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Vidéo question :: Discuter l’existence de la limite d’une fonction définie par morceaux en un point Mathématiques • Deuxième année secondaire

Que peut-on dire de lim_ (𝑥 → −6) 𝑓 (𝑥) pour la fonction 𝑓 (𝑥) = -9𝑥 - 9, si 𝑥 < -6 et 𝑓 (𝑥) = 45, si 𝑥 > - 6 ?

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Transcription de la vidéo

Que peut-on dire de la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six de 𝑓 de 𝑥 pour la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins neuf 𝑥 moins neuf si 𝑥 est inférieure à moins six et 𝑓 de 𝑥 égale 45 si 𝑥 est supérieur à moins six ?

La question nous donne une fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥. Et la question veut que nous discutions de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins six. Au début, nous pourrions ne pas savoir quoi répondre. Puisque nous nous intéressons à la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six, nous pouvons voir que notre fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas réellement définie lorsque 𝑥 égale moins six. Cependant, nous ne devons pas nous inquiéter de cela. Lorsque nous nous intéressons à la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six, nous voulons savoir ce qui se passe lorsque 𝑥 se rapproche de moins six. Nous n’avons pas besoin de savoir ce qui se passe lorsque 𝑥 égale moins six.

Mais maintenant, nous pouvons voir un deuxième problème. Lorsque 𝑥 est inférieur à moins six, la fonction 𝑓 de 𝑥 est moins neuf 𝑥 moins neuf. Mais lorsque 𝑥 est supérieur à moins six, la fonction 𝑓 de 𝑥 est la constante 45. Alors comment calculer la limite de cette fonction lorsque 𝑥 tend vers moins six ? Au lieu de calculer la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins six, nous pouvons regarder la limite à gauche et à droite de 𝑓 de 𝑥. Nous disons que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 existe si les trois propriétés suivantes sont vérifiées. Premièrement, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à gauche de 𝑓 de 𝑥 doit exister. Deuxièmement, la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 à droite de 𝑓 de 𝑥 doit exister. Et troisièmement, ces deux limites doivent être égales.

Si toutes ces conditions sont remplies, alors nos limites à gauche et à droite sont égales à une valeur finie 𝐿. Et nous disons alors que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝐿. Puisque nous voulons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six de 𝑓 de 𝑥, nous fixerons 𝑎 égal à moins six. Nous devons donc maintenant vérifier si chacune de ces trois propriétés est vraie. Commençons par vérifier la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six à gauche de 𝑓 de 𝑥. Puisque nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six à gauche, toutes nos valeurs de 𝑥 sont inférieures à moins six. Et nous pouvons voir à partir de notre définition par morceaux de la fonction 𝑓 de 𝑥, que si 𝑥 est inférieur à moins six, alors notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à moins neuf 𝑥 moins neuf.

Ainsi, lorsque nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six à gauche, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à moins neuf 𝑥 moins neuf. Cela signifie que les limites des deux expressions seront égales dans ce cas. Mais maintenant, nous essayons simplement d’évaluer la limite d’une fonction linéaire. Nous pouvons le faire par substitution directe. La substitution de 𝑥 par moins six nous donne moins neuf fois moins six moins neuf, c’est-à-dire 45. Nous avons donc montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six de 𝑓 de 𝑥 existe. Elle est égale à 45. Nous devons maintenant vérifier la limite lorsque 𝑥 tend vers six à droite de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons le faire de la même manière. Puisque 𝑥 tend vers moins six à droite, nos valeurs de 𝑥 seront supérieures à moins six.

Et à partir de notre définition par morceaux de la fonction 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 est supérieur à moins six, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à la constante 45. Ainsi, lorsque 𝑥 est supérieur à moins six, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à 45. Par conséquent, leurs limites quand 𝑥 tend vers moins six à droite seront égales. Mais maintenant, nous voyons que nous essayons simplement d’évaluer la limite d’une constante. Et nous savons qu’une constante ne change pas lorsque 𝑥 change. Ainsi, la limite de 45 lorsque 𝑥 tend vers moins six à droite sera simplement égale à 45.

Nous avons donc montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six à droite de 𝑓 de 𝑥 existe également. Elle vaut 45. Notre dernière condition était que notre limite à gauche et notre limite à droite soient égales. Et nous avons montré que les deux étaient égales à 45. Donc, notre troisième condition est également vraie. Et rappelez-vous que, si ces trois conditions sont vraies, nous disons que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six de 𝑓 de 𝑥 est égale à la valeur commune de notre limite à gauche et à droite, qui dans ce cas est 45. Donc, non seulement nous avons montré que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins six de 𝑓 de 𝑥 existe, mais nous avons également montré qu’elle est égale à 45.

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