Transcription de vidéo
Le conducteur d’une voiture roulant à 20 mètres par seconde a un temps de réaction de 1,2 seconde. Les freins de la voiture ralentissent la voiture à 4,5 mètres par seconde au carré une fois activés. Quelle est la distance d’arrêt de la voiture au mètre près ?
Alors, dans cette question, nous envisageons une voiture déjà en mouvement. Et puis elle va s’arrêter. Alors admettons que cette boîte orange représente notre voiture. Maintenant, on nous a dit que cette voiture roule d’abord à 20 mètres par seconde. Choisissons donc arbitrairement que la voiture roulait d’abord vers la droite à 20 mètres par seconde. C’est le vecteur vitesse initial de la voiture que nous appellerons 𝑢. Maintenant, ce qui arrive à cette voiture est qu’elle parcourt initialement 20 mètres par seconde. Et puis un conducteur repère un danger.
Alors disons que voilà le danger que le conducteur repère. C’est un énorme rocher sur le chemin de la voiture. Maintenant, disons aussi que le conducteur repère le danger lorsque la voiture est à cette position ici. Et à partir de ce moment, le conducteur commence à se rendre compte qu’il doit freiner. Cependant, comme le conducteur a un temps de réaction de 1,2 seconde, il ne freine pas instantanément. En d’autres mots, la voiture avance toujours à 20 mètres par seconde sur une courte distance avant que le conducteur n’ait activé les freins.
Donc, sur toute cette distance d’ici jusque-là, le conducteur et la voiture ont continué de voyager à 20 mètres par seconde pendant que le conducteur pense à activer les freins. Or, cette distance spécifique s’appelle la distance de réaction que nous appellerons 𝑑 indice 𝑡. Mais dès que la voiture atteint ce point, le conducteur active effectivement les freins. Et c’est à ce moment que la voiture commence à décélérer. En d’autres mots, à partir de ce moment, la voiture accélère maintenant dans le sens opposé à celui de son mouvement initial à un taux de 4,5 mètres par seconde au carré.
Maintenant, c’est à ce point que nous voyons que l’accélération que la voiture subit en raison de ses freins est dans le sens opposé à son vecteur vitesse initial. Et cela est dû, bien sûr, au fait que la voiture décélère. Mais parce que nous avons affaire au vecteur vitesse de la voiture qui est initialement orientée dans le sens opposé à l’accélération, c’est une bonne idée de choisir des conventions de signes. Fixons que tout ce qui se déplace vers la droite se déplace dans le sens positif. Et tout ce qui se déplace vers la gauche se déplace dans le sens négatif. En d’autres mots alors, le vecteur vitesse initial de la voiture, qui était vers la droite, est de plus 20 mètres par seconde, alors que l’accélération ou plutôt la décélération de la voiture, qui est vers la gauche, sera donné dans nos calculs comme moins 4,5 mètres par seconde au carré.
Maintenant, appelons l’accélération de la voiture 𝑎. Et puis, dès que la voiture commence à décélérer à ce stade, nous savons que la voiture finira par s’arrêter ; on espère avant qu’elle n’atteigne le danger. Donc, à ce stade, la voiture s’est arrêtée, ce qui signifie que le vecteur vitesse final de la voiture, que nous appellerons 𝑣, est de zéro mètre par seconde car la voiture est maintenant à l’arrêt. Ainsi, la distance parcourue par la voiture pendant la période de décélération s’appelle la distance de freinage, que nous nommons aussi 𝑑 indice 𝑏.
Maintenant, la raison pour laquelle on appelle cela distance de freinage est parce que c’est la distance sur laquelle les freins de la voiture ont été appliqués. Et au fait, il faut aussi noter qu’au début de la distance de freinage, le vecteur vitesse de la voiture était toujours de 20 mètres par seconde. Maintenant, on nous demande de trouver la distance d’arrêt de la voiture. Rappelons donc que la distance d’arrêt d’une voiture est définie comme la distance de réaction plus la distance de freinage. Alors admettons que l’on appelle la distance d’arrêt de la voiture 𝑑 indice 𝑠. Et comme nous l’avons déjà vu, la distance de réaction s’appelle 𝑑 indice 𝑡. Et la distance de freinage est 𝑑 indice 𝑏.
