Vidéo de la leçon: Suites définies par récurrence Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment définir une suite de nombres en utilisant la formule de récurrence, puis nous allons voir quelques questions classiques.

Une suite est une liste de nombres définis à l’aide d’une règle constante. Par exemple, deux, quatre, six, huit, 10, 12 et ainsi de suite. Cette suite commence par deux, puis nous ajoutons deux à chaque terme pour obtenir le terme suivant. Cette manière de définir une suite en déterminant le premier terme, et en définissant une règle de terme en terme vous indiquant ce que vous devez faire avec un terme pour obtenir le terme suivant de la suite, est appelée récursive. Maintenant, plutôt que de la décrire par une longue phrase comme celle-ci, nous pouvons utiliser une formule mathématique pour définir la règle. Et dans ce cas, nous pourrions mettre 𝑎 𝑛 plus un égale 𝑎 𝑛 plus deux, où 𝑎 un égale deux, et 𝑛 est supérieur ou égal à un, et 𝑛 est un entier relatif.

Maintenant, cette partie vous indique comment la suite commence. Le premier terme 𝑎 un est deux. Et cette partie ici définit notre système de numérotation pour les termes de la suite, nous allons donc avoir un premier terme, un deuxième terme, un troisième terme, etc. Donc, 𝑛 sera une série d’entiers relatifs commençant par un. Et cette partie définit la règle de terme en terme. Cela nous dit que nous devons prendre la valeur d’un terme au rang 𝑛, ajouter deux à cela, et cela générera ensuite le terme suivant dans la suite, le terme au rang 𝑛 plus un dans la suite. Alors, rappelez-vous, 𝑎 𝑛 signifie le terme qui est au rang 𝑛 dans la suite. Donc, 𝑎 un signifie le premier terme de la suite, 𝑎 deux, le deuxième terme de la suite, 𝑎 trois, le troisième terme de la suite, et ainsi de suite.

Donc, juste avant de continuer, parlons de cette partie définissant les valeurs de 𝑛. Il est important de lier les valeurs de 𝑛 à la formule de la suite. Donc, nous obtenons 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre, etc., et pas 𝑎 zéro ou 𝑎 un demi ou quoi que ce soit du genre. Ainsi, par exemple, si je viens de dire que 𝑛 est supérieur ou égal à zéro, mettre cela ici nous aurait donné un terme 𝑎 zéro. Et ce n’est pas un terme correct dans notre suite. De même, si je dis que 𝑛 est supérieur ou égal à deux, alors la plus petite valeur que nous pourrions obtenir ici est 𝑎 deux. Et nous n’aurions pas défini le premier terme de notre suite 𝑎 un, et donc cette formule ne fonctionnerait pas correctement.

Maintenant, une autre façon de définir cette suite par récurrence, pour la suite que nous avions vue, c’est 𝑎 𝑛 égale 𝑎 𝑛 moins un plus deux. Et la première fois, c’est deux. Maintenant, réfléchissons bien aux valeurs de 𝑛 que nous devons définir si nous écrivons notre suite sous cette forme. Eh bien, si 𝑛 prenait les valeurs un, deux, trois, quatre, cinq, etc., nous aurions un cas où nous avions 𝑎 un, 𝑛 égale un est égal à 𝑎 𝑛 moins un est égal à 𝑎 zéro plus deux. Et nous ne pouvons pas avoir un terme de rang zéro, car nos termes doivent être premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. Nous devons donc commencer à compter à deux. Nous avons donc défini le premier terme comme étant deux, puis le deuxième terme qui égale le premier terme plus deux.

