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Vidéo question :: Trouver le vecteur moment de deux forces agissant sur les côtés d’un parallélépipède rectangle par rapport à l’origine Mathématiques • Troisième année secondaire

Sur la figure, déterminez la somme des vecteurs moments des forces de 86 et 65 newtons par rapport à 𝑂 en newton-centimètre.

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Transcription de la vidéo

Sur la figure, déterminez la somme des vecteurs moments des forces de 86 et 65 newtons par rapport à 𝑂 en newton-centimètre.

Pour cette question, nous allons calculer les vecteurs moments de deux forces différentes. Par souci de clarté, désignons cette première force de 86 newtons comme 𝐹 un et la deuxième force de 65 newtons comme 𝐹 deux. Pour calculer le moment d’une force autour d’un point, nous pouvons utiliser la formule 𝐌 égale au produit vectoriel de 𝐫 par 𝐅, où 𝐌, 𝐫 et 𝐅 sont toutes des grandeurs vectorielles.

Avant de continuer, rappelons-nous brièvement ce que chacun de ces termes représente. 𝐌 est évidemment le moment. Bien que nous puissions considérer les moments comme des grandeurs de rotation, ils peuvent toujours être représentés par des vecteurs. La norme du vecteur représente bien sûr la norme du moment. La direction du vecteur nous donne l’axe de rotation du moment et nous donne également le sens de rotation dans l’espace. Ensuite, nous avons déjà vu que 𝐹 représente les forces. Notez, cependant, que le 𝐅 dans cette formule est une grandeur vectorielle, et cela deviendra important dans un instant. Enfin, 𝐫 est le vecteur position du point d’application de la force 𝐹.

Pour mieux comprendre cela, utilisons le schéma. La première force, 𝐹 un, est appliquée au point 𝐶. Ensuite, nous nous rappelons que lorsque nous travaillons avec des moments, nous les calculons autour d’un certain point. Cette question nous a demandé de calculer les moments autour du point 𝑂, que nous considérerons comme l’origine du système. Pour la première force 𝐹 un, nous aurons donc besoin du vecteur position du point 𝐶, c’est-à-dire le vecteur de 𝑂 à 𝐶. Nous pouvons marquer cela sur notre schéma, et nous allons l’appeler comme le vecteur 𝐫 un pour plus tard. Très bien, maintenant que nous avons récapitulé ce que chacun des termes signifie, passons aux étapes de calcul.

À ce stade, nous rappelons que le produit vectoriel peut être calculé en utilisant le déterminant d’une matrice trois fois trois comme indiqué ici. Nous n’irons pas trop loin dans les détails à ce sujet. Mais pour rappel, les éléments de la première ligne sont les trois vecteurs de base 𝐢, 𝐣 et 𝐤, la deuxième ligne sont les composantes de notre vecteur position 𝐫, et la troisième ligne sont les composantes de la force 𝐅. Et rappelez-vous que le produit vectoriel n’est pas une opération commutative, ce qui signifie que 𝐫 fois 𝐅 n’est pas la même chose que 𝐅 fois 𝐫. Et cela signifie que si nous échangeons par hasard la deuxième et la troisième ligne du déterminant, nous obtenons un vecteur moment de sens opposé au résultat souhaité.

Un dernier commentaire avant de continuer, notez que la question nous a demandé d’exprimer le moment en newton-centimètre. Puisque les forces ont été données en newtons et que toutes les dimensions du système ont été données en centimètres, nous n’aurons pas besoin de s’inquiéter de conversions d’unités au cours de cette question. D’accord, pour calculer le moment de la force de 86 newtons par rapport à l’origine, nous aurons d’abord besoin du vecteur position, que nous avons appelé 𝐫 un. Du schéma, nous pouvons voir que le point 𝐶 a un déplacement de huit centimètres dans la direction 𝑥.

Mais encore une fois, nous négligeons les unités de centimètres, nous allons donc simplement représenter cela comme huit 𝐢. Le point 𝐶 n’a pas de déplacement dans la direction 𝑦. Il a cependant un déplacement de six unités dans la direction 𝑧. Cela signifie que le vecteur position 𝐫 un est huit 𝐢 plus six 𝐤. Pour cette étape, nous avons utilisé les mesures sur le schéma cubique pour nous donner les composantes du vecteur position.

Ce parallélépipède rectangle peut aussi nous indiquer les composantes du vecteur force 𝐅 un. Nous savons de l’énoncé de la question que 𝐹 un a une intensité de 86 newtons. Mais à partir du schéma, nous voyons que ce vecteur pointe dans la direction 𝑦, ce qui signifie qu’il n’a aucune composante 𝑥 et 𝑧. Le vecteur 𝐅 un peut donc être représenté par 86𝐣. Notez que nous pourrions également écrire 𝐫 un et 𝐅 un sous la forme vectorielle comme indiqué. Comme nous l’avons dit plus tôt, nous allons calculer le moment de la première force, que nous appellerons 𝐌 un, en utilisant le produit vectoriel de 𝐫 un et 𝐅 un. Nous pouvons le faire en utilisant le déterminant de cette matrice trois fois trois avec les valeurs des composantes de 𝐫 un et 𝐅 un substituées.

