Transcription de la vidéo
Calculez la longueur 𝐵𝐶 à l’unité près.
En examinant le schéma qui nous a été donné, on constate que nous avons un cercle. Il y a une tangente à la droite 𝐴𝐷 et un segment sécant 𝐴𝐶, qui coupe le cercle au point 𝐵 et au point 𝐶. On connaît la longueur du segment entre le point 𝐴 et le point d'intersection de la tangente et du cercle. On veut déterminer la longueur de 𝐵𝐶, qui est un segment sécant. Sur le schéma, on remarque également que ces droites indiquent que les segments 𝐴𝐵 et 𝐵𝐶 sont de même longueur. Donc quelle que soit la longueur de 𝐵𝐶, elle est la même que celle de 𝐴𝐵. C'est aussi la moitié de la longueur de 𝐴𝐶.
Puisque nous travaillons avec les longueurs des tangentes et des sécantes d'un cercle, rappelons le théorème de l’intersection d’une sécante et d’une tangente. Il s’agit d’un cas particulier du théorème de l’intersection de sécantes et il s’applique lorsque l’un des segments est une tangente. C'est comme indiqué dans le schéma. S'il y a une tangente 𝐸𝐶 à un cercle et une sécante 𝐸𝐴 à ce cercle, qui rencontre le cercle d'abord en 𝐵 puis en 𝐴, alors 𝐸𝐶 au carré est égal à 𝐸𝐵 fois 𝐸𝐴.
Vérifions si nous pouvons identifier les différentes longueurs de notre schéma. 𝐸𝐶 est la longueur du segment tangent entre le point extérieur au cercle et le point d'intersection de la tangente et du cercle. Dans notre schéma, c'est donc la longueur 𝐴𝐷. 𝐸𝐵 est la longueur du segment sécant entre le point extérieur au cercle et le point d'intersection de la sécante avec le cercle. Sur notre schéma, il s'agit donc du segment 𝐴𝐵. Et 𝐸𝐴 est le segment sécant du point extérieur au cercle au second point où la sécante rencontre le cercle. Donc, dans notre schéma, c'est 𝐴𝐶. On a donc l'équation suivante : 𝐴𝐷 au carré égale 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶.
On connaît maintenant la longueur de 𝐴𝐷. Elle mesure 164 centimètres. On sait aussi que 𝐴𝐵 est de même longueur que 𝐵𝐶, qui est la longueur que l'on doit déterminer. On a également dit précédemment que 𝐵𝐶 est la moitié de la longueur de 𝐴𝐶. Il en découle donc que deux 𝐵𝐶 égale 𝐴𝐶. On a donc l'équation 164 au carré égale 𝐵𝐶 fois deux 𝐵𝐶. 164 au carré, c'est 26 896. Et à droite, 𝐵𝐶 fois deux 𝐵𝐶 est deux 𝐵𝐶 au carré. En divisant les deux membres de cette équation par deux, on obtient que 𝐵𝐶 au carré égale 13 448. On peut donc déterminer la valeur de 𝐵𝐶 en prenant la racine carrée de chaque membre de l'équation, en prenant uniquement la valeur positive car 𝐵𝐶 est une longueur. À l’aide d’une calculatrice, on obtient 115,9655 ainsi de suite.
Or, la question précise que nous devons donner notre réponse à l’unité près. Donc, en arrondissant cette valeur, on obtient que la longueur de 𝐵𝐶 est de 116 centimètres. En utilisant le théorème de l’intersection d’une sécante et d’une tangente, nous avons donc pu montrer que la longueur de 𝐵𝐶, qui est un segment de la sécante 𝐴𝐶 à ce cercle, à l'entier le plus proche est de 116 centimètres.