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Si 𝐀 et 𝐁 sont deux vecteurs, cette expression algébrique suivante est-elle vraie ? 𝐀 moins 𝐁 est égal à moins 𝐁 moins 𝐀.
Il y a deux façons de vérifier si cette expression est vraie, graphiquement ou algébriquement. Commençons par le faire graphiquement.
Pour que cette affirmation soit vraie de manière générale, elle doit être vraie pour deux vecteurs quelconques 𝐀 et 𝐁 que nous pourrons éventuellement choisir. Donc, peu importe ce que sont 𝐀 et 𝐁, car cela devrait être vrai, peu importe ce qu’ils sont. Choisissons de définir 𝐀 et 𝐁 comme ceci. Tout d’abord, nous allons travailler sur le vecteur résultant du côté gauche de cette expression, 𝐀 moins 𝐁. Pour ce faire, nous devons soustraire le vecteur 𝐁 du vecteur 𝐀. Nous pouvons rappeler que nous pouvons facilement ajouter des vecteurs en les alignant bout en bout. Mais comment soustraire des vecteurs ?
Eh bien, nous pouvons penser à cette expression d’une autre manière. Tout comme avec les nombres normaux, soustraire un vecteur revient à ajouter son négatif. Ainsi, 𝐀 moins 𝐁 peut être réécrit comme 𝐀 plus moins 𝐁. Moins 𝐁 est le vecteur qui a la même intensité que 𝐁 mais qui pointe dans le sens opposé. Donc, nous allons dessiner moins 𝐁 comme ça. Maintenant, tout ce que nous devons faire est d’ajouter moins 𝐁 à 𝐀 en les plaçant bout à bout comme ça. Le résultat est égal à ce vecteur ici, que nous appellerons 𝐕 indice G pour nous rappeler qu’il est du côté gauche de l’équation.
Ensuite, regardons le côté droit de l’équation, moins 𝐁 moins 𝐀. Commençons par trouver le vecteur entre parenthèses, 𝐁 moins 𝐀. Tout comme avant, nous pouvons réécrire ceci comme 𝐁 plus moins 𝐀, et nous pouvons dessiner le vecteur moins 𝐀 comme ça. Maintenant, nous l’ajoutons au vecteur 𝐁, ce qui nous laisse avec ce vecteur résultant. Cependant, il faut faire attention à ne pas oublier le signe moins devant les parenthèses. Cela nous indique que nous devons inverser le sens de ce vecteur comme ceci. Cela nous donne notre dernier vecteur 𝐕 indice D.
Maintenant, comparons nos deux vecteurs, 𝐕 G et 𝐕 D. Nous pouvons voir que ce sont les mêmes. En d’autres termes, nous voyons que le vecteur résultant du côté gauche de l’équation est égal au vecteur résultant du côté droit de l’équation. Par conséquent, nous avons vérifié que cette expression est vraie pour les deux vecteurs que nous avons choisis. Cependant, nous aurions pu aborder cette question d’une manière différente sans impliquer autant de vecteurs. Si nous abordons cette question algébriquement, nous pouvons vérifier si cette expression est vraie pour deux vecteurs quelconques pas seulement deux vecteurs aléatoires auxquels nous avons pensés.
Rappelons qu’un vecteur peut être exprimé algébriquement en fonction de ses composantes horizontale et verticale, 𝑥 et 𝑦, et des vecteurs unitaires horizontaux et verticaux, 𝐢 chapeau et 𝐣 chapeau. Nous pouvons réécrire le vecteur 𝐀 comme 𝐀 est égal à 𝐴 indice 𝑥 𝐢 chapeau plus 𝐴 indice 𝑦 𝐣 chapeau et le vecteur 𝐁 comme 𝐵 indice 𝑥 𝐢 chapeau plus 𝐵 indice 𝑦 𝐣 chapeau. Ajoutons ces expressions au côté gauche de l’équation que nous voulons vérifier. Nous trouvons que 𝐀 moins 𝐁 est égal à 𝐴 indice 𝑥 𝐢 chapeau plus 𝐴 indice 𝑦 𝐣 chapeau moins 𝐵 indice 𝑥 𝐢 chapeau plus 𝐵 indice 𝑦 𝐣 chapeau, ce qui est égal à 𝐴 indice 𝑥 𝐢 chapeau plus 𝐴 indice 𝑦 𝐣 chapeau moins 𝐵 indice 𝑥 𝐢 chapeau moins 𝐵 indice 𝑦 𝐣 chapeau. Maintenant, rassemblons les termes similaires et factorisons les coefficients de 𝐢 chapeau et 𝐣 chapeau. Cela nous laisse avec 𝐴 indice 𝑥 moins 𝐵 indice 𝑥 𝐢 chapeau plus 𝐴 indice 𝑦 moins 𝐵 indice 𝑦 𝐣 chapeau.
Ensuite, réfléchissons au côté droit de l’expression, moins 𝐁 moins 𝐀. Si nous utilisons les expressions de 𝐀 et 𝐁, nous constatons que cela est égal à la valeur négative de 𝐵 indice 𝐢 chapeau plus 𝐵 indice 𝐣 chapeau moins 𝐴 indice 𝐢 chapeau plus 𝐴 indice 𝑦 chapeau. Si nous développons toutes les parenthèses, en faisant attention aux deux signes moins, nous constatons que cela se simplifie en moins 𝐵 indice 𝑥 𝐢 chapeau moins 𝐵 indice 𝑦 𝐣 chapeau plus 𝐴 indice 𝑥 𝐢 chapeau plus 𝐴 indice 𝑦 𝐣 chapeau. Encore une fois, si nous rassemblons des termes similaires et factorisons les coefficients de 𝐢 chapeau et 𝐣 chapeau, il nous reste 𝐴 indice 𝑥 moins 𝐵 indice 𝑥 𝐢 chapeau plus 𝐴 indice 𝑦 moins 𝐵 indice 𝑦 𝐣 chapeau comme expression pour le côté droit. C’est exactement la même chose que nous avons trouvée pour le côté gauche de l’équation. Donc, nous savons que l’équation doit être correcte.
Nous avons maintenant vérifié que l’expression 𝐀 moins 𝐁 est égale à moins 𝐁 moins 𝐀 en utilisant deux méthodes différentes. La réponse à cette question est donc oui. Cette expression est vraie pour deux vecteurs quelconques.