En d’autres termes, la distance d’arrêt est cette distance totale ici. Il s’agit de la distance parcourue par la voiture entre le moment où le conducteur se rend compte qu’il y a un danger et le moment où la voiture s’arrête enfin. Écrivons donc ici que la distance d’arrêt est égale à la distance de réaction plus la distance de freinage. Et commençons à calculer la distance de réaction et la distance de freinage individuellement.
Commençons par la distance de réaction. Maintenant, alors que la voiture se déplace du point où le conducteur se rend compte qu’il doit freiner, au point que le conducteur active effectivement les freins, comme nous l’avons dit plus tôt, la voiture continue de rouler à 20 mètres par seconde parce que les freins n’ont pas encore été activés. En d’autres termes, la voiture se déplace avec un vecteur vitesse constant 𝑢 sur toute cette distance. Et puis nous pouvons rappeler que si un objet se déplace avec un vecteur vitesse constant, appelons ce vecteur vitesse 𝑣 indice const, alors ce vecteur vitesse est égale à la distance parcourue par l’objet divisée par le temps mis par cet objet pour parcourir cette distance. Et donc dans notre cas particulier, la voiture se déplace avec un vecteur vitesse constant 𝑢. Et ce vecteur vitesse constant est égale à la distance parcourue, soit la distance de réaction, divisée par le temps mis par cette voiture pour parcourir cette distance.
Maintenant, comme nous le savons, la voiture parcourt cette distance en un temps de 1,2 seconde parce que c’est le temps de réaction du conducteur, en d’autres mots, le temps mis entre le moment où il se rend compte qu’il doit freiner et le moment où il active les freins. Et donc nous connaissons la valeur de 𝑢, 20 mètres par seconde. Et nous connaissons la valeur de 𝑡, le temps de réaction, de 1,2 seconde. Nous pouvons donc réorganiser cette équation pour résoudre 𝑑 𝑡. Nous le faisons en multipliant les deux côtés de l’équation par le temps de réaction 𝑡. De cette façon, il s’annule sur le côté droit. Et ce qui nous reste est que le temps de réaction du conducteur multiplié par la vitesse constante à laquelle la voiture se déplace est égal à la distance de réaction.
On peut ensuite dire que la distance de réaction est égale au temps de réaction, 1,2 secondes, multiplié par le vecteur vitesse de la voiture, 20 mètres par seconde. Et en pensant brièvement aux unités, nous voyons que nous avons des secondes au numérateur ici. Et puis nous avons un par seconde, ce qui signifie que les secondes vont s’annuler. Et il nous restera des mètres. Or, cela a du sens parce que nous calculons une distance de réaction. Donc, en calculant la valeur du côté droit de cette équation, nous constatons que la distance de réaction de la voiture est de 24 mètres.
Écrivons donc cette information ici. Nous venons de déterminer la valeur de 𝑑 𝑡. Donc, pour déterminer 𝑑 𝑠, tout ce qui nous reste à faire est de déterminer la valeur de 𝑑 𝑏, la distance de freinage. Pour ce faire, nous devons réaliser que, dans cette phase du mouvement de la voiture, la voiture ne se déplace plus avec un vecteur vitesse constant. En fait, elle décélère à un taux constant de 4,5 mètres par seconde au carré ou, si vous le souhaitez, accélère à moins 4,5 mètres par seconde au carré.
Donc, ce que nous savons de cette phase du mouvement de la voiture, c’est que le vecteur vitesse initial est de 20 mètres par seconde. Et ce vecteur vitesse est positif car il est vers la droite. Nous savons également que le vecteur vitesse final de la voiture est de zéro mètre par seconde ici. Et nous connaissons également l’accélération de la voiture, moins 4,5 mètres par seconde au carré, car rappelez-vous que l’accélération est vers la gauche, autrement dit, opposée au mouvement de la voiture elle-même. Donc, si nous connaissons ces trois grandeurs, 𝑢, 𝑣 et 𝑎, et que nous essayons de déterminer la distance de freinage 𝑑 𝑏, alors pour ce faire, nous devons rappeler l’une des équations cinétiques.
