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Vidéo question :: Etablir un système d’inéquations linéaires Mathématiques • Première année secondaire

Clovis va dans un magasin pour acheter des bougies. Les petites bougies coûtent 3 $ et les grandes bougies coûtent 5 $. Il a besoin d’acheter au moins 20 bougies, et il ne peut pas dépenser plus de 80 $. Écrivez un système d’inéquations du premier degré qui représente la situation en utilisant 𝑥 pour représenter le nombre de petites bougies et 𝑦 pour représenter le nombre de grandes bougies.

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Clovis va dans un magasin pour acheter des bougies. Les petites bougies coûtent trois dollars et les grandes bougies coûtent cinq dollars. Il a besoin d’acheter au moins 20 bougies, et il ne peut pas dépenser plus de 80 dollars. Écrivez un système d’inéquations du premier degré qui représente la situation en utilisant 𝑥 pour représenter le nombre de petites bougies et 𝑦 pour représenter le nombre de grandes bougies.

Un système d’inéquations peut nous aider à résoudre divers problèmes d’optimisation. Dans ce cas, nous commençons généralement par définir toutes les variables pertinentes. On nous a donné cependant un couple de variables 𝑥 et 𝑦 et on nous dit que 𝑥 désigne le nombre de petites bougies que Clovis achètera et 𝑦 désigne celui des grandes bougies.

En gardant ceci à l’esprit, identifions maintenant les contraintes que nous avons. On nous dit qu’il va acheter au moins 20 bougies. En d’autres termes, le nombre total de petites et de grandes bougies qu’il achète doit être supérieur ou égal à 20. Bien, puisque 𝑥 est le nombre de petites bougies et 𝑦 celui des grandes bougies, le nombre total de bougies qu’il achètera sera donné par 𝑥 plus 𝑦. Nous savons que ce nombre doit être au moins égal à 20. Nous pouvons donc dire que 𝑥 plus 𝑦 doit être supérieur à 20.

On nous dit aussi qu’il ne peut pas dépenser plus de 80 dollars. On nous donne le coût d’une petite bougie qui est de trois dollars et celui d’une grande bougie qui est de cinq dollars. Ainsi, puisque 𝑥 est le nombre de petites bougies, nous devons nous demander quel est le montant total que Clovis dépensera pour celles-ci ? Le montant total que Clovis dépensera uniquement pour les petites bougies sera égal au produit du prix par bougie et du nombre de bougies. Ainsi, ce montant en dollars va être égal à trois 𝑥.

Considérons maintenant le même problème et établissons le montant total en dollars que Clovis dépensera pour les grandes bougies. Il achète 𝑦 bougies au prix de cinq dollars la bougie. Ainsi, le montant total que Clovis dépensera pour toutes ces grandes bougies sera le produit de ces deux valeurs. En dollars, ce montant est égal à cinq 𝑦. Ainsi, le montant total que Clovis dépensera sera égal à la somme de ceux-ci. Cela donne donc trois 𝑥 plus cinq 𝑦. Puisqu’on nous dit qu’il ne peut pas dépenser plus de 80 dollars, alors la somme de ceux-ci ne doit pas dépasser 80. En d’autres termes, la somme doit être inférieure ou égale à 80. Nous avons donc notre deuxième inéquation : trois 𝑥 plus cinq 𝑦 est inférieur ou égal à 80.

Nous avons donc maintenant un système de deux inéquations. La première a été établie en considérant le nombre total de bougies qu’il achèterait. La seconde concernait la contrainte impliquant le montant total de l’argent ou le prix de chaque bougie. À première vue, vous aurez peut-être l’impression d’avoir terminé, mais nous pouvons imposer une contrainte sur le nombre des petites bougies et sur celui des grandes bougies séparément. Nous savons qu’il ne peut pas acheter un nombre négatif de bougies. Ainsi, 𝑥 et 𝑦 doivent être en fait supérieurs ou égaux à zéro.

Voici donc le système de quatre inéquations linéaires qui représente cette situation. 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, 𝑦 est supérieur ou égal à zéro, 𝑥 plus 𝑦 est supérieur ou égal à 20 et trois 𝑥 plus cinq 𝑦 est inférieur ou égal à 80.

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