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Vidéo de la leçon : Mouvement vertical sous la gravité Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les équations cinématiques de l’accélération uniforme pour modéliser le mouvement vertical d’un corps dont l’accélération uniforme est due à la gravité.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons traiter le mouvement vertical sous la gravité. Nous allons apprendre à calculer le mouvement d’objets sous l’influence de cette force et, ce faisant, à mettre en pratique un ensemble d’équations qui nous aident à analyser de nombreux scénarios de la vie courante.

Lorsque nous parlons de mouvement vertical sous la gravité, nous savons que cela se réfère à des objets qui ne se déplacent que dans un plan vertical, soit vers le haut, soit vers le bas. Et le fait que nous parlons du mouvement sous la gravité signifie que c’est la seule force agissant sur les objets auxquels on s’intéresse. Pour cette leçon, nous ne considérerons pas l’effet de forces telles que la résistance de l’air ou les frottements du sol ou autres.

Quelque chose d’intéressant à propos de la force gravitationnelle est qu’elle fait accélérer les objets en mouvement vertical. Par exemple, lorsque cette balle était dans notre main, elle avait une vitesse nulle. Mais dès que nous la lâchons, elle commence à accélérer. Et cela signifie que plus le temps passe, plus sa vitesse vers le bas augmente. C’est pourquoi, si nous prenions des photos de la balle à intervalles réguliers, nous ne verrions pas la même distance entre deux photos consécutives. Elle tombe de plus en plus vite.

Pour comprendre le mouvement vertical sous la gravité, nous devrons en savoir un peu plus sur l’accélération provoquée par la gravité, souvent représentée par 𝑔 minuscule. Près de la surface de la Terre, la valeur de cette accélération est généralement estimée à 9,8 mètres par seconde au carré. Une autre façon de dire cela est 9,8 mètres par seconde par seconde, ce qui signifie que pour chaque seconde qui passe pour un objet en chute libre comme notre balle ici, grâce à l’accélération due à la gravité, la vitesse de cet objet augmentera de 9,8 mètres par seconde.

Cette scène d’un objet en chute libre est l’un des deux types de mouvement vertical sous la gravité. Disons qu’au lieu de laisser tomber la balle d’une certaine hauteur, nous la lançons vers le haut dans l’air. Par expérience, nous savons que cette balle va atteindre un certain point, être au repos pendant un instant, puis commencer à retomber vers la Terre, tout comme la balle que nous avons lâchée au repos ici. Nous pouvons décrire ces deux types de mouvement en utilisant ce qu’on appelle les équations du mouvement. Il y a quatre équations de ce type, chacune décrivant le mouvement de l’objet d’une manière différente. Toutes ces équations du mouvement, parfois aussi appelées équations cinématiques ou équations MRUV, supposent qu’un objet se déplace avec une accélération constante. Lorsque cette condition est remplie, ces quatre équations s’appliquent, et si elle ne l’est pas, ces équations ne s’appliquent pas.

Ici, nous avons utilisé 𝑠 pour représenter le déplacement, 𝑣 indice 𝑖 pour représenter la vitesse initiale, 𝑣 indice 𝑓 pour représenter la vitesse finale, 𝑡 pour le temps et 𝑎 pour l’accélération uniforme. Et dans le cas d’un mouvement sous la gravité, l’accélération 𝑎 sera toujours la même. C’est l’accélération due à la gravité.

Quelque chose d’important à reconnaître à propos de ces équations est que ce sont des équations vectorielles. C’est-à-dire que le déplacement, l’accélération et la vitesse sont toutes des quantités vectorielles avec à la fois une norme, une direction et un sens. Donc, dans toute situation où nous voulons utiliser une équation du mouvement, il est important d’établir une convention pour déterminer quel mouvement est positif et quel mouvement est négatif. Dans le cas d’objets se déplaçant verticalement, nous pourrions décider que tout mouvement vers le haut est positif, ce qui signifie que le mouvement vers le bas est négatif. Si nous prenons cette convention, alors toutes nos variables vectorielles - déplacement, vitesse et accélération - doivent refléter cette convention. Par exemple, comme la gravité pointe toujours vers le bas, notre accélération due à la gravité serait de moins 9,8 mètres par seconde au carré. Et puis ici pour la balle que nous avons laissée tomber au repos, sa vitesse à tout moment après cela serait également négative, alors que cette balle, que nous avons d’abord jetée en l’air, aurait une vitesse positive jusqu’à ce qu’elle s’arrête un instant dans les airs, puis, en tombant, aurait une vitesse négative.

