Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons voir comment définir une suite de nombres en utilisant
la formule de récurrence, puis nous allons voir quelques questions classiques.
Une suite est une liste de nombres définis à l’aide d’une règle constante. Par exemple, deux, quatre, six, huit, 10, 12 et ainsi de suite. Cette suite commence par deux, puis nous ajoutons deux à chaque terme pour obtenir le
terme suivant. Cette manière de définir une suite en déterminant le premier terme, et en définissant
une règle de terme en terme vous indiquant ce que vous devez faire avec un terme
pour obtenir le terme suivant de la suite, est appelée récursive. Maintenant, plutôt que de la décrire par une longue phrase comme celle-ci, nous
pouvons utiliser une formule mathématique pour définir la règle. Et dans ce cas, nous pourrions mettre 𝑎 𝑛 plus un égale 𝑎 𝑛 plus deux, où 𝑎 un
égale deux, et 𝑛 est supérieur ou égal à un, et 𝑛 est un entier relatif.
Maintenant, cette partie vous indique comment la suite commence. Le premier terme 𝑎 un est deux. Et cette partie ici définit notre système de numérotation pour les termes de la
suite, nous allons donc avoir un premier terme, un deuxième terme, un troisième
terme, etc. Donc, 𝑛 sera une série d’entiers relatifs commençant par un. Et cette partie définit la règle de terme en terme. Cela nous dit que nous devons prendre la valeur d’un terme au rang 𝑛, ajouter deux à
cela, et cela générera ensuite le terme suivant dans la suite, le terme au rang 𝑛
plus un dans la suite. Alors, rappelez-vous, 𝑎 𝑛 signifie le terme qui est au rang 𝑛 dans la suite. Donc, 𝑎 un signifie le premier terme de la suite, 𝑎 deux, le deuxième terme de la
suite, 𝑎 trois, le troisième terme de la suite, et ainsi de suite.
Donc, juste avant de continuer, parlons de cette partie définissant les valeurs de
𝑛. Il est important de lier les valeurs de 𝑛 à la formule de la suite. Donc, nous obtenons 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre, etc., et pas 𝑎 zéro ou 𝑎
un demi ou quoi que ce soit du genre. Ainsi, par exemple, si je viens de dire que 𝑛 est supérieur ou égal à zéro, mettre
cela ici nous aurait donné un terme 𝑎 zéro. Et ce n’est pas un terme correct dans notre suite. De même, si je dis que 𝑛 est supérieur ou égal à deux, alors la plus petite valeur
que nous pourrions obtenir ici est 𝑎 deux. Et nous n’aurions pas défini le premier terme de notre suite 𝑎 un, et donc cette
formule ne fonctionnerait pas correctement.
Maintenant, une autre façon de définir cette suite par récurrence, pour la suite que
nous avions vue, c’est 𝑎 𝑛 égale 𝑎 𝑛 moins un plus deux. Et la première fois, c’est deux. Maintenant, réfléchissons bien aux valeurs de 𝑛 que nous devons définir si nous
écrivons notre suite sous cette forme. Eh bien, si 𝑛 prenait les valeurs un, deux, trois, quatre, cinq, etc., nous aurions
un cas où nous avions 𝑎 un, 𝑛 égale un est égal à 𝑎 𝑛 moins un est égal à 𝑎
zéro plus deux. Et nous ne pouvons pas avoir un terme de rang zéro, car nos termes doivent être
premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. Nous devons donc commencer à compter à deux. Nous avons donc défini le premier terme comme étant deux, puis le deuxième terme qui
égale le premier terme plus deux.