Maintenant, avec ce type de formule, si vous connaissez la valeur d’un terme de la suite, vous pouvez facilement déterminer la valeur du terme suivant. Par exemple, si je vous avais dit que le 102ème terme était 204, vous pouvez simplement lui ajouter deux pour obtenir la valeur du 103ème terme. Si le 102ème terme est 204, cela signifie que 𝑎 102 est 204. Et suivant ce modèle, 𝑎 𝑛 plus un est égal à 𝑎 𝑛 plus deux, cela signifie que 103 est égal à 𝑎 102 plus deux. Eh bien, nous venons de dire que le 102ème terme est 204, nous pouvons donc le remplacer dans notre formule. Ainsi, le 103ème terme est 204 plus deux, soit 206.

Mais en réorganisation un peu la formule, vous pourriez également calculer la valeur du terme de rang 101. En regardant la formule, si je soustrais deux des deux membres de cette équation, j’obtiens 𝑎 𝑛 plus un moins deux égale 𝑎 𝑛. Et maintenant, j’ai une formule qui me dit le terme actuel si je connais le terme suivant. Le terme suivant moins deux me donne le terme actuel. Ou le terme de rang 102 moins deux me donne le terme de rang 101, ce qui signifie que 204 moins deux est le terme de rang 101, ce qui signifie que le terme de rang 101 est 202.

Cela signifie qu’en utilisant notre formule de récurrence, nous pouvons prendre n’importe quel terme de la suite et déterminer le terme suivant et le terme précédent. Mais le grand inconvénient de cette méthode, c’est que si je veux déterminer le millionième terme, il faudra faire beaucoup de travail pour connaître sa valeur. Il faut déterminer la valeur du deuxième terme, puis appliquer à nouveau la règle pour trouver le troisième terme, puis les quatrième et cinquième et ainsi de suite.

L’autre façon de définir une suite consiste à utiliser une règle pour déterminer un terme à partir de son rang. Donc, en repensant à notre suite initiale, deux, quatre, six, huit, 10, 12, etc., si nous écrivons le rang de chaque nombre dans la suite au-dessus du nombre lui-même, vous remarquerez que la valeur de chaque terme égale deux fois son rang dans la suite. Donc, deux fois un est deux, deux fois deux est quatre, deux fois trois est six, deux fois quatre est huit, et ainsi de suite. Cela signifie que la valeur d’un terme dans notre suite égale le double, donc deux fois, le rang dans cette suite. Ou dans ce cas, 𝑎 𝑛 égale deux 𝑛.

Maintenant, ça vaut la peine de s’arrêter un instant pour vous rappeler que cet 𝑛 ici est un indice, un petit 𝑛 juste au-dessous du 𝑎, alors que cet 𝑛 ici est un vrai 𝑛 de taille normale juste contre le deux, ce qui signifie deux fois 𝑛. Alors, faites attention à ça. Quand je dis 𝑎 𝑛, je ne veux pas dire 𝑎 fois 𝑛. Je veux dire 𝑎 indice 𝑛. Maintenant, l’avantage de cette formule est qu’elle vous emmène directement à la valeur du terme si vous connaissez son rang. Ainsi, le millionième terme 𝑎 un million égale deux fois un million, soit deux millions.

Maintenant, comparez simplement le temps que cela aurait pris pour déterminer le septième, le huitième, le neuvième terme, et ainsi de suite jusqu’au millionième terme en utilisant la formule de récurrence. Bref, revenons au point de cette vidéo, les suites définies par récurrence. Voyons quelques questions.

Déterminez les trois premiers termes de la suite 𝑎 𝑛 plus un égale deux fois 𝑎 𝑛 plus cinq, où le premier terme 𝑎 un est 11, et 𝑛 est plus grand ou égal à un, et 𝑛 est un entier relatif.

Maintenant, cette formule indique que si nous prenons un terme et le doublons, puis ajoutons cinq, nous obtenons la valeur du terme suivant dans la suite. Pour calculer le deuxième terme, nous doublons le premier terme et ajoutons cinq. Et le premier terme est 11. C’est ce qu’on nous dit dans la question. Cela signifie que le deuxième terme est deux fois 11 plus cinq, ce qui correspond à 22 plus cinq, soit 27. Et nous pouvons maintenant utiliser cette information pour déterminer le troisième terme. Le troisième terme égale deux fois le deuxième terme plus cinq. Cela fait deux fois 27 plus cinq, soit 54 plus cinq, soit 59. Nous avons maintenant les trois premiers termes, 11, 27 et 59.

