La réponse est donc que la fonction 𝑓 de 𝑥 a des points critiques en 𝑥 égale zéro, 𝑥 égale deux cinquièmes et 𝑥 égale un. Cette question ne demande pas de calculer la fonction en chaque point critique. Mais si c’était demandé, on pourrait revenir à la fonction 𝑓 et substituer à tour de rôle chaque valeur de 𝑥 pour trouver la valeur de la fonction en chaque point critique.

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