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Au point zéro, moins deux, déterminez l’équation de la normale à la courbe d’équation six 𝑥 au cube plus deux 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins neuf 𝑦 au carré moins huit 𝑦 plus 20 est égal à zéro.
La question veut que nous déterminions l’équation de la normale à la courbe définie par l’équation implicite six 𝑥 au cube plus deux 𝑥 carré plus deux 𝑥 moins neuf 𝑦 carré moins huit 𝑦 plus 20 est égal à zéro au point zéro, moins deux. Pour répondre à cette question, nous devons d’abord nous rappeler ce que signifie pour une droite d’être normale à la courbe.
Nous rappelons que nous appelons une droite normale à la courbe en un point si elle est perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point. Et nous savons que si la tangente à la courbe en ce point a une pente de 𝑚, alors la normale à la courbe en ce point doit avoir une pente égale à moins un divisée par 𝑚. Il convient également de noter à ce stade que si notre droite tangente était horizontale, alors notre droite normale serait verticale. Donc, techniquement, sa pente serait indéfinie. Et la même chose est vraie à l’inverse. Si notre droite normale était horizontale, alors notre tangente serait verticale.
Donc, pour trouver l’équation de notre normale à la courbe au point zéro, moins deux, nous devons trouver la pente de la tangente à la courbe au point zéro, moins deux. Puisque nous savons que d𝑦 sur d𝑥 nous indique la pente de la droite tangente, nous pouvons trouver la pente de la droite tangente en dérivant les deux membres de notre équation implicite par rapport à 𝑥. Cela nous donne la dérivée de six 𝑥 au cube plus deux 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins neuf 𝑦 au carré moins huit 𝑦 plus 20 par rapport à 𝑥 est égal à la dérivée de zéro par rapport à 𝑥.
Nous pouvons évaluer cela en dérivant chaque terme individuellement. Nous savons que la dérivée par rapport à 𝑥 de zéro vaut simplement zéro. Nous pouvons trouver la dérivée de six 𝑥 au cube, deux 𝑥 au carré, deux 𝑥 et 20 par rapport à 𝑥 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance. Nous multiplions par l’exposant, puis réduisons l’exposant par un. Pour dériver moins neuf 𝑦 carré et moins huit 𝑦, nous devons remarquer que 𝑦 est une fonction de 𝑥.
Puisque 𝑦 est une fonction de 𝑥, nous pouvons la dériver en utilisant la règle de dérivation en chaîne. Cela nous donne la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑦 multipliée par la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Cela nous donne la dérivée de moins neuf 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de moins neuf 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 multiplié par d𝑦 sur d𝑥. Et nous pouvons dériver moins neuf 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 en utilisant la règle de la dérivation d’une puissance. Cela nous donne moins 18𝑦.
Nous pouvons faire de même pour dériver moins huit 𝑦 par rapport à 𝑥. Cela nous donne la dérivée de moins huit 𝑦 par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Et nous pouvons dériver moins huit 𝑦 par rapport à 𝑦 en utilisant la règle de dérivation d’une puissance. Nous avons donc moins huit. Ainsi, nous avons maintenant 18𝑥 au carré plus quatre 𝑥 plus deux moins 18𝑦 d𝑦 sur d𝑥 moins huit d𝑦 sur d𝑥 plus zéro est égal à zéro.
Et nous voulons trouver la pente de notre tangente au point zéro, moins deux afin de pouvoir trouver la pente de la normale en ce point. Pour ce faire, nous devons réorganiser cette équation afin d’isoler d𝑦 sur d𝑥. Nous allons soustraire 18𝑥, quatre 𝑥 et deux des deux membres de cette équation. Et nous allons factoriser d𝑦 sur d𝑥 à partir des termes restants sur le membre gauche de notre équation. Cela nous donne moins 18𝑦 moins huit multiplié par d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 18𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins deux.
Nous pouvons alors isoler d𝑦 sur d𝑥 en divisant les deux membres de notre équation par moins 18𝑦 moins huit. Cela nous donne d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins 18𝑥 au carré moins quatre 𝑥 moins deux le tout divisé par moins 18𝑦 moins huit. Nous pouvons simplifier cela en simplifiant le facteur commun de moins deux au numérateur et au dénominateur, ce qui nous donne neuf 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un le tout divisé par neuf 𝑦 plus quatre.
Puisque d𝑦 sur d𝑥 indique la pente de notre tangente, nous pouvons trouver la pente de la tangente à la courbe au point zéro, moins deux en remplaçant 𝑥 par zéro et 𝑦 par moins deux. Cela nous donne la pente de notre tangente à la courbe au point zéro, moins deux est égale à neuf fois zéro au carré plus deux fois zéro plus un le tout divisé par neuf fois moins deux plus quatre, ce qui équivaut à moins un divisé par 14.
Cependant, c’est la pente de notre tangente. Nous pouvons trouver la pente de la normale en prenant moins un fois l’inverse de cette valeur. Donc, nous avons montré que la pente de la normale à la courbe au point zéro, moins deux est moins un fois l’inverse de moins un divisé par 14, c’est-à-dire 14. Cependant, la question nous demande l’équation de la normale à la courbe en ce point. Il existe plusieurs façons différentes de trouver l’équation de cette droite. Par exemple, nous pouvons écrire notre droite sous la forme 𝑦 égale la pente de la droite fois 𝑥 plus l’ordonnée à l’origine, que nous appellerons 𝑐.
En fait, nous trouvons la normale à la courbe au point zéro, moins deux. Cela signifie qu’elle passe par le point zéro, moins deux. Et si notre droite passe par le point zéro, moins deux qui se trouve sur l’axe des 𝑦, cela signifie que son ordonnée à l’origine est moins deux. Donc, 𝑐 est égal à moins deux. Et l’équation à la normale de la courbe au point zéro, moins deux est 𝑦 égale 14𝑥 moins deux. Nous pouvons réorganiser cela pour obtenir 𝑦 moins 14𝑥 plus deux est égal à zéro.
Par conséquent, nous avons montré que l’équation de la droite normale à la courbe représentée par l’équation six 𝑥 au cube plus deux 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins neuf 𝑦 au carré moins huit 𝑦 plus 20 est égal à zéro est donnée par 𝑦 moins 14𝑥 plus deux est égal à zéro.