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Vidéo question :: Reconnaître des polynômes Mathématiques • Troisième préparatoire

Lesquelles des expressions suivantes sont des polynômes de degré 5 ? [A] 𝑥⁵ + 5𝑥⁶ - 2 [B] 𝑥⁴𝑦 - 𝑥⁴ - 3𝑥² [C] 𝑥³𝑦² - 4𝑥𝑦² [D] 𝑥⁵ - 𝑦𝑥⁻¹ [E] 𝑥³ - 2𝑥𝑦 + 5𝑥⁵

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Transcription de la vidéo

Lesquelles des expressions suivantes sont des polynômes de degré cinq ? (a) 𝑥 puissance cinq plus cinq 𝑥 puissance six moins deux. (b) 𝑥 puissance quatre fois 𝑦 moins 𝑥 puissance quatre moins trois 𝑥 au carré. (c) 𝑥 au cube 𝑦 au carré moins quatre 𝑥𝑦 au carré. (d) 𝑥 puissance cinq moins 𝑦 fois 𝑥 puissance moins un. Et (e) 𝑥 au cube moins deux 𝑥𝑦 plus cinq 𝑥 à la puissance cinq.

Dans cette question, on nous demande de déterminer laquelle des cinq expressions données est un polynôme de degré cinq. Nous devons donc commencer par rappeler ce que nous entendons par une expression polynomiale et ce que cela signifie pour un polynôme d’être de degré cinq.

Tout d’abord, nous rappelons qu’un polynôme est la somme de monômes, où un monôme est un produit de constantes et de variables, dans lequel nos variables doivent avoir des exposants entiers positifs. Pour commencer, nous pouvons utiliser cette définition pour déterminer laquelle des cinq expressions données est un polynôme.

Commençons par l’option (a). Pour déterminer s’il s’agit d’un polynôme, nous devons d’abord vérifier si chacun des cinq termes est monôme. Cela signifie qu’elles doivent être le produit de constantes et de variables et que les variables doivent avoir des exposants positifs. Premièrement, nous voyons que la seule variable est 𝑥 et les exposants de 𝑥 sont cinq et six. Ce sont des entiers positifs. Ensuite, nous devons vérifier que chaque terme est le produit de constantes et de variables. Bien que ce ne soit pas nécessaire, nous pouvons réécrire le premier terme comme un fois 𝑥 puissance cinq et le troisième terme comme moins deux 𝑥 puissance zéro. Et si nous voulions être encore plus prudents, nous pourrions nous rappeler que soustraire deux 𝑥 puissance zéro revient à ajouter moins deux 𝑥 puissance zéro. Dans les deux cas, nous pouvons conclure que chaque terme est un monôme. Ainsi, l’expression de l’option (a) est un polynôme.

Nous obtenons une histoire très similaire dans l’option (b). Chaque terme est le produit de constantes et de variables. Cependant, nous pouvons voir que nous avons deux variables différentes 𝑥 et 𝑦. Nous devons donc être prudents. Nous devons vérifier que les exposants de toutes nos variables sont des entiers positifs. Dans ce cas, nous écrivons simplement 𝑦 comme 𝑦 puissance un. Ainsi, les exposants de nos variables sont quatre, un, quatre et deux. Ce sont des entiers positifs.

Il en va de même pour l’option (c). Chaque terme est le produit de constantes et de variables. Et nous pouvons voir que toutes les variables sont élevées à des exposants entiers positifs. Cependant, la même chose n’est pas vraie dans l’option (d). Nous pouvons voir que nous avons un terme en 𝑥 puissance moins un. Il s’agit d’une variable élevée à un exposant entier négatif. Donc (d) ne représente pas un polynôme. Nous pouvons donc exclure l’option (d). Et nous pouvons également voir que l’option (e) est un polynôme.

Maintenant que nous avons conclu que les expressions (a), (b), (c) et (e) sont des polynômes, rappelons comment nous vérifions le degré d’un polynôme. Nous pouvons rappeler que le degré de tout polynôme est la somme maximale des exposants des variables qui apparaissent dans chacun des termes. Et il convient de souligner que nous ne sommes intéressés que par les termes non nuls. Si nous avons un facteur zéro dans notre terme, nous pouvons simplement supprimer ce terme et ne pas changer l’expression. Nous pouvons utiliser cette définition pour déterminer le degré des quatre expressions polynomiales qui nous sont données.

Et pour ce faire, nous notons d’abord que, dans la définition du degré, nous prenons la somme des exposants des variables dans un seul terme. Cela signifie que si nous travaillons avec un seul polynôme à variable unique, nous n’avons pas besoin de prendre la somme car il n’y a qu’une seule variable. Dans ce cas, son degré ne sera que l’exposant le plus grand de cette variable qui apparaît dans un seul terme non nul. Par exemple, dans l’expression (a), nous pouvons voir que c’est un polynôme à une seule variable. Et nous pouvons également voir que tous les termes sont non nuls. Nous pouvons donc vérifier lequel des exposants de 𝑥 est le plus élevé. Et nous pouvons voir que c’est six. Donc l’expression (a) est un polynôme de degré six. Par conséquent, l’expression (a) n’est pas un polynôme de degré cinq. Nous pouvons donc supprimer cette option.

Les autres expressions (b), (c) et (e) sont des polynômes à deux variables. Nous allons donc devoir prendre la somme des exposants des variables de chaque terme. Commençons par l’expression (b). Nous allons réécrire 𝑦 comme 𝑦 puissance un. Nous devons trouver la somme des exposants des variables de chaque terme. Au premier terme, l’exposant de 𝑥 est quatre et l’exposant de 𝑦 est un. Donc, nous avons quatre plus un égal cinq. Au deuxième terme, nous avons une seule variable 𝑥. Donc, nous écrivons simplement ceci, quatre. Et au troisième terme, nous n’avons qu’une seule variable, 𝑥. Donc, cette somme ne nous donnera que deux. Le degré de ce polynôme est la plus grande de ces trois valeurs, nous pouvons voir que c’est cinq. Et par conséquent, le degré de (b) est cinq. Donc (b) est un polynôme de degré cinq.

Nous voulons faire de même pour l’expression (c). Nous devons ajouter les exposants des variables du premier terme. C’est trois plus deux, ce que nous pouvons calculer, c’est cinq. Nous pouvons alors faire la même chose pour le second terme. Nous écrivons 𝑥 comme 𝑥 puissance un. Ensuite, nous ajoutons les exposants des variables de ce terme. Un plus deux donne trois. Et puis la plus grande de ces deux valeurs est le degré de notre polynôme. Nous pouvons voir que c’est aussi cinq. Donc (c) est un polynôme de degré cinq.

Enfin, nous passons à l’option (e). Le premier terme est une puissance de 𝑥 uniquement. Donc, ce terme est de degré trois. Le deuxième terme peut être réécrit comme moins deux fois 𝑥 puissance un fois 𝑦 puissance un. Et un plus un est égal à deux. Donc, le deuxième terme a pour degré deux. Enfin, le troisième terme possède une seule variable, 𝑥, donc son degré est cinq. Et puisque tous ces termes sont non nuls, le degré est la valeur la plus élevée. Nous pouvons voir que c’est encore une fois cinq. Par conséquent, l’option (e) est également un polynôme de degré cinq.

Ainsi, nous avons pu montrer que, sur les cinq expressions données, seules les expressions (b), (c) et (e) sont des polynômes de degré cinq.

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