L’équation spécifique que nous recherchons est celle-ci, l’équation qui nous dit que le carré du vecteur vitesse final est égal au carré du vecteur vitesse initial plus deux fois l’accélération de l’objet multiplié par la distance parcourue en ligne droite par l’objet. Mais alors dans cette situation, la distance parcourue en ligne droite par l’objet, qui dans ce cas est la voiture, est en fait la distance de freinage. Et donc, nous pouvons remplacer 𝑑 𝑠 dans l’équation par 𝑑 𝑏, la distance de freinage.
Toutes les autres grandeurs restent identiques parce que nous les avons déjà appelées 𝑢, 𝑣 et 𝑎. Et bien sûr, elles signifient la même chose. Donc, à ce stade, nous pouvons prendre notre équation et la réorganiser pour calculer 𝑑 𝑏. Si nous commençons par soustraire 𝑢 au carré des deux côtés de l’équation, il nous reste 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré d’un côté et seulement deux 𝑎𝑑 𝑏 à droite. Ensuite, nous divisons les deux côtés de l’équation par deux 𝑎 pour nous donner 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré divisé par deux 𝑎 à gauche et juste 𝑑 𝑏 à droite. Alors maintenant, tout ce que nous avons à faire est d’insérer certaines valeurs.
Lorsque nous faisons cela, nous constatons que nous avons 𝑣 au carré moins 𝑢 au carré divisé par deux 𝑎. Et puis nous pouvons tout d’abord simplifier le numérateur qui devient moins 400 mètres carrés par seconde au carré, quand nous nous souvenons de mettre tout le contenu des parenthèses au carré, et le dénominateur devient deux multiplié par moins 4,5 mètres par seconde au carré qui devient moins neuf mètres par seconde au carré. Et puis à ce stade, nous voyons que le signe négatif du numérateur et du dénominateur s’annule, c’est pourquoi il était si important pour nous d’avoir expliqué le sens de l’accélération de la voiture. Et si nous pensons aux unités, nous voyons que nous avons le mètre carré par seconde au numérateur et le mètre par seconde au dénominateur.
Les secondes sont élevées à la même puissance. Et elle vont s’annuler. Mais au numérateur, nous avons des mètres carrés, alors qu’au numérateur, nous n’avons que des mètres. Donc, une seule puissance de mètres au numérateur s’annulera avec une puissance de mètres au dénominateur. Et le résultat final sera en mètres, ce qui est génial car une fois de plus, nous cherchons une distance. Notre distance sera donc de 400 divisé par neuf mètres. Lorsque nous calculons cela, nous obtenons 44,44 et ainsi de suite mètres.
Écrivons donc cette information ici. 𝑑 𝑏 est égal à 44,4… mètres. Et à ce stade, nous réalisons que nous y sommes presque. Nous voyons que 𝑑 𝑠, la distance d’arrêt que nous essayons de calculer, est égale à la distance de réaction plus la distance de freinage. On peut donc dire que la distance d’arrêt est égale à 24 mètres plus 44,4… mètres. Et cela donne 68,4… mètres. Cependant, nous n’avons pas encore atteint la réponse finale à notre question.
Rappelez-vous, on nous a demandé de trouver la distance d’arrêt de la voiture au mètre près. Nous devons donc arrondir 68,4 mètres au mètre près. Pour ce faire, nous devons examiner cette valeur ici après la virgule. Cette valeur est un quatre, ce qui est inférieur à cinq. Et, par conséquent, cette valeur, le huit, restera la même. On ne l’arrondit pas à l’excès. Et maintenant, nous avons atteint la réponse à notre question. La distance d’arrêt de cette voiture est de 68 mètres au mètre près.
