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Laquelle des expressions suivantes est la representation paramétrique de l’équation du plan qui contient la droite 𝑥 plus un sur moins deux est égal à 𝑦 moins deux sur deux est égal à 𝑧 moins cinq sur quatre et le vecteur 𝐝 est égal à un, trois, un. Est-ce l’option (A), 𝑥 est égal à moins un moins deux 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à deux plus deux 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux et 𝑧 est égal à cinq plus quatre 𝑡 indice un plus 𝑡 moins deux ? Est-ce l’option (B), 𝑥 est égal à moins un moins deux 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à deux plus deux 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux et 𝑧 est égal à moins cinq plus quatre 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux ? Est-ce l’option (C), 𝑥 est égal à moins un moins deux 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à moins deux plus deux 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux et 𝑧 est égal à cinq plus quatre 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux ? L’option (D), 𝑥 est égale à moins un plus deux 𝑡 indice un plus cinq 𝑡 indice deux, 𝑦 est égale à moins deux plus deux 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux et 𝑧 est égale à cinq plus quatre 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux. Est-ce l’option (E), 𝑥 est égal à moins un plus deux 𝑡 indice un plus cinq 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à deux plus deux 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux et 𝑧 est égal à moins cinq plus quatre 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux ?
Dans cette question, on nous donne cinq équations paramétriques possibles pour un plan. Nous devons déterminer laquelle de ces cinq options est la bonne. Pour ce faire, on nous donne deux informations sur le plan. Premièrement, on nous dit que le plan contient une droite donnée sous forme cartésienne. On nous dit aussi que le plan contient le vecteur directeur 𝐝 est égal à un, trois, un. Il convient de noter que lorsque nous disons qu’un plan contient un vecteur, cela signifie simplement que le vecteur est parallèle au plan. En fait, quelque chose de très similaire est vrai à propos de la droite. Si la droite est contenue dans le plan, cela signifie que la droite est aussi parallèle au plan. Le vecteur directeur de cette droite est donc lui-même parallèle au plan. Cela signifie que nous avons deux vecteurs parallèles au plan.
Cela nous donne alors deux façons différentes de répondre à cette question. Nous pourrions maintenant rappeler exactement ce que signifient les équations paramétriques d’un plan. Nous pourrions alors considérer les cinq options données et déterminer laquelle est la bonne. Nous pouvons le faire en éliminant les options. Cependant, cette méthode nécessite de considérer les cinq options.
Au lieu de cela, nous allons commencer par rappeler qu’un plan passant par le point 𝑝 de coordonnées 𝑥 indice 𝑝, 𝑦 indice 𝑝, 𝑧 indice 𝑝 parallèle à deux vecteurs distincts 𝐮 est égal à 𝑢 indice 𝑥, 𝑢 indice 𝑦, 𝑢 indice 𝑧 et 𝐯 est égal à 𝑣 indice 𝑥, 𝑣 indice 𝑦, 𝑣 indice 𝑧 aura des équations paramétriques 𝑥 est égal à 𝑥 indice 𝑝 plus 𝑢 indice 𝑥 𝑡 indice un plus 𝑣 indice 𝑥 𝑡 indice deux. 𝑦 est égal à 𝑦 indice 𝑝 plus 𝑢 indice 𝑦 𝑡 indice un plus 𝑣 indice 𝑦 𝑡 indice deux. Enfin, 𝑧 est égal à 𝑧 indice 𝑝 plus 𝑢 indice 𝑧 𝑡 indice un plus 𝑣 indice 𝑧 indice deux, où 𝑡 indice un et 𝑡 indice deux peuvent prendre n’importe quelle valeur scalaire.
Il convient de noter que nous avons besoin que les vecteurs 𝐮 et 𝐯 ne soient pas colinéaires. Nous pouvons appliquer cette définition au plan qui nous a été donné. Puisque le plan est parallèle à 𝐝, nous allons définir notre vecteur 𝐯 égal à 𝐝, le vecteur un, trois, un. On nous dit aussi que le plan contient la droite donnée sous forme cartésienne. Nous savons que les dénominateurs de ces fractions nous donneront un vecteur directeur de cette droite. Nous allons donc définir 𝐮 comme étant le vecteur directeur de cette droite, le vecteur moins deux, deux, quatre. Il convient de noter que nous pouvons prendre n’importe quel multiple scalaire de ces vecteurs si nous le voulons. Par exemple, nous pourrions multiplier le vecteur 𝐮 par un demi. Cependant, comme nous le verrons, ce n’est pas nécessaire.
Maintenant, tout ce que nous devons faire est de trouver un point qui se trouve sur le plan. Puisque le plan contient la droite, il contient tous les points de cette droite. Il suffit donc de trouver un seul point sur cette droite. Une façon de le faire est de résoudre chaque partie de l’équation égale à zéro. Nous obtenons que 𝑝 a pour coordonnées moins un, deux, cinq. Nous pouvons maintenant substituer les coordonnées de 𝑝 et les composantes des vecteurs 𝐮 et 𝐯 dans les équations paramétriques du plan. Une fois que nous avons remplacé ces valeurs, nous pouvons simplifier. Lorsque nous le faisons, nous obtenons l’ensemble suivant d’équations paramétriques, qui correspond à l’option (A).
Par conséquent, nous avons pu montrer que la forme paramétrique des équations du plan qui nous est donné dans la question est 𝑥 est égal à moins un moins deux 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux, 𝑦 est égal à deux plus deux 𝑡 indice un plus trois 𝑡 indice deux et 𝑧 est égal à cinq plus quatre 𝑡 indice un plus 𝑡 indice deux.