Travailler de façon cohérente avec une convention de signes est un aspect très important de l’application précise d’une équation du mouvement. Sachant tout cela, entraînons-nous maintenant à analyser le mouvement vertical sous la force gravitationnelle.

Une particule a été lancée verticalement vers le haut à partir du sol. Étant donné que la hauteur maximale atteinte par la particule est de 62,5 mètres, déterminer la vitesse à laquelle elle a été lancée. Prendre l’accélération due à la gravité 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré.

Alors, disons que ça c’est le niveau du sol et ça c’est la particule qui est lancée verticalement vers le haut. Grâce à ce lancer, on nous dit que la particule atteint une hauteur maximale, que nous appellerons ℎ, de 62,5 mètres. Ce que nous voulons faire, c’est déterminer la vitesse initiale de cette particule qui lui a permis d’atteindre cette hauteur maximale ℎ. Donc, ce qui se passe c’est que notre particule a cette vitesse ascendante initiale mais est constamment sous l’influence de l’accélération descendante de la gravité de sorte qu’au fur et à mesure qu’elle monte, elle se déplace de plus en plus lentement jusqu’à ce qu’elle s’arrête. Puisqu’il s’agit d’un exemple d’objet qui accélère uniformément, dans ce cas, sous l’influence de la gravité, nous pouvons utiliser une équation du mouvement pour décrire son mouvement.

Plus précisément, nous utiliserons l’équation qui nous dit que la vitesse finale au carré d’un objet est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux fois son accélération fois son déplacement. En appliquant cette relation à notre scénario, nous pouvons dire que 𝑣 𝑓 au carré est égal à 𝑣 𝑖 au carré, où 𝑣 𝑖 est ce que nous cherchons, plus deux fois 𝑔, c’est l’accélération que subit la particule, multiplié par ℎ, la hauteur maximale atteinte. Rappelons que nous avons mentionné précédemment que lorsqu’une particule est à sa hauteur maximale, sa vitesse est nulle. Donc, si nous prenons cet instant comme le temps final, représenté par l’indice 𝑓, alors cela nous dit que 𝑣 indice 𝑓 est nul. Et donc tout ce terme est nul. Donc, voici l’équation que nous voulons résoudre pour 𝑣 indice 𝑖.

Maintenant, à ce stade, mettons en place une convention de signes afin que nous puissions dire quel type de mouvement dans cette situation est positif et ce qui est négatif. Disons que 𝑣 indice 𝑖, la vitesse initiale de notre particule, est une quantité positive, ce qui signifie que tout vecteur pointé dans le sens opposé aura un signe négatif. Et nous voyons tout de suite que l’accélération due à la gravité pointe vers le bas. Ainsi, lorsque nous substituons 𝑔 dans cette équation, nous utilisons moins 9,8 mètres par seconde au carré.

Faisons maintenant cette substitution en remplaçant ℎ par 62,5 mètres. Et cette quantité est positive car ℎ est dirigé verticalement vers le haut partant du sol. En laissant de côté les unités pour l’instant, nous avons zéro égal à 𝑣 indice 𝑖 au carré plus deux fois moins 9,8 fois 62,5. Et puis, si nous ajoutons le produit de ces trois quantités aux deux côtés de l’équation, nous constatons que 𝑣 indice 𝑖 au carré est égal à deux fois 9,8 fois 62,5. Et puis en prenant la racine carrée des deux côtés, nous voyons que 𝑣 indice 𝑖 est donné par cette expression, qui donne 35 avec des unités de mètres par seconde. Il s’agit donc de la vitesse à laquelle notre particule a été lancée.

Voyons maintenant un exemple avec un objet lâché du repos.

Si un corps qui a été lâché d’un bâtiment a mis trois secondes pour atteindre le sol, trouver sa vitesse moyenne lors de sa chute. Prendre l’accélération due à la gravité 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde au carré.

