Vidéo question :: Calcul des valeurs des fonctions trigonométriques d’angles remarquables Mathématiques

Transcription de la vidéo

Calculez la valeur exacte de sinus de 30 degrés.

Vous avez peut-être l’habitude d’utiliser une calculatrice ou un ordinateur pour calculer des fonctions trigonométriques. En effet, pour la plupart des angles, sinus, cosinus et tangente donnent un nombre avec de nombreuses décimales. Mais dans certains cas, sinus, cosinus et tangente donnent un nombre entier ou un nombre qui peut s’écrire sous forme de fraction. Les cas les plus communs sont zéro degré, 30 degrés, 45 degrés, 60 degrés et 90 degrés.

On voit que dans cette question, on est bien dans un de ces cas. Bien que les fonctions trigonométriques soient étroitement liées aux triangles rectangles, ici, on va plutôt examiner un triangle équilatéral. On sait que, dans un triangle équilatéral, tous les angles mesurent 60 degrés et tous les côtés sont égaux. On pourrait choisir n’importe quelle longueur de côté pour ce triangle et obtenir la bonne réponse. En fait, on va choisir deux, ce qui simplifiera les choses.

La première chose qu’on va faire avec ce triangle, c’est le couper en deux par une droite perpendiculaire à la base. On supprime ensuite une des moitiés du triangle. On se retrouve avec un triangle rectangle. Comme l’angle supérieur et la base ont été coupés en deux, ils mesurent la moitié de leurs valeurs initiales. Ce qui nous donne un angle supérieur de 30 degrés et une base est de longueur un. Notons 𝑎, 𝑏 et 𝑐 les côtés de ce nouveau triangle.

Pour compléter les informations de ce triangle, il nous faut trouver la longueur du côté 𝑎, pour ce faire utilisons le théorème de Pythagore. D’après ce théorème, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Remplaçons 𝑏 et 𝑐 par les valeurs que nous avons. En calculant le carré de ces nombres, on obtient 𝑎 au carré plus un égale quatre. En retranchant un de chaque côté, on obtient 𝑎 au carré égale trois. Enfin, en prenant la racine carrée de chaque côté, on obtient 𝑎 égale racine carrée de trois.

Notez que cette équation a en fait deux solutions. On peut dire que 𝑎 est égal à plus ou moins la racine carrée de trois. Mais ici, 𝑎 est une longueur, donc on ne s’intéresse qu’à la solution positive.

Maintenant que nous avons trouvé cette longueur, on a ce qu’il faut pour notre triangle rectangle. Ce triangle peut nous aider à résoudre ce genre de problème grâce à l’identité trigonométrique du sinus. D’après cette identité, dans tout triangle rectangle, le sinus d’un angle 𝜃 est égal à la longueur du côté opposé à cet angle divisée par la longueur de l’hypoténuse.

On voit que ce triangle possède un angle de 30 degrés. On peut donc écrire que le sinus de 30 degrés est égal au côté opposé — c’est 𝑏 — divisé par l’hypoténuse — c’est 𝑐. Puisqu’on a ces valeurs, on peut remplacer 𝑏 par un et 𝑐 par deux, ce qui donne que le sinus de 30 degrés est égal à un sur deux, ou un demi.

Maintenant, vous vous demandez peut-être pourquoi on a cherché la longueur du côté 𝑎 puisqu’il n’intervient pas dans le calcul du sinus de 30 degrés. C’est parce que ce triangle est très utile pour calculer certains des autres rapports trigonométriques exacts.

Considérons brièvement l’angle de 60 degrés dans ce triangle. On voit, d’après l’identité du sinus, que le sinus de 60 degrés est égal à la longueur du côté opposé — c’est 𝑎 — sur l’hypoténuse — c’est 𝑐.

Encore une fois, on connaît ces valeurs dans le triangle, on peut donc remplacer 𝑎 par la racine de trois et 𝑐 par deux. On obtient alors que le sinus de 60 degrés est égal à la racine carrée de trois sur deux. En conclusion, ce triangle peut vous aider à répondre à des questions similaires. Avec cette méthode, et en mémorisant les autres identités trigonométriques, vous devriez pouvoir répondre à des questions qui demandent les valeurs exactes de cosinus 30 et 60 degrés et tangente 30 et 60 degrés.