Maintenant, avec ce type de formule, si vous connaissez la valeur d’un terme de la
suite, vous pouvez facilement déterminer la valeur du terme suivant. Par exemple, si je vous avais dit que le 102ème terme était 204, vous pouvez
simplement lui ajouter deux pour obtenir la valeur du 103ème terme. Si le 102ème terme est 204, cela signifie que 𝑎 102 est 204. Et suivant ce modèle, 𝑎 𝑛 plus un est égal à 𝑎 𝑛 plus deux, cela signifie que 103
est égal à 𝑎 102 plus deux. Eh bien, nous venons de dire que le 102ème terme est 204, nous pouvons donc le
remplacer dans notre formule. Ainsi, le 103ème terme est 204 plus deux, soit 206.
Mais en réorganisation un peu la formule, vous pourriez également calculer la valeur
du terme de rang 101. En regardant la formule, si je soustrais deux des deux membres de cette équation,
j’obtiens 𝑎 𝑛 plus un moins deux égale 𝑎 𝑛. Et maintenant, j’ai une formule qui me dit le terme actuel si je connais le terme
suivant. Le terme suivant moins deux me donne le terme actuel. Ou le terme de rang 102 moins deux me donne le terme de rang 101, ce qui signifie que
204 moins deux est le terme de rang 101, ce qui signifie que le terme de rang 101
est 202.
Cela signifie qu’en utilisant notre formule de récurrence, nous pouvons prendre
n’importe quel terme de la suite et déterminer le terme suivant et le terme
précédent. Mais le grand inconvénient de cette méthode, c’est que si je veux déterminer le
millionième terme, il faudra faire beaucoup de travail pour connaître sa valeur. Il faut déterminer la valeur du deuxième terme, puis appliquer à nouveau la règle
pour trouver le troisième terme, puis les quatrième et cinquième et ainsi de
suite.
L’autre façon de définir une suite consiste à utiliser une règle pour déterminer un
terme à partir de son rang. Donc, en repensant à notre suite initiale, deux, quatre, six, huit, 10, 12, etc., si
nous écrivons le rang de chaque nombre dans la suite au-dessus du nombre lui-même,
vous remarquerez que la valeur de chaque terme égale deux fois son rang dans la
suite. Donc, deux fois un est deux, deux fois deux est quatre, deux fois trois est six, deux
fois quatre est huit, et ainsi de suite. Cela signifie que la valeur d’un terme dans notre suite égale le double, donc deux
fois, le rang dans cette suite. Ou dans ce cas, 𝑎 𝑛 égale deux 𝑛.
Maintenant, ça vaut la peine de s’arrêter un instant pour vous rappeler que cet 𝑛
ici est un indice, un petit 𝑛 juste au-dessous du 𝑎, alors que cet 𝑛 ici est un
vrai 𝑛 de taille normale juste contre le deux, ce qui signifie deux fois 𝑛. Alors, faites attention à ça. Quand je dis 𝑎 𝑛, je ne veux pas dire 𝑎 fois 𝑛. Je veux dire 𝑎 indice 𝑛. Maintenant, l’avantage de cette formule est qu’elle vous emmène directement à la
valeur du terme si vous connaissez son rang. Ainsi, le millionième terme 𝑎 un million égale deux fois un million, soit deux
millions.
Maintenant, comparez simplement le temps que cela aurait pris pour déterminer le
septième, le huitième, le neuvième terme, et ainsi de suite jusqu’au millionième
terme en utilisant la formule de récurrence. Bref, revenons au point de cette vidéo, les suites définies par récurrence. Voyons quelques questions.
Déterminez les trois premiers termes de la suite 𝑎 𝑛 plus un égale deux fois 𝑎 𝑛
plus cinq, où le premier terme 𝑎 un est 11, et 𝑛 est plus grand ou égal à un, et
𝑛 est un entier relatif.
Maintenant, cette formule indique que si nous prenons un terme et le doublons, puis
ajoutons cinq, nous obtenons la valeur du terme suivant dans la suite. Pour calculer le deuxième terme, nous doublons le premier terme et ajoutons cinq. Et le premier terme est 11. C’est ce qu’on nous dit dans la question. Cela signifie que le deuxième terme est deux fois 11 plus cinq, ce qui correspond à
22 plus cinq, soit 27. Et nous pouvons maintenant utiliser cette information pour déterminer le troisième
terme. Le troisième terme égale deux fois le deuxième terme plus cinq. Cela fait deux fois 27 plus cinq, soit 54 plus cinq, soit 59. Nous avons maintenant les trois premiers termes, 11, 27 et 59.
Question suivante.
Trouvez les quatre premiers termes de la suite 𝑎 𝑛 plus un égale un demi 𝑎 𝑛
moins quatre, où 𝑎 deux est 36, 𝑛 est un entier relatif supérieur ou égal à
un.
C’est un peu délicat, car on nous donne le deuxième terme, mais nous ne connaissons
pas le premier. Il faut donc le déterminer. Maintenant, la formule nous dit que si nous prenons un terme et le réduisons de
moitié puis soustrayons quatre, cela nous donne le terme suivant. Ainsi, par exemple, 𝑎 deux, le deuxième terme, égale un demi fois 𝑎 un, donc un
demi le premier terme moins quatre. Mais on nous dit que la valeur du deuxième terme est 36, donc nous savons que 36
égale un demi 𝑎 un moins quatre. Maintenant, je veux déterminer 𝑎 un. Donc, si j’ajoute quatre aux deux membres de cette équation, j’obtiens 40, qui
correspond à un demi 𝑎 un, le premier terme. Et puis, si je double les deux membres de l’équation, je trouve que le premier terme
est 80.
Et on peut appliquer notre formule de récurrence pour déterminer le troisième
terme. Rappelez-vous que pour trouver le terme suivant, il faut le diviser par deux puis
soustraire quatre. Donc, le troisième terme est la moitié du deuxième terme moins quatre. Et nous connaissons déjà le deuxième terme. C’est 36. Donc, le troisième terme est un demi fois 36 moins quatre. Eh bien, la moitié de 36 est 18. Et 18 moins quatre est 14. Et enfin, le quatrième terme égale la moitié du troisième terme moins quatre. Et nous venons de voir que le troisième terme est 14, ce qui signifie que le
quatrième terme est trois. Donc, pour répondre à notre question, le premier terme est 80, le deuxième terme 36,
le troisième 14 et le quatrième trois.
Allons voir une suite définie par récurrence un peu plus compliquée.
Déterminez les cinq premiers termes de la suite 𝑎 𝑛 égale deux fois 𝑎 𝑛 moins un
plus 𝑎 𝑛 moins deux, sachant que 𝑎 un est trois, 𝑎 deux est cinq, 𝑛 est
supérieur ou égal à trois et 𝑛 est un entier relatif.
Maintenant, cette formule nous dit qu’un terme est une certaine combinaison des deux
termes précédents. Un terme est deux fois le terme juste avant, et il faut ensuite ajouter le terme qui
les précède. Et pour avoir ce genre de formule, il faut avoir deux termes initiaux, le premier et
le deuxième terme, pour pouvoir déterminer le troisième. Et maintenant, 𝑛 est plus grand ou égal à trois. Si 𝑛 était inférieur à trois, si 𝑛 commençait par deux, le deuxième terme serait
alors égal au premier terme- deux fois le premier terme plus le terme de rang
zéro. Et ça ne marcherait pas. Donc, cette suite définie par récurrence n’existe que lorsque 𝑛 est supérieur ou
égal à trois.
Dans la question on nous demandait de déterminer les cinq premiers termes. Nous connaissons déjà les deux premiers termes, alors essayons de déterminer le
troisième. Et comme on l’a dit dans la formule, pour calculer un certain terme, on double le
terme juste avant, 𝑛 moins un, puis on ajoute le terme qui les précède, 𝑛 moins
deux. Remplaçons 𝑎 un et 𝑎 deux par ces valeurs. Donc, 𝑎 deux est cinq et 𝑎 un est trois. Ainsi, 𝑎 trois est deux fois cinq plus trois, ce qui donne 10 plus trois, soit
13.
Maintenant, le quatrième terme est le double du troisième terme plus le deuxième
terme. C’est deux fois 13 plus cinq. Nous venons de déterminer le troisième terme. Eh bien, deux fois 13 c’est 26. Donc 26 plus cinq c’est 31. Et enfin, le cinquième terme est deux fois le quatrième terme plus le troisième. Et en remplaçant les valeurs du quatrième et du troisième terme que nous venons de
définir, nous trouvons que le cinquième terme est 75. Et il faut simplement écrire toutes ces valeurs pour répondre à la question.
Et c’est un exemple élémentaire de l’utilisation des formules de récurrence. Maintenant, certaines suites sont des suites arithmétiques. Et cela signifie que chaque deux termes consécutifs ont une raison. Par exemple, trois, sept, 11 ; 15 ; 19, etc., je dois ajouter quatre à chaque terme
pour obtenir le terme suivant. Cela en fait une suite arithmétique. Et 23 ; 21 ; 19 ; 17 ; 15 ; et ainsi de suite, je dois soustraire deux à chaque terme
pour obtenir le terme suivant. Et c’est aussi une suite arithmétique. Et nous pouvons représenter chacun de ces deux cas par une formule de récurrence. Dans le premier cas, un terme est égal au terme précédent plus quatre. Mais n’oubliez pas qu’il faut dire par où commencer, et que 𝑛 est supérieur ou égal
à un dans ce cas. Et pour la deuxième suite, un terme est égal au terme précédent moins deux. Et encore une fois, il faut spécifier par où commencer et les valeurs pertinentes de
𝑛.
Maintenant, réarrangeons ces formules. Pour la première, 𝑎 𝑛 plus un égale 𝑎 𝑛 plus quatre. Je vais soustraire 𝑎 𝑛 aux deux côtés, ce qui me donne 𝑎 𝑛 plus un moins 𝑎 𝑛
égale quatre. Eh bien, 𝑎 𝑛 plus un moins 𝑎 𝑛, c’est la raison entre deux termes
consécutifs. Et cette formule me dit qu’elle est toujours constante ; elle vaut toujours quatre
dans ce cas. Et si je fais la même chose avec l’autre formule, je constate que dans ce cas, la
raison entre deux termes consécutifs est également constante et vaut moins deux.
Donc, si vous avez une formule de récurrence que vous pouvez réarranger pour obtenir
la raison entre deux termes consécutifs, et que la réponse s’avère constante, alors
vous savez qu’il s’agit d’une suite arithmétique. Et c’est juste une façon algébrique de dire qu’à chaque fois que je passe d’un terme
à l’autre, j’ajoute toujours la même valeur. Enfin, allons voir quelques suites et voyons si nous pouvons écrire une formule de
récurrence pour chacune d’elles.
Écrivez une formule de récurrence pour la suite cinq, sept, neuf ; 11 ; 13, etc.
Eh bien, un bon point de départ est de déterminer la différence entre chaque
terme. Pour passer de cinq à sept, il faut ajouter deux. De sept à neuf, on ajoute deux. Et pour passer entre les deux termes suivants, j’ajoute deux. Et les deux termes suivants encore, j’ajoute encore deux. Et c’est une bonne idée d’essayer de décrire ce qui se passe avant d’essayer de
l’intégrer dans une formule. Donc, pour passer d’un terme à l’autre, j’ajoute deux à chaque fois. Et dans notre formule, si je prends un terme, appelons-le 𝑎 𝑛, et j’ajoute deux à
ce terme, cela me donnera le terme suivant, 𝑎 𝑛 plus un.
En fait, c’est aussi simple que cela. C’est la formule de base. Mais il faut lui indiquer par où commencer et définir les valeurs de 𝑛 pour que
cette formule soit valide. Eh bien, notre premier terme est cinq, alors 𝑎 un est cinq. Et nous voulons utiliser les valeurs de 𝑛 qui génèrent les termes 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎
trois, 𝑎 quatre, 𝑎 cinq, etc. Maintenant, dans notre formule, nous avons 𝑎 𝑛, puis nous avons 𝑎 𝑛 plus un. Donc, nous pouvons considérer que 𝑛 peut avoir toutes les valeurs à partir de un ou
plus. Voici donc notre formule. 𝑎 𝑛 plus un égale 𝑎 𝑛 plus deux, où 𝑎 est cinq et 𝑛 est un entier relatif
supérieur ou égal à un.
Maintenant, j’aurais pu formuler cela d’une manière un peu différente. Donc, j’aurais pu dire que le terme de rang 𝑛, 𝑎 𝑛, égale simplement le terme
précédent 𝑎 𝑛 moins un plus deux. Et encore une fois, le premier terme 𝑎 un est cinq. Mais pensons aux valeurs de 𝑛. Si je mets 𝑛 égale un, je dirai 𝑎 un, le premier terme, est égal à 𝑎 un moins un,
𝑎 zéro. Je parlerai du terme de rang zéro plus deux. Et comme je n’ai pas de terme de rang zéro, je vais définir 𝑛 à partir de deux et
plus. Cela me donne une formule de récurrence alternative.
Une dernière question délicate.
Écrivez une formule de récurrence pour la suite trois, neuf, 21 ; 45 ; 93, etc.
Maintenant, encore une fois, un bon point de départ est de bien dire quelle est la
différence entre chaque terme et le terme suivant. Donc, pour passer de trois à neuf, il faut ajouter six. Mais pour passer de neuf à 21, je dois ajouter 12. Pour passer de 21 à 45, je dois ajouter 24. Et pour passer de 45 à 93, je dois ajouter 48. Ce n’est donc pas une suite arithmétique. C’est une perspective un peu plus délicate.
Maintenant, si vous observez chaque terme, puis les différences, vous pouvez
constater que dans le premier cas, nous commençons avec trois, mais nous ajoutons
six. Ensuite, nous commençons, puis nous commençons avec neuf, et nous ajoutons 12. Nous commençons avec 21 et nous ajoutons 24. Nous commençons avec 45, nous ajoutons 48. Ces différences sont toujours trois de plus que le terme précédent. Maintenant, si nous appelons nos termes 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre, 𝑎 cinq,
et ainsi de suite, le deuxième terme est égal au premier terme plus six. Et le troisième terme est égal au deuxième terme plus 12. Mais nous avons dit que la différence est plus grande de trois que le terme- le terme
précédent lui-même. Donc, cette différence est plus grande de trois que cela.
Donc, six est 𝑎 un plus trois. Et pour déterminer un troisième terme, qui est 12, cette différence est le deuxième
terme plus trois. Ainsi, le troisième terme est égal au deuxième terme plus le deuxième terme plus
trois. Et ce sera le cas en général. Le terme de rang 𝑛 plus un est égal au terme de rang 𝑛 plus le terme de rang 𝑛
plus trois. Et puisqu’il ne s’agit que de trois valeurs ajoutées — je n’ai pas besoin de ces
parenthèses — cela me donne plus 𝑎 𝑛 plus 𝑎 𝑛 plus trois. C’est deux 𝑎 𝑛 plus trois. Donc, 𝑎 𝑛 plus un est égal à deux 𝑎 𝑛 plus trois.
Et maintenant, il faut réfléchir aux conditions de départ. Eh bien, le premier terme 𝑎 un est égal à trois. Et pour générer les termes 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre, etc., je dois mettre
𝑛 égal à un, deux, trois, etc. Alors voilà ; voici ma formule. Maintenant, je pourrais ajuster cela aussi légèrement que je l’ai fait la dernière
fois. Et cela me donnera le terme de rang 𝑛 égale deux fois le terme de rang 𝑛 moins un
plus trois. Et encore une fois, je devrais ajuster le point de départ de 𝑛, 𝑛 est supérieur ou
égal à deux, afin que je n’obtienne pas le terme 𝑎 zéro.