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Vidéo question :: Résoudre des systèmes d’équations modélisant des problèmes réels en utilisant les matrices Mathématiques • Première année secondaire

Un automobiliste achète 83 litres d’essence et 6 litres d’huile à 190 livres égyptiennes. Un motocycliste achète 22 litres d’essence et 20 litres d’huile à 124 livres égyptiennes. Sachant que l’automobiliste et le motocycliste ont payé le même prix pour chaque litre, utilisez les matrices pour déterminer le prix d’un litre d’essence et celui d’un litre d’huile.

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Un automobiliste achète 83 litres d’essence et six litres d’huile à 190 livres égyptiennes. Un motocycliste achète 22 litres d’essence et 20 litres d’huile à 124 livres égyptiennes Sachant que l’automobiliste et le motocycliste ont payé le même prix pour chaque litre, utilisez les matrices pour déterminer le prix d’un litre d’essence et celui d’un litre d’huile.

On nous donne certaines informations sur les achats d’essence et d’huile d’un automobiliste et d’un motocycliste et on nous demande de déterminer le prix d’un litre d’essence et d’un litre d’huile en utilisant les matrices. Commençons par former un système de deux équations à partir des informations qui nous sont données. Nous notons le prix au litre de l’essence 𝑔 et le prix au litre de l’huile ℎ.

On nous dit que notre automobiliste a acheté 83 litres d’essence et six litres d’huile pour 190 livres. Donc pour notre automobiliste, nous avons l’équation 83𝑔 plus six ℎ égale 190. Notre motocycliste a acheté 22 litres d’essence et 20 litres d’huile pour 124 livres, ce qui nous donne l’équation 22𝑔 plus 20ℎ égale 124.

Nous voici bien partis. Nous avons un système de deux équations et deux inconnues 𝑔 et ℎ. Après avoir vérifié que nos variables sont alignées verticalement et que nos constantes se trouvent sur le côté droit du système, nous pouvons former une matrice des coefficients à partir des coefficients de nos variables. La première ligne de notre matrice des coefficients contient les coefficients de 𝑔 et ℎ dans l’équation un. La seconde ligne de notre matrice des coefficients contient les coefficients de 𝑔 et ℎ dans l’équation deux.

Notre matrice des coefficients a donc pour éléments 83, six, 22 et 20. Nous multiplions cette matrice par la matrice colonne dont les éléments sont nos variables 𝑔 et ℎ. Le produit de ces deux matrices est égal à une matrice colonne contenant nos constantes, de sorte que si nous réalisons la multiplication à gauche, nous retrouvons nos équations un et deux.

Nous obtenons ainsi une équation de la forme 𝐴𝑥 égale 𝑏 dans laquelle nous voulons déterminer 𝑥. Notons qu’une matrice à 𝑚 lignes et une colonne est également appelée un vecteur colonne, d’où notre utilisation de la notation vectorielle. Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser le fait que pour toute matrice inversible 𝐴, 𝐴 moins un fois 𝐴 égale 𝐴 fois 𝐴 moins un. Ce qui est égal à la matrice identité. Nous rappelons que la matrice identité est la matrice dont tous les éléments sont nuls sauf ceux de la diagonale principale, qui sont égaux à un.

En multipliant notre équation matricielle par 𝐴 moins un des deux côtés et en utilisant le fait que 𝐴 moins un fois 𝐴 égale 𝐼, le membre de gauche devient 𝑥 et le membre de droite devient 𝐴 moins un fois 𝑏. Donc, si notre matrice des coefficients est 𝐴, Il nous suffit de déterminer la matrice inverse de 𝐴 et de la multiplier par 𝑏. Et cela nous donnera notre solution 𝑥.

Rappelons alors que pour une matrice deux fois deux d’éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, l’inverse de 𝐴 est égale à un sur 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 fois la matrice dont les éléments sont 𝑑, moins 𝑏, moins 𝑐 et 𝑎. Notons également que 𝑎𝑑 moins 𝑏𝑐 est le déterminant de 𝐴 et qu’il doit être différent de zéro. Et la matrice du membre de droite est simplement la matrice d’origine dans laquelle nous avons échangé les éléments 𝑎 et 𝑑 et changé le signe des éléments 𝑏 et 𝑐. Dans notre cas, la matrice 𝐴 est constituée des éléments 83, six, 22, 20. Donc notre matrice inverse est égale à un sur 83 fois 20, soit 𝑎 fois 𝑑, moins six fois 22, soit 𝑏 fois 𝑐, fois la matrice d’éléments 20, moins six, moins 22 et 83.

Notre fraction se simplifie pour donner un sur 1528. Donc l’inverse de notre matrice des coefficients est égale à un sur 1528 fois la matrice d’éléments 20, moins six, moins 22 et 83.

Si nous revenons maintenant à notre équation matricielle, le membre de gauche est la matrice colonne d’éléments 𝑔 et ℎ, ce qui correspond à notre 𝑥. Et à droite, nous avons notre matrice inverse multipliée par notre matrice colonne de constantes. Nous multiplions nos deux matrices sur le côté droit, ce qui nous donne 20 fois 190 plus moins six fois 124 et moins 22 fois 190 plus 83 fois 124. Le membre de droite se simplifie pour donner 1528 fois la matrice colonne d’éléments 3056 et 6112.

Nous faisons un peu de place et simplifions une dernière fois pour obtenir la matrice colonne dont les éléments sont deux et quatre. Nous pouvons alors déduire de l’égalité des matrices que 𝑔 égale deux et ℎ égale quatre et nous en concluons que si un automobiliste achète 83 litres d’essence et six litres d’huile pour 190 livres et un motocycliste achète 22 litres d’essence et 20 litres d’huile pour 124 livres, alors un litre d’essence coûte deux livres et un litre d’huile coûte quatre livres.

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