L’évaluation de ce produit vectoriel est un long calcul à écrire entièrement. Il convient de noter que dans notre cas particulier, nous avons quelques éléments utiles comme des zéros, ce qui devrait réduire notre calcul. Pour la composante 𝐢 du moment, nous avons zéro fois zéro, ce qui est bien sûr zéro, moins 86 fois six. Pour le signe moins de la composante 𝐣, nous aurons huit fois zéro moins zéro fois six. Donc, ce terme disparaîtra. Et pour la composante 𝐤, nous aurons huit fois 86 moins zéro fois zéro. En simplifiant tous ces termes, nous nous retrouvons avec le moment 𝐌 un de la première force. Et c’est moins 516𝐢 plus 688𝐤.

Très bien, ensuite tout ce que nous devons faire est de trouver le moment de la deuxième force, que nous appellerons 𝐌 deux. Et nous ajouterons ceci à 𝐌 un. Libérons de l’espace pour le faire. La force 𝐅 deux agit au point 𝐼, 𝐫 deux est le vecteur position de 𝐼, et nous voyons que ce vecteur est de neuf unités dans la direction 𝑦 et de six unités dans la direction 𝑧. Cela signifie que le vecteur est neuf 𝐣 plus six 𝐤. Le vecteur force 𝐅 deux est un peu moins simple. Nous avons sa norme qui vaut 65 newtons. Mais comme il ne pointe pas simplement dans l’une des directions cardinales, nous devrons déterminer ses composants.

Pour faire cela, nous allons utiliser à nouveau le schéma. Examinons ce qu’on peut voir si on observe une vue de côté de cette figure. Ici, nous allons tracer le schéma suivant. La force 𝐅 deux agit dans un plan parallèle au plan 𝑥𝑧. Il n’a donc aucune composante dans la direction 𝑦, et alors nous pouvons former un triangle rectangle avec les composantes 𝑥 et 𝑧. Nous voyons que ce vecteur a une composante dans la direction 𝑧 négative et dans la direction 𝑥 positive. Afin de trouver exactement les composantes, nous pouvons utiliser les mesures données sur le schéma pour obtenir les rapports des longueurs des côtés. La force 𝐅 deux relie les diagonales de la face la plus à droite du parallélépipède rectangle.

Bien que les composantes ne soient pas directement six et huit, nous pouvons dire que ce triangle suivra les mêmes proportions. Et cela signifie que la longueur d’un côté sera dans le rapport six à huit. Et nous pouvons représenter cela comme six 𝑎 et huit 𝑎 si nous voulons être rigoureux. Ensuite, nous pourrions calculer le rapport de l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore, mais il existe un raccourci pratique. En d’autres termes, lorsque l’on dit que quelque chose est dans le rapport de six à huit, cela est équivalent à dire qu’il est dans le rapport de trois à quatre. Cela pourrait faciliter la visualisation de notre triangle comme un triplet trois-quatre-cinq de Pythagore.

Notre dernière étape consiste à trouver le triangle rectangle avec les rapports trois-quatre-cinq et l’hypoténuse de norme 65. En utilisant la constante 𝑎, nous pouvons dire que cinq 𝑎 est égal à 65, et 𝑎 est donc 13. Cela signifie que les composantes 𝑥 et 𝑧 sont respectivement 52 et 39. Bien que la longueur la plus courte dans ce triangle soit de 39 unités, il convient de noter que la composante de la force pointe réellement dans la direction 𝑧 négative. Et donc la composante est moins 39. Très bien, en utilisant le triplet de Pythagore, nous avons constaté que la force 𝐅 deux a des composantes de 52 dans la direction 𝑥 et moins 39 dans la direction 𝑧.

Nous pouvons passer au calcul de 𝐌 deux, le moment de la deuxième force, en utilisant le déterminant d’une matrice trois fois trois comme nous avons fait précédemment. Voici les étapes de calcul que nous pouvons utiliser pour évaluer ce déterminant. Si nous simplifions cela, il nous reste le résultat suivant pour 𝐌 deux. Nous avons les deux vecteurs moment 𝐌 un et 𝐌 deux, et la seule étape restante est de les additionner. Libérons de l’espace pour le faire.

Nous pouvons faire la somme vectorielle de ces deux moments en additionnant les composantes correspondantes 𝐢, 𝐣 et 𝐤 des vecteurs. Notez que 𝐌 un n’a pas de composante 𝐣. Donc, nous prenons simplement la composante 𝐣 de 𝐌 deux. Pour simplifier cela, il nous reste moins 867𝐢 plus 312𝐣 plus 220𝐤. C’est la réponse à la question. Nous avons trouvé la somme des vecteurs moments des forces 𝐅 un et 𝐅 deux par rapport à l’origine 𝑂. Rappelez-vous que la réponse est en unités de newton-centimètre comme demandé par la question. En effet, dans les calculs, nous avons utilisé des unités de centimètres pour le vecteur position 𝐫 et des unités de newtons pour la force 𝐹.

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