Transcription de la vidéo
Déterminez le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 égal racine cubique de quatre 𝑥 plus trois.
Le domaine de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs sur lesquelles la fonction agit. Nous pouvons également considérer cela comme l’ensemble de tous les antécédents par la fonction. Si aucune autre restriction n’est spécifiée, alors le domaine de définition d’une fonction sera l’ensemble des valeurs réelles pour lesquelles la fonction est définie. Ainsi, nous commençons par l’ensemble des nombres réels, que nous désignons par ℝ, puis nous considérons toutes les valeurs qui doivent être exclues et qui seront supprimées.
Dans cette question, la fonction 𝑓 est une fonction composée. C’est la racine cubique de la fonction linéaire d’expression quatre 𝑥 plus trois. Maintenant, le domaine de définition, ainsi que l’ensemble image de la fonction racine cubique d’expression 𝑔 de 𝑥 égal racine cubique de 𝑥, sont chacun l’ensemble des nombres réels. En d’autres termes, la fonction racine cubique n’impose aucune restriction sur son ensemble de définition. Nous pouvons le voir si nous considérons la représentation graphique de la fonction racine cubique. Elle est définie pour toutes les valeurs appartenant à l’axe des 𝑥 et sa représentation graphique s’étend également pour couvrir toutes les valeurs appartenant à l’axe des 𝑦.
Nous voyons que, contrairement à la fonction racine carrée, il est possible pour la fonction racine cubique d’agir sur des valeurs négatives. C’est parce que si nous mettons au cube un nombre négatif, par exemple, moins trois, nous obtenons un résultat négatif. Ainsi, en opérant dans le sens inverse, nous pouvons calculer la racine cubique d’un nombre négatif et cela donne un résultat négatif. Ainsi, le domaine de définition de la fonction racine cubique est l’ensemble des nombres réels. Mais qu’en est-il de la fonction dont l’expression se trouve sous la racine cubique ?
Eh bien, c’est une fonction linéaire. Nous pouvons poser ℎ de 𝑥 égal quatre 𝑥 plus trois. Et donc cela n’entraîne aucune conséquence sur son ensemble de définition. Nous pouvons calculer la valeur de quatre 𝑥 plus trois pour toute valeur de 𝑥 appartenant à l’ensemble des nombres réels. Cela signifie qu’il n’y a aucune restriction sur le domaine de définition de la fonction linéaire et aucune restriction sur le domaine de définition de la fonction racine cubique. Donc, en général, il n'y a pas de restrictions sur les valeurs possibles de 𝑥 pour cette fonction. Nous n’avons donc pas besoin d’exclure de valeur de l’ensemble des nombres réels.
Ainsi, le domaine de définition de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 est tout l’ensemble des nombres réels, que nous notons ℝ.