Alors disons que ceci est le bâtiment. Et ici nous avons le corps, cet objet rose, qui est lâché verticalement vers le bas depuis le bâtiment. Disons que la personne qui l’a laissé tomber déclenche un chronomètre dès que l’objet est lâché. On nous dit qu’il faut trois secondes à l’objet pour atteindre le sol. Sachant tout cela, nous voulons trouver la vitesse moyenne de ce corps lorsqu’il tombe. Maintenant, parce que ce corps n’est sous l’influence d’aucune force autre que la gravité, nous savons qu’il accélère uniformément. Cela signifie que nous pouvons utiliser ce qu’on appelle les équations du mouvement pour décrire notre corps en chute libre. Plus précisément, nous utiliserons l’équation qui nous dit que la vitesse finale d’un objet est égale à sa vitesse initiale plus son accélération fois le temps pendant lequel il accélère.

Parallèlement à cela, nous utiliserons le fait que pour un objet en accélération uniforme, la vitesse moyenne de cet objet est égale à la somme de ses vitesses finale et initiale divisé par deux. Cette vitesse moyenne est exactement ce que nous cherchons ici. Et pour la trouver, nous devrons connaître les vitesses finales et initiales du corps. Nous savons que le corps est lâché, c’est-à-dire tombe du repos, ce qui nous indique qu’il avait une vitesse initiale nulle. Et cela signifie que pour trouver sa vitesse moyenne, il suffit de connaître sa vitesse finale et de la diviser par deux. Et c’est là que nous pouvons utiliser le fait que cette vitesse finale est égale à la vitesse initiale plus 𝑎 fois 𝑡.

Et puisque nous avons vu que 𝑣 indice 𝑖 est égal à zéro et que dans ce cas notre accélération est l’accélération due à la gravité 𝑔, nous pouvons écrire que 𝑣 indice 𝑓 est égal à 𝑔 fois 𝑡. Et on nous dit que le temps 𝑡 est de trois secondes et que l’accélération due à la gravité 𝑔 est de 9,8 mètres par seconde au carré. Si nous substituons ces valeurs en laissant de côté les unités, nous avons que 𝑣 indice 𝑓 est égal à 9,8 fois trois ou 29,4 avec des unités de mètres par seconde. Nous pouvons maintenant prendre cette valeur et la substituer à 𝑣 indice 𝑓 dans notre équation pour 𝑣 indice moyenne. Nous constatons donc que 𝑣 indice moyenne vaut 29,4 sur deux ou 14,7 mètres par seconde. C’est la vitesse moyenne du corps lorsqu’il tombe.

Voyons maintenant un autre exemple.

Une particule est projetée verticalement vers le haut à sept mètres par seconde à partir d’un point situé à 38,7 mètres au-dessus du sol. Trouver la hauteur maximale que la particule peut atteindre. Prendre pour l’accélération due à la gravité 9,8 mètres par seconde au carré.

Alors, si nous disons que ça c’est le niveau du sol, alors si nous montons à 38,7 mètres de là, nous avons notre particule où elle est lancée avec une vitesse ascendante de sept mètres par seconde. Cela nous indique que la particule continue à se déplacer vers le haut. Mais nous savons que sous l’influence de la gravité, elle ralentira de plus en plus jusqu’à ce qu’elle finisse par s’arrêter. À ce stade, elle atteint sa hauteur maximale. Nous l’appelons ℎ indice max. C’est la hauteur que nous cherchons, et nous pouvons voir qu’elle est égale à 38,7 mètres plus cette hauteur ici. Appelons cette hauteur ℎ. Et puisque lorsque la particule se déplace suivant cette hauteur, elle accélère uniformément sous l’influence de la gravité, nous pouvons utiliser une équation du mouvement pour trouver ℎ. Plus précisément, nous utiliserons la relation selon laquelle la vitesse finale au carré d’un objet est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux fois son accélération fois son déplacement.

En appliquant cette relation à notre situation, nous pouvons dire que 𝑣 indice 𝑓 au carré est égal à 𝑣 indice 𝑖 au carré plus deux fois 𝑔, c’est l’accélération de la particule, multiplié par ℎ. En revenant à notre schéma, si nous disons que la position de la particule ici est sa position initiale, où elle avait une vitesse initiale 𝑣 indice 𝑖, et la position de la particule ici à sa hauteur maximale est sa position finale, alors nous pouvons dire que sa vitesse finale 𝑣 indice 𝑓 vaut zéro, ce qui signifie que c’est alors l’équation que nous devons résoudre pour trouver la hauteur ℎ.