Question suivante.

Trouvez les quatre premiers termes de la suite 𝑎 𝑛 plus un égale un demi 𝑎 𝑛 moins quatre, où 𝑎 deux est 36, 𝑛 est un entier relatif supérieur ou égal à un.

C’est un peu délicat, car on nous donne le deuxième terme, mais nous ne connaissons pas le premier. Il faut donc le déterminer. Maintenant, la formule nous dit que si nous prenons un terme et le réduisons de moitié puis soustrayons quatre, cela nous donne le terme suivant. Ainsi, par exemple, 𝑎 deux, le deuxième terme, égale un demi fois 𝑎 un, donc un demi le premier terme moins quatre. Mais on nous dit que la valeur du deuxième terme est 36, donc nous savons que 36 égale un demi 𝑎 un moins quatre. Maintenant, je veux déterminer 𝑎 un. Donc, si j’ajoute quatre aux deux membres de cette équation, j’obtiens 40, qui correspond à un demi 𝑎 un, le premier terme. Et puis, si je double les deux membres de l’équation, je trouve que le premier terme est 80.

Et on peut appliquer notre formule de récurrence pour déterminer le troisième terme. Rappelez-vous que pour trouver le terme suivant, il faut le diviser par deux puis soustraire quatre. Donc, le troisième terme est la moitié du deuxième terme moins quatre. Et nous connaissons déjà le deuxième terme. C’est 36. Donc, le troisième terme est un demi fois 36 moins quatre. Eh bien, la moitié de 36 est 18. Et 18 moins quatre est 14. Et enfin, le quatrième terme égale la moitié du troisième terme moins quatre. Et nous venons de voir que le troisième terme est 14, ce qui signifie que le quatrième terme est trois. Donc, pour répondre à notre question, le premier terme est 80, le deuxième terme 36, le troisième 14 et le quatrième trois.

Allons voir une suite définie par récurrence un peu plus compliquée.

Déterminez les cinq premiers termes de la suite 𝑎 𝑛 égale deux fois 𝑎 𝑛 moins un plus 𝑎 𝑛 moins deux, sachant que 𝑎 un est trois, 𝑎 deux est cinq, 𝑛 est supérieur ou égal à trois et 𝑛 est un entier relatif.

Maintenant, cette formule nous dit qu’un terme est une certaine combinaison des deux termes précédents. Un terme est deux fois le terme juste avant, et il faut ensuite ajouter le terme qui les précède. Et pour avoir ce genre de formule, il faut avoir deux termes initiaux, le premier et le deuxième terme, pour pouvoir déterminer le troisième. Et maintenant, 𝑛 est plus grand ou égal à trois. Si 𝑛 était inférieur à trois, si 𝑛 commençait par deux, le deuxième terme serait alors égal au premier terme- deux fois le premier terme plus le terme de rang zéro. Et ça ne marcherait pas. Donc, cette suite définie par récurrence n’existe que lorsque 𝑛 est supérieur ou égal à trois.

Dans la question on nous demandait de déterminer les cinq premiers termes. Nous connaissons déjà les deux premiers termes, alors essayons de déterminer le troisième. Et comme on l’a dit dans la formule, pour calculer un certain terme, on double le terme juste avant, 𝑛 moins un, puis on ajoute le terme qui les précède, 𝑛 moins deux. Remplaçons 𝑎 un et 𝑎 deux par ces valeurs. Donc, 𝑎 deux est cinq et 𝑎 un est trois. Ainsi, 𝑎 trois est deux fois cinq plus trois, ce qui donne 10 plus trois, soit 13.

Maintenant, le quatrième terme est le double du troisième terme plus le deuxième terme. C’est deux fois 13 plus cinq. Nous venons de déterminer le troisième terme. Eh bien, deux fois 13 c’est 26. Donc 26 plus cinq c’est 31. Et enfin, le cinquième terme est deux fois le quatrième terme plus le troisième. Et en remplaçant les valeurs du quatrième et du troisième terme que nous venons de définir, nous trouvons que le cinquième terme est 75. Et il faut simplement écrire toutes ces valeurs pour répondre à la question.

Et c’est un exemple élémentaire de l’utilisation des formules de récurrence. Maintenant, certaines suites sont des suites arithmétiques. Et cela signifie que chaque deux termes consécutifs ont une raison. Par exemple, trois, sept, 11 ; 15 ; 19, etc., je dois ajouter quatre à chaque terme pour obtenir le terme suivant. Cela en fait une suite arithmétique. Et 23 ; 21 ; 19 ; 17 ; 15 ; et ainsi de suite, je dois soustraire deux à chaque terme pour obtenir le terme suivant. Et c’est aussi une suite arithmétique. Et nous pouvons représenter chacun de ces deux cas par une formule de récurrence. Dans le premier cas, un terme est égal au terme précédent plus quatre. Mais n’oubliez pas qu’il faut dire par où commencer, et que 𝑛 est supérieur ou égal à un dans ce cas. Et pour la deuxième suite, un terme est égal au terme précédent moins deux. Et encore une fois, il faut spécifier par où commencer et les valeurs pertinentes de 𝑛.

Maintenant, réarrangeons ces formules. Pour la première, 𝑎 𝑛 plus un égale 𝑎 𝑛 plus quatre. Je vais soustraire 𝑎 𝑛 aux deux côtés, ce qui me donne 𝑎 𝑛 plus un moins 𝑎 𝑛 égale quatre. Eh bien, 𝑎 𝑛 plus un moins 𝑎 𝑛, c’est la raison entre deux termes consécutifs. Et cette formule me dit qu’elle est toujours constante ; elle vaut toujours quatre dans ce cas. Et si je fais la même chose avec l’autre formule, je constate que dans ce cas, la raison entre deux termes consécutifs est également constante et vaut moins deux.

Donc, si vous avez une formule de récurrence que vous pouvez réarranger pour obtenir la raison entre deux termes consécutifs, et que la réponse s’avère constante, alors vous savez qu’il s’agit d’une suite arithmétique. Et c’est juste une façon algébrique de dire qu’à chaque fois que je passe d’un terme à l’autre, j’ajoute toujours la même valeur. Enfin, allons voir quelques suites et voyons si nous pouvons écrire une formule de récurrence pour chacune d’elles.

Écrivez une formule de récurrence pour la suite cinq, sept, neuf ; 11 ; 13, etc.

Eh bien, un bon point de départ est de déterminer la différence entre chaque terme. Pour passer de cinq à sept, il faut ajouter deux. De sept à neuf, on ajoute deux. Et pour passer entre les deux termes suivants, j’ajoute deux. Et les deux termes suivants encore, j’ajoute encore deux. Et c’est une bonne idée d’essayer de décrire ce qui se passe avant d’essayer de l’intégrer dans une formule. Donc, pour passer d’un terme à l’autre, j’ajoute deux à chaque fois. Et dans notre formule, si je prends un terme, appelons-le 𝑎 𝑛, et j’ajoute deux à ce terme, cela me donnera le terme suivant, 𝑎 𝑛 plus un.

En fait, c’est aussi simple que cela. C’est la formule de base. Mais il faut lui indiquer par où commencer et définir les valeurs de 𝑛 pour que cette formule soit valide. Eh bien, notre premier terme est cinq, alors 𝑎 un est cinq. Et nous voulons utiliser les valeurs de 𝑛 qui génèrent les termes 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre, 𝑎 cinq, etc. Maintenant, dans notre formule, nous avons 𝑎 𝑛, puis nous avons 𝑎 𝑛 plus un. Donc, nous pouvons considérer que 𝑛 peut avoir toutes les valeurs à partir de un ou plus. Voici donc notre formule. 𝑎 𝑛 plus un égale 𝑎 𝑛 plus deux, où 𝑎 est cinq et 𝑛 est un entier relatif supérieur ou égal à un.

Maintenant, j’aurais pu formuler cela d’une manière un peu différente. Donc, j’aurais pu dire que le terme de rang 𝑛, 𝑎 𝑛, égale simplement le terme précédent 𝑎 𝑛 moins un plus deux. Et encore une fois, le premier terme 𝑎 un est cinq. Mais pensons aux valeurs de 𝑛. Si je mets 𝑛 égale un, je dirai 𝑎 un, le premier terme, est égal à 𝑎 un moins un, 𝑎 zéro. Je parlerai du terme de rang zéro plus deux. Et comme je n’ai pas de terme de rang zéro, je vais définir 𝑛 à partir de deux et plus. Cela me donne une formule de récurrence alternative.

Une dernière question délicate.

Écrivez une formule de récurrence pour la suite trois, neuf, 21 ; 45 ; 93, etc.

Maintenant, encore une fois, un bon point de départ est de bien dire quelle est la différence entre chaque terme et le terme suivant. Donc, pour passer de trois à neuf, il faut ajouter six. Mais pour passer de neuf à 21, je dois ajouter 12. Pour passer de 21 à 45, je dois ajouter 24. Et pour passer de 45 à 93, je dois ajouter 48. Ce n’est donc pas une suite arithmétique. C’est une perspective un peu plus délicate.

Maintenant, si vous observez chaque terme, puis les différences, vous pouvez constater que dans le premier cas, nous commençons avec trois, mais nous ajoutons six. Ensuite, nous commençons, puis nous commençons avec neuf, et nous ajoutons 12. Nous commençons avec 21 et nous ajoutons 24. Nous commençons avec 45, nous ajoutons 48. Ces différences sont toujours trois de plus que le terme précédent. Maintenant, si nous appelons nos termes 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre, 𝑎 cinq, et ainsi de suite, le deuxième terme est égal au premier terme plus six. Et le troisième terme est égal au deuxième terme plus 12. Mais nous avons dit que la différence est plus grande de trois que le terme- le terme précédent lui-même. Donc, cette différence est plus grande de trois que cela.

Donc, six est 𝑎 un plus trois. Et pour déterminer un troisième terme, qui est 12, cette différence est le deuxième terme plus trois. Ainsi, le troisième terme est égal au deuxième terme plus le deuxième terme plus trois. Et ce sera le cas en général. Le terme de rang 𝑛 plus un est égal au terme de rang 𝑛 plus le terme de rang 𝑛 plus trois. Et puisqu’il ne s’agit que de trois valeurs ajoutées — je n’ai pas besoin de ces parenthèses — cela me donne plus 𝑎 𝑛 plus 𝑎 𝑛 plus trois. C’est deux 𝑎 𝑛 plus trois. Donc, 𝑎 𝑛 plus un est égal à deux 𝑎 𝑛 plus trois.

Et maintenant, il faut réfléchir aux conditions de départ. Eh bien, le premier terme 𝑎 un est égal à trois. Et pour générer les termes 𝑎 un, 𝑎 deux, 𝑎 trois, 𝑎 quatre, etc., je dois mettre 𝑛 égal à un, deux, trois, etc. Alors voilà ; voici ma formule. Maintenant, je pourrais ajuster cela aussi légèrement que je l’ai fait la dernière fois. Et cela me donnera le terme de rang 𝑛 égale deux fois le terme de rang 𝑛 moins un plus trois. Et encore une fois, je devrais ajuster le point de départ de 𝑛, 𝑛 est supérieur ou égal à deux, afin que je n’obtienne pas le terme 𝑎 zéro.