À ce stade, nous pouvons établir une convention de signes où nous disons que le mouvement vers le haut est positif et que le mouvement vers le bas est donc négatif. Cela nous est utile car l’accélération due à la gravité est vers le bas, tandis que notre vitesse initiale, ce que nous avons appelé 𝑣 indice 𝑖, est vers le haut. Et donc en laissant de côté les unités, cela signifie que nous utilisons une valeur positive de sept pour 𝑣 indice 𝑖 et négative de 9,8 pour 𝑔. En substituant ces valeurs, si nous soustrayons ensuite sept carré des deux côtés de cette équation, nous avons que moins sept carré est égal à deux fois moins 9,8 fois ℎ. Et les deux signes négatifs disparaissent. Et si nous divisons ensuite les deux côtés de l’équation par deux fois 9,8, nous constatons que ℎ est égal à 49, soit sept carrés, divisé par deux fois 9,8. C’est égal à 2,5. Et nous allons inclure les unités de mètres.

Rappelons cependant que ce n’est pas la réponse car ℎ est juste une partie de ℎ max. ℎ max est égal à 38,7 mètres plus ℎ ou 38,7 mètres plus 2,5 mètres. Et en les additionnant, nous obtenons 41,2 mètres. C’est la hauteur maximale que la particule peut atteindre.

Voyons maintenant un autre exemple avec un mouvement de projection verticale.

Si un corps est projeté verticalement vers le haut avec une vitesse 𝑉 et atteint la hauteur maximale ℎ, alors la vitesse à laquelle le corps doit être projeté pour atteindre la hauteur quatre ℎ est à déterminer. (A) 𝑉, (B) quatre 𝑉, (C) deux 𝑉, (D) racine carrée de deux 𝑉.

Très bien, nous avons ici un scénario où un corps est projeté verticalement vers le haut avec une vitesse que nous avons appelée 𝑉. Et sous cette influence, il atteint une hauteur maximale ℎ. Nous imaginons alors un scénario où ce même corps est projeté à une hauteur de quatre ℎ. Et la question est de savoir avec quelle vitesse initiale il faudrait lancer cet objet pour qu’il atteigne cette hauteur. Nous avons ces quatre options de réponse ici. Et en commençant par notre résolution, nous pouvons remarquer que ce corps, en se déplaçant vers le haut, n’est sous l’influence que de la force gravitationnelle. Par conséquent, son accélération est uniforme, et nous pouvons décrire son mouvement en utilisant une équation de mouvement. L’équation que nous allons utiliser est que la vitesse finale au carré d’un objet est égale à sa vitesse initiale au carré plus deux fois son accélération multipliée par son déplacement.

Dans le cas de ces corps projetés verticalement, nous pouvons dire que le dernier instant est celui où chacun est à sa hauteur maximale. Et dans chaque cas, en ce point, la vitesse est nulle. Cela signifie que le côté gauche de cette expression sera zéro. Et puis, en remplissant le côté droit, concentrons-nous sur le cas où nous avons une hauteur maximale ℎ et une vitesse initiale 𝑉. Nous écririons alors que zéro est égal à 𝑉 au carré plus deux fois 𝑔, l’accélération subie par le corps, multiplié par ℎ. Il est possible de réorganiser cette équation pour qu’elle indique que ℎ est égal à moins 𝑉 au carré sur deux fois 𝑔.

Et dans ce cas, 𝑔 est égal à moins 9,8 mètres par seconde au carré. Et en écrivant cette valeur sans unités, nous voyons que les signes négatifs du numérateur et du dénominateur s’annulent. Donc, si nous voulons qu’un corps monte à une hauteur maximale de ℎ, nous devons lui donner une vitesse initiale de 𝑉. Et si nous voulons qu’un corps monte à une hauteur maximale de quatre ℎ, où nous multiplions les deux côtés de l’équation par quatre, alors nous pouvons dire de manière équivalente que cela est égal à deux fois 𝑉 au carré divisé par deux fois 9.8. Et donc, maintenant nous savons quelle doit être la vitesse initiale de l’objet pour qu’il soit projeté à une hauteur de quatre fois ℎ. Elle doit être le double de la vitesse initiale 𝑉.

Terminons maintenant en passant en revue quelques points clés de cette leçon. Tout d’abord, nous avons vu qu’un corps se déplaçant verticalement sous la gravité est décrit par les équations du mouvement. Pour trouver des quantités telles que le déplacement, la vitesse, le temps, etc., il est souvent utile de faire un schéma et d’établir des conventions de signes. Et enfin, mémoriser les équations du mouvement peut également